引例：方程2x2+32+3z2-2y-2xz=1 表示什么曲面？ 一般地，二元二次方程确定一二次曲线，三元二次 方程确定一二次曲面。为研究其性质，常通过可逆 线性变换消去交叉项，化为标准方程 Ax2+By2=D Ax2+By2+C2=D 经济管理中也常需用线性替换将一个元二次齐次 多项式化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。 元二次齐次多项式一二次型 仅含平方项代数和的二次型二次型的标准形 研究工具一矩阵
引例：方程 2 2 2 2 3 3 2 2 1 x y z xy xz + + − − = 表示什么曲面？ 一般地，二元二次方程确定一二次曲线, 三元二次 方程确定一二次曲面。为研究其性质, 常通过可逆 线性变换消去交叉项，化为标准方程 2 2 Ax By D + = 或 2 2 2 Ax By Cz D + + = 经济管理中也常需用线性替换将一个n元二次齐次 多项式化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。 n元二次齐次多项式——二次型 仅含平方项代数和的二次型——二次型的标准形 研究工具——矩阵
第五章二次型
第五章 二次型
5.1二次型与对称矩阵 一、二次型及其矩阵 定义1n元二次齐次多项式 fc1,xn)=41x+2a12x2+2a33++2a1nxn +02+2a23x23+.+22n2式 十。 +a+201 +n号 称为x1,x2,x的一个元)二次型. 为将二次型用矩阵表示，令44开则有：
5.1 二次型与对称矩阵 一、二次型及其矩阵 2 1 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 1, 1 1 1, 1 2 ( , , ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n nn n f x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x − − − − − = + + + + + + + + + + + + 定义1 n元二次齐次多项式 称为x1 , x2 , ., xn的一个(n元)二次型. 为将二次型用矩阵表示，令aij=aji ，则有：
f(化1，.，xn)=4+4122++41nx +422X1+42x2+.+42nX2x 十 +anx.X+n2XnX2十.+annx7 ∑∑4 XiXj 411012 1j1 az l22 W20 X2 =（1,X2)式n） -XTAX 一二次型的矩阵形式
2 1 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 ( , , ) n n n n n f x x a x a x x a x x a x x a x a x x = + + + + + + + 1 1 n n ij i j i j a x x = = = 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x = + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x ＝X TA X ——二次型的矩阵形式
记fX)=XAX,称A为二次型fX)的矩阵，r(A) 称为二次型的秩. 注：.二次型矩阵均为对称矩阵(4=A); 2.二次型←对应)对称矩阵. 例1.将二次型c1,x2,)=2x2十x}-423十3x2 写成矩阵形式。 0 X 解 f=(c1X2X3) -2 X2 -2 3 X3
记f (X )＝X TA X，称A为二次型f (X)的矩阵，r(A) 称为二次型的秩. 注:1.二次型矩阵均为对称矩阵(AT=A)； 2.二次型 对称矩阵. 一 一 ⎯⎯→ 对 应 1 2 3 x x x 例1. 将二次型f(x1 , x2 , x3 )＝2x1x2＋x2 2－4x2x3＋3x3 2 写成矩阵形式. 解：f＝(x1 x2 x3 ) 0 1 0 1 1 2 0 2 3 − −
-2-3 例2.求对称矩阵4 -25-5 所对应的二次型 解： -3-56 fc1,x2,x3)=x2+5x22+6s2-4x2-6cS310x5 23-1 例3.写出二次型∫=c,飞2，) 146 X2 的矩阵 0 22 解：A= 24 3 03
解： 1 2 3 x x x 例3. 写出二次型 f ＝ (x1 , x2 , x3 ) 的矩阵. 2 3 1 1 4 6 1 0 1 − − 2 2 0 2 4 3 0 3 1 A = − 例2. 求对称矩阵 所对应的二次型 1 2 3 2 5 5 3 5 6 A − − = − − 解 − − : f(x1 , x2 , x3 )＝x1 2＋5x2 2＋6x3 2－4x1x2－6x1x3－10x2x2
