《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_4-3对角化

复习 1.九为A的特征值→AX=2,X(X≠0) 定义 →2E-A=0 计算 2对应的特征向量：(2E-A)X=O的非零解 2.特征值和特征向量的性质： ∑A=∑：；直2=4 i=1 Anxn有特征值2，则 4+bE有特征值au入+b;Am有特征值乳"(m∈Z) A可逆时，A有特征值 入；A有特征值

1.  为A的特征值  − = E A 0 复习： 对应的特征向量： ( ) E A X O − = 的非零解 0  =  AX X X  ( 0)  2. ; . n n n i ii i i i i   a A = = = 1 1 1    = = ——定义 计算 An×n有特征值  , 则 A可逆时, A－1有特征值 ;  1 A*有特征值 A  ( ); m  m Z+ aA+bE有特征值 a b  + ; Am有特征值 

43矩阵相似对角化 一、相似矩阵 引例P B 2 求P1AP=B 1.定交设，B,者存可逆碎P,使p=式， 则称H相似手，门.2 11-12 2.性质1)矩阵的相似关系是一种等价关系，具有 反身性(A~A、对称性(A~B→B~)、传递性， (因为E-AE=A) (A⊙B,BC→A~C） 由P-AP=B得：A=PBP-1=(P-I)-BP-) (由PAP=B,2BQ=C得： O(P-AP)O=(PO)APO=

2 1 1 1 3 2 1 1 1 0 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1        − − = =               − − − 4.3 矩阵相似对角化 一、相似矩阵 , , 1 1 2 1 1 1 1 2 1 0 0 1 P A B       − = = =             − − 引例 , 求P－1AP =B 1.定义 设An×n ,Bn×n ,若存在可逆阵P,使P-1AP＝B, 则称A相似于B，记A~B. 2.性质 1)矩阵的相似关系是一种等价关系 反身性(A~A)、 (因为E－1AE＝A) (由P－1AP＝B得: (由P－1AP＝B ,Q－1BQ＝C得: 传递性. Q－1 (P－1AP)Q ＝ (PQ)－1APQ＝ C) ，具有 对称性(A~B B  ~A)、 (A~B, B~C A  ~C ) A＝PBP－1＝(P－1 )－1BP－1 )

2)相似矩阵的行列式相等 P-AP=B 3)相似矩阵或都可逆或都不可逆，可逆时逆阵也相似 (P-AP=B两边求逆矩阵得：P-A=P=BI雪 4相似矩阵的幂仍相似 (P=AP=B得：Bk=(P=AP(P-AP)·(P-AP)=PAP 般地f(x)=ax"+4x"++amx+am 若A~B,则∫(A~f(B) 5)相似矩阵有相同的特征多项式、特征值 AE-B=AE-PAP=P(AE)P-PAP =P-(AE-A)P=P-E-AP=AE-A 6)相似矩阵有相同的迹（因为迹等于特征值之和） 初等 )相似矩阵有相同的秩（一A委换 B

2)相似矩阵的行列式相等 3)相似矩阵或都可逆或都不可逆,可逆时逆阵也相似 (P－1AP＝B两边求逆矩阵得：P－1A－1P＝B－1 ) 4)相似矩阵的幂仍相似 (P－1AP＝B得: 1 0 1 1 ( ) m m m m f x a x a x a x a − 一般地 = + + + + − 若A~B，则f (A) ~ f (B) 5)相似矩阵有相同的特征多项式、特征值 E B− = 1 1 P E P P AP ( )  − − − ＝ E A− 6)相似矩阵有相同的迹 (因为迹等于特征值之和) 7)相似矩阵有相同的秩  1 P E A P ( ) − = − = 1 E P AP − − = Bk ＝( P－1AP)(P－1AP) . (P－1AP) 初等 (∵A B 变换 ) ＝P-1AkP) P－1AP＝B  1 P E A P − −

相似矩阵有许多共同性质。对A×,任给可逆阵P, 有P-AP=B~A,故与A相似的矩阵很多，从其中 找一个最简单的矩阵作为这一相似类的代表 (是什么？怎么求？相应的P?) (P-1(aE)P=aE) 写单位矩阵、数量矩阵相仙的矩阵只有它自己」 仅次于数量矩阵E的简单矩阵即对角矩阵，A能否 相似于一个对角矩阵（称A可对角化）？ 二、矩阵可对角化条件 即A的特征值 定理1 A有n个线性无 令关的特征向量 01302,3Cn

二、矩阵可对角化条件 相似矩阵有许多共同性质。对An×n ，任给可逆阵P， 有P－1AP＝B～A，故与A相似的矩阵很多，从其中 找一个最简单的矩阵作为这一相似类的代表 (是什么？怎么求？相应的P?) 与单位矩阵、数量矩阵相似的矩阵只有它自己。 (P－1 (aE)P＝aE) 仅次于数量矩阵aE的简单矩阵即对角矩阵，A能否 相似于一个对角矩阵(称A可对角化) ？—— 定理1 1 2 ~ n n n A          =          A有n个线性无 关的特征向量 1 2 , , ,   n 即A的特征值

