《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_2-5矩阵的秩

复习 矩阵的初等行、列变换；矩阵等价；初等矩阵 定理1Aa写mx动翼菱受D 有限次 E (A≌标准形D) 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 定理2对A作初等行（列变换，相当于用相应的初等 矩阵左右)乘 推论对任一矩阵A,存在可逆阵P,Q,使p4Q E A2B→3可逆阵P,Q,使PAQ=B. 定理3阶可逆矩阵4A的等价标准形D=E, 定理4A可逆→A可表示为一些初等矩阵的乘积

复 习 矩阵的初等行、列变换；矩阵等价；初等矩阵 定理1 E O r D O O   =     有限次 初等变换 A=(aij)m×n (A≌标准形D) 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 定理2 对A作初等行(列)变换,相当于用相应的初等 矩阵左(右)乘A. 推论 对任一矩阵A,存在可逆阵P,Q,使PAQ= E O r O O       d A≌B   可逆阵P,Q,使PAQ＝B. 定理3 n阶可逆矩阵A的等价标准形D=En 定理4 A可逆A可表示为一些初等矩阵的乘积

A1=PP2.PA E=PP2PkA① 若用一系列初等行变换将A化为单位矩 A=PPPE 阵E,则对E施以同样的行变换即得A1 列 E (A E) 变换 E A E=PP2PA若用一系列初等行变换将4化为单位矩 AB=P P2PB 阵E,则对B施以同样的行变换即得AB 要EAn 列 (A B) BA-1

(A E ) (E A -1 ) 行 变换 A E 列 变换 E A-1 (A B) (E A-1B) 行 变换 A B 列 变换 E BA -1 若用一系列初等行变换将A化为单位矩 阵E, 则对E施以同样的行变换即得A -1 A -1=P1P2 .PkE E = P1P2 .PkA 若用一系列初等行变换将A化为单位矩 阵E, 则对B施以同样的行变换即得A -1 A -1B=P B 1P2 .PkB E = P1P2 .PkA A -1＝P1P2 .Pk

2.6矩阵的秩 、 矩阵秩的定义 (≤min(m,n) 1.k阶子式：任选Amx的k行k列所得k阶行列式 例 1230 130 有二阶 2 三阶 A 2 02 1 =0 子式 子式 2460 260 2.矩阵的秩 ()定义若矩阵A中至少有一个阶子式不为零， 而有的大阶子式貲为琴，则称为矩阵A的秩， 记为r(A)= ：所有高子r十1阶的子式必苟零刻 即：矩阵A的秩等于A中不为零的子式的最高阶数 上例：(A)三2 第二章矩阵

第二章 矩阵 3 任选Am×n的k行k列所得k阶行列式 (k≤min(m,n)) A     =       1 2 3 0 0 1 2 1 2 4 6 0 例 有二阶 子式 = 2 0 2 1 1 三阶 子式 = 1 3 0 0 2 1 0 260 若矩阵A中至少有一个r阶子式不为零, 而所有的r＋1阶子式皆为零, 则称r为矩阵A的秩, 记为r(A)＝r. 即：矩阵A的秩等于A中不为零的子式的最高阶数. 2.6 矩阵的秩 一、矩阵秩的定义 1. k阶子式: 2.矩阵的秩 (1)定义 所有高于r＋1阶的子式必为零! 上例：r(A)＝2

(2)性质： ①0≤r(4mxn≤min{m 规定：r(O)=0 r(A)=m,称A为行满秩矩阵； 统称为满秩矩阵 r(A=n,称A为列满秩矩阵 ②A=(A四，(kA)=r(A)k0) ③A存在阶子式不为0→(A≥r A的所有+1阶子式都为0→rA≤ ④Anxn可逆→r()=n 二、用初等变换求矩阵的秩 用定义，繁」 定理矩阵经过初等变换，其秩不变.（证明：P66)

① 0≤r(Am×n )≤min{m, n} ② r(A)= r(AT )， r(kA)= r(A) (k≠0) (2)性质： ③ A存在r阶子式不为0  r(A)≥r A的所有r+1阶子式都为0  r(A)≤r ④ An×n可逆  r(A)＝ n 二、用初等变换 定理 矩阵经过初等变换，其秩不变. r(A)=m, 称A为行满秩矩阵; 规定：r(O)＝0 r(A)=n, 称A为列满秩矩阵. 统称为满秩矩阵 求矩阵的秩 (证明:P66) ——用定义，繁!

1°A 行变换 列变预 等价标准形，则()=r 初等 10.00 0 ★2A 阶梯形，(0 行阶梯形矩阵 行变换 非零牛将行数 行阶梯形矩阵：重 而下各行中第。 个非零元 左边零的个数逐行增加，零行在蕞下尚 例： 0 0 0 0 简化行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵，非零行的第 个非零元均为1，其所在列的其它元素均为0

A 行 ⎯⎯⎯→ 变换 1 列变换 等价标准形，则r(A)＝ 2 A⎯⎯→ 初等 行变换 行阶梯形,则r(A)= 行阶梯形矩阵 非零行的行数 r       1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r行 行阶梯形矩阵：自上而下各行中，第一个非零元 左边零的个数逐行增加；零行在最下面. 例:   − −   −         2 1 1 2 0 1 0 1 0 0 4 5 0 0 0 0   − −   − −     −     1 2 3 4 4 0 0 1 1 3 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 简化行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵，非零行的第 一个非零元均为1，其所在列的其它元素均为0. 1 1 0 0 0