定义2形如f(0y1y2yn)=d+d2y+.+d房 的二次型称为标准形 f(y,v2,yn) d =(y1y2yn) =YTDY f(Y)=YTDY,其秩=D)=d,d,d,n中非零元个数 如何化二次型为标准形？为此，先介绍线性替换、 矩阵合同等概念
定义2 形如 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , ) n n n f y y y d y d y d y = + + + 的二次型称为标准形 1 2 ( , , ) n f y y y 1 1 2 2 1 2 ( , , ) n n n d y d y y y y d y = ,其秩=r(D)=d1 ,d2 ,.,dn中非零元个数 如何化二次型为标准形? 为此, 先介绍线性替换、 矩阵合同等概念—— ＝Y TD Y f (Y )＝Y TDY
二、线性替换 定义 X1=C+C12y2++Cinym 为由变量 称 X2=CCcanyn 12,.,yn的 Xn=Cn+cn22+Cmym 一个线性替换 其矩阵形式：X=CY.若线性替换的矩阵C可逆， 则称X=CY为可逆线性替换或非奇异（非退化）线性 替换，其逆变换为Y=CX;若C为正交矩阵，则称 X=CY为正交替换(C为正交矩阵<→C1=C四). X=CU,U=C2Y→X=(CC2)亚 C≠0，C≠0→C,C≠0 (2)C1、C2为正交阵→CC2为正交阵
二、线性替换 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y = + + + = + + + = + + + 定义 称 为由变量 x1 , x2 , ., xn到 y1 , y2 , ., yn的 一个线性替换 其矩阵形式: X＝CY. 若线性替换的矩阵C可逆， 则称X＝CY为可逆线性替换或非奇异(非退化)线性 替换, 其逆变换为Y＝C-1X; 若C为正交矩阵, 则称 X＝CY为正交替换(C为正交矩阵 C-1 ＝CT ). 1 2 C C 0, 0 X＝C1U，U＝C2Y 1 2 C C 0 C1、C2为正交阵 (1) (2) C1C2为正交阵 X＝(C1C2 )Y
f(X)=XTAX经可逆线性替换X=CY后： f(X)=(CY)A(CY)=Y(CTAC)Y=YTBY 三、矩阵合同 称A与B合同 B 2 定义设Anx,Bxn,若存在可逆阵C,使 对称 CTAC=B,则称A与B合同，记A兰B. 性质与相似关系类似（证明也类似以），具有 ()反身性；（因为EAE=A) (2)对称性；（由CAC=B得：A=(CIBC 3)传递性.（由CAC1=B,CIBC2=C得： C2T (CTAC(CC2)A(CC2)) 定理经可逆线性替换，原二次型矩阵与新二次型矩阵合同
f ( X )＝X TA X 经可逆线性替换X＝C Y 后： f ( X )＝(CY ) TA(CY ) ＝ Y T (C TAC ) Y ＝ Y T B Y 三、矩阵合同 称A与B合同 定义 设An×n ,Bn×n ，若存在可逆阵C，使 CTAC＝B，则称A与B合同，记A B. 性质 与相似关系类似(证明也类似)，具有 (1)反身性； 定理 经可逆线性替换, 原二次型矩阵与新二次型矩阵合同. (因为ETAE＝A) (由CTAC＝B得: (由C1 TAC1 ＝B , C2 TBC2 ＝C得: A＝(C- 1 ) TB C-1 ) C2 T (C1 TAC1 ) C2 ＝ (C1C2 ) TA(C1C2 ) ) (2)对称性； (3)传递性. ? B 对 称 ？
定理经可逆线性替换，原二次型矩阵与新二次型 矩阵合同. 原二次型 证：设f(X)=XTAX经可逆线性替换X=CY得： (X)=(CYA(CY)=YT(CTAC)Y=YTBY 其中B=CTAC.BT=(CACI=CYAC=CAC=B. 故B为对称矩阵.YTBY为新二次型，且B为其矩阵 ,'CTAC=B,C可逆 .A≈B=CTAC 注：1）.'CT,C可逆，.r(B)=r(CAC=r(AC=r(A 即：“合同的矩阵有相同的秩”；或： “可逆线性替换不改变二次型的 2)正交替换秩兰Q前后的二次型矩阵既合同，又相似. 合同CAC=⑧上PAP相似 OAO=B-0AO
定理 经可逆线性替换，原二次型矩阵与新二次型 矩阵合同. 证: 设 经可逆线性替换X＝CY 得: f ( X )＝(CY ) TA(CY ) ＝ Y T (C TAC ) Y ＝ Y T B Y 其中B＝C TAC. BT＝(CTAC) T ＝ 故B为对称矩阵. ∴ 为新二次型,且B为其矩阵. ∵C TAC ＝B，C可逆 A B 原二次型 f ( X )＝X TA X Y T BY 注:1) ∵CT , C可逆 即：“合同的矩阵有相同的秩”；或： “可逆线性替换不改变二次型的 秩”. ＝C TAC 2)正交替换X=QY前后的二次型矩阵既合同,又相似. CTATC＝CTAC＝B. ∴r(B)＝r(CTAC)＝r(AC)＝r(A) 合同CTAC＝B＝P–1AP 相似 QTAQ=B=Q–1AQ