Aa=人，a, A有n个线性无 关的特征向量 01)02,"30n 证→ 线性无关 pAP=人→AP=PA记P=(g,2,Q Ap=(Ad4,Aa( (a1,Q2,.,0n =PΛ

1 2 ~ n n n A          =          A有n个线性无 关的特征向量 1 2 , , ,   n A   i i i = 1 2 ( , , , ) P =   n AP       1 1 2 2 n n ( , , , ) = P 1 P AP − =  =  AP P ( n ) n       1 2 1 2 , , ,             1 2 ( , , , ) = A A A   n 证  记 线性无关 = ＝

Aa,=人，0 A有n个线性无 → 关的特征向量 0%1,02,",C 证 nP=(4,3n) P可逆 AP=(Aa,Aa2,.,Aan(2a1,入Q2,n0n) （a1,a2,.,an) P可逆) AP=P→PAP=X

1 2 ~ n n n A          =          A有n个线性无 关的特征向量 1 2 , , ,   n A   i i i = 1 2 ( , , , ) P =   n AP 1 1 2 2 ( , , , ) =      n n = P 1 P AP − AP P =   =  ( ) 1 2 1 2 , , , n n             =       1 2 ( , , , ) = A A A   n 证  P可逆 (P可逆)

由定理1，矩阵A是否与一对角矩阵相似，只需考察A 是否有n个线性无关的特征向量；若求出A的n个线 性无关特征向量1，C2,Cu,令P=(a,Q2,Q) 就能使PAP=人为对角阵，对角阵补主对角线上的 元素依次为C1,Q2,.,Qn所属的特征值人1，人2.，人 定理2 4nxm有n个不同 特征值21，.，入， → A~= (克分不必要) 定理3 Ax,相似曰 A的每一个k,重特征值入，对 对角矩阵 应k个线性无关的特征向量 即每个特征值的代数重数等子其九儿何雅数

定理2. 1 ~ n A         =       An×n有n个不同 特征值 1 , ,   n (充分不必要) 定理3. A的每一个ki重特征值 对 应ki个线性无关的特征向量   i An×n相似于 对角矩阵 由定理1, 矩阵A是否与一对角矩阵相似, 只需考察A 是否有n个线性无关的特征向量；若求出A的n个线 性无关特征向量    1 2 , , , n ,令    1 2 ( , , , ) P = n 1 P AP − 就能使 =  为对角阵,对角阵 主对角线上的 元素依次为    1 2 , , , n 所属的特征值 1 2 , ,    n  即每个特征值的代数重数等于其几何维数

上次课例1一3. 2 2 =一 X1=(1,1,0) 1.A= 2 -2 九=1 X2=(1,-1,10Y -2-2 九3=3 X3(0,1,1) -1 ∴.A~Λ= ,P= PAP=人 3 3 入=4X=(1,1,2)7 2.A= 3 -53 6 2=人3=-2X,L,1,0)y,X=(1,0,07 -2 ,P= PAP=人 2(

1. 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A     = −       − − 1 = −1 2 = 1 3  = 3 ——X1=(1,-1,0)T ——X2=(1,-1,1)T ——X3=(0,1,-1)T 2. 1 3 3 3 5 3 6 6 4 A   −   = −       − 1 = 4 2 3   = = −2 ——X1=(1,1,2)T —X2=(1,1,0)T , X3=(-1,0,1)T 上次课例1－3： 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 ~ , 3 1 A P P AP , −           = = =             − − − −  1 ~ , , 1 2 1 0 1 0 1 1 1 4 2 2 A P P AP −     −       = = =          − −    

-1 0 2=2 X0,0,1)7 3.A= 0 -43 九2=2=1X2(1,2,1)Y 02 代数重数2，几何维数1. A只有两个线性无关特征向量（二重特征根只对应 个线性无关特征向量)，A不可对角化。但A可与若 当形矩阵相似 2 0 0 A~L= P 0 2 P-AP=J 0 注：设P= 由AP三PJ求出b,c,确定P

3. 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   −   = −        2 3 = = 1 1 = 2 代数重数2，几何维数1. ——X1=(0,0,1)T ——X2=(1,2,-1)T 1 1 0 0 ~ 0 2 1 , 0 0 A J     =       A只有两个线性无关特征向量(二重特征根只对应一 个线性无关特征向量)，A不可对角化。但A可与若 当形矩阵相似 1 1 0 1 0 2 a b c P     =   −     注:设 , 由AP＝PJ求出a, b, c，确定P. 1 1 2 1 0 0 1 P P AP J , −     = =       − ?

例4.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3，设 B=A3-3A+E,问矩阵B能否与对角矩阵相似 解：由已知，B的特征值为13+1=1 8-6+1=3 27-9+1=19 .B

A B A A E B 3 . 3 1, 2, 3, = − + 3 , 例4 已知 阶矩阵 的特征值为 设 问矩阵 能否与对角矩阵相似 解:由已知，B的特征值为1-3+1=-1 8-6+1=3 27-9+1=19 1 ~ 3 19 B   −         