例1求下列矩阵的秩 1 2-4-2 =39 12 (A= 3 -79 5 (2)B= 13-21 解 2 2 -51 2-63-5 1 2 -4-2 -4 -2 (A→ 0 -1 3 .rA=3 0 -2 3 5 (2) -3-2 -3 -2 -3-2 1 B> 3 9 2 0 0 5 5 0 0 -55 2 3 0 0 0 0 .(B)=2

例1 求下列矩阵的秩 A   − −   → − − −       − 1 2 4 2 0 1 3 1 0 2 3 5 A   − −   = − −     −   1 2 4 2 3 7 9 5 2 2 5 1   − −   → − − −       1 2 4 2 0 1 3 1 0 0 9 7 解 ∴r(A)＝3 (1)   −   = − −       − − 3 9 1 2 1 3 2 1 2 6 3 5 B   − −   → −      − − 1 3 2 1 3 9 1 2 2 6 3 5 B   − −   → −       − 1 3 2 1 0 0 5 5 0 0 7 7   − −   → −       1 3 2 1 0 0 5 5 0 0 0 0 (2) ∴r(B)＝2 (2) (1)

11 11 例2(01考研)设矩阵A ,且秩(A)=3, 则k三一3 k 解 k+31 11 k+3 k 11 A k+31 k+31 =(k+3)k-13=0 .k=1时，r(A=1.k=一3

例2(01考研)设矩阵 , 且秩(A)＝3, k k A k k       =       111 1 1 1 1 1 1 则k＝－3 111 k k A k k = 111 1 1 1 1 1 1 111 k k k k k k k + + = + + 3 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 ＝(k＋3)(k－1)3＝0 ∵ k＝1时，r(A)＝1 ∴k＝－3 解

三、几个常见结论 (1)03r(Amx)<minim,n) (2)A可逆→(AB)=(B):B可逆→r(AB)=(A) 证：设A可逆，则A=PP2P,P为初等矩阵) .AB=PP2P,B即对B作s次初等行变换可得AB .r(AB)=r(B) 304+B)-Y4smi: (证明见P68) ②4mxBx,=O→4十r(B)n联合用子证明-些 (4)r(A+B)<r(A)+r(B) 有关矩阵秩的等式 A A (5)r 之 =r(A)+r(B) 8

8 (2) A可逆  r(AB)= r(B)； B可逆  r(AB)= r(A) 证：设A可逆，则 即对B作s次初等行变换可得AB ∴ r(AB)＝r(B) 三、几个常见结论 (1) 0≤r(Am×n )≤min{m, n} (3)①r(A)＋r(B)－n≤r(Am×nBn×s )≤min{r(A) , r(B)} A=P1P2 .Ps (Pi为初等矩阵) ∴AB=P1P2 .PsB Am×nBn×s ＝O r  (A)＋r(B)≤n (证明见P68) ( ) ( )          = +     A O A O r r r A r B C B O B (4) r(A＋B)≤ r(A)＋r(B) (5) 联合用于证明一些 有关矩阵秩的等式 ②

例3设A为n阶幂等矩阵(A2=A),证明： (A0十r(E-A)三n 证：由A2=A得A(E-A)=O.(A)+rE-A)Sn 又rA)十r(E=A0≥(A+E=A)=r(E)=n .r(A十rE一A)=n

例3 设A为n阶幂等矩阵(A2＝A)，证明： 证：由A2＝A得 ∴r(A)＋r(E－A)≤n 又r(A)＋r(E－A)≥r(A＋E－A)＝r(E)＝n ∴ r(A)＋r(E－A)＝ n r(A)＋r(E－A)＝n A(E－A)＝O

(6 n,当r(A)=n 设A为nn≥2)阶方阵，则r(A)=1，当r(A)=n-1 证Aa时，4≠0，何逆，： 当r(4)<nI A A=E.A可逆∴.(A)=n 4=n1时，4不可逆，4=0∴AM=4E=0 ∴.r(A)+r(A)≤n而r(A=n-1,.(A)≤1 另一方面，(A)=一1·.A存在n一1阶子式不为0 A≠O∴r(A)≥1综上，有r(A)=1 3)(4)<n一1时，A的所有n一1阶子式均为0， ,A=Or(A)=0

设A为n(n≥2)阶方阵, 则 * , ( ) ( ) , ( ) , ( ) n r A n r A r A n r A n  =  = = −    −  1 1 0 1 当 当 当 证:1)r(A)＝n时， A  0 ，A可逆，且 1 * A A E A  = *  A 可逆 *  = r A n ( ) 2)r(A)=n－1时,A不可逆, A = 0 *  = = AA A E O *  +  r A r A n ( ) ( ) 而r(A)=n－1, *   r A( ) 1 另一方面,r(A)=n－1 ∴A存在n－1阶子式不为0 *   A O *   r A( ) 1 综上,有 * r A( ) 1 = 3) r(A) < n－1时，A的所有n－1阶子式均为0, *  = A O *  = r A( ) 0 (6)