复习： 1.是必1，C的线性组合(B可由，.，0，线性表示) 台3k1,k2,.,k,3阝=k01+k2,+.+k, 2.任一n维向量=(41,2，4n)都是R的基本单位 向量组的线性组合：Q=L181+4282++4n8n 41X1+412X2+.+41nXn=b B可表示为 3. 2X1+422水2++42m式n=b 有解一 C1,C2,‘,Cn 的线性组合 (组合系数就是 方程组的一个解) 01 02 2025/4/6 第二章线性方程组
2025/4/6 第二章 线性方程组 1 = + + + a a a 1 1 2 2 n n 1. 是 的线性组合( 可由 线性表示) , , 1 s , , 1 s 2. 任一n维向量 都是Rn的基本单位 向量组的线性组合: 1 2 ( , , , ) = a a an d , , , , k k k 1 2 s k k ks s = + + + 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 有解 1 2 n (组合系数就是 方程组的一个解) 3. 可表示为 的线性组合 , , , 1 2 n 复习：
4a&,线性相关台h,k,不全为0， )k10c1+k202+.+k,C,三 01,02,0,线性无关兮k1C1+k202+.+k,0,=O 仅当kk2=k,0时成立 41m1+012X2+.+41mXn= 5. 021X1+22X2+.+02mXn=0 C1,0C2,Cn 有非零解一 线性相关 (只有零解) 无) m七+m22++0mnn=0 ←→r<n (r=n) (重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. B可否由Q,.,0,线性表示 竖排行变换，B放末列 c1,.,Q,是否线性相关一竖排行变换. 求向量组的秩，并将其余 竖排行变换
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 有非零解 (无) (只有零解) 1 2 n r < n (r = n) 5. 线性相关 , , , 1 2 n , , , 1 2 s 线性相关 d , , , k k k 1 2 s 不全为0， k k k O 1 1 2 2 s s + + + = 4. 1 2 , , , s 线性无关 d 仅当k1 =k2 =.=ks=0时成立. k k k O 1 1 2 2 + + + = s s 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 1 , , s 线性表示—— 竖排行变换， 放末列. 1 , , s 是否线性相关——竖排行变换. 求向量组的秩,并将其余.——竖排行变换
定理1.个n维向量线性相关（线性无关） 一其排成的行列式值为0（不为0） 定理2.向量个数>向量维数，向量组线性相关 定理3.部分相关→整体相关；整体无关→部分无关 定理4.短无关→长无关；长相关→短相关 定理5.向量组0，c2,C,(S≥2)线性相关（线性无关） →其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 (任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.1，Q2,·,C线性无关，B,Q,a2,C,线性相关 →阝可由0必1,2，Q,唯一线性表示
定理5.向量组 1 2 , , , ( ) s s 2 线性相关(线性无关) (任一向量都不能由其余向量线性表示) 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 定理3.部分相关 整体相关；整体无关 部分无关 定理4. 短无关 长无关；长相关 短相关. 定理6. 1 2 , , , s 线性无关， , , , , 1 2 s 线性相关 可由 , , , 唯一线性表示. 1 2 s 定理1. n个n维向量线性相关(线性无关) (不为0) 定理2.向量个数>向量维数， 其排成的行列式值为0 向量组线性相关.
定理7.向量组①可由山，（山可由（线性表示 →向量组（⑩可由Ⅲ）线性表示 定理8.向量组与其极大无关组等价. 推论向量组的任意两个极大无关组等价 定理9向量组阝，阝2，.，阝，可由01,2，.，C,线性 表示，若t>5,则阝1，P2,阝，线性相关 (记：多的可由少的线性表示，多的线性相关) 推论1（逆否命题）阝，阝2，.阝，线性无关，且可由 a1,Q2,C,线性表示→t≤S 推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等 推论3向量组的所有极大无关组所含向量个数相等
定理8.向量组与其极大无关组等价. 推论 向量组的任意两个极大无关组等价 定理7. 向量组(I)可由(II) ， (II)可由(Ⅲ)线性表示 向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示 定理9 向量组 可由 线性 表示,若t > s，则 线性相关. (记：多的可由少的线性表示，多的线性相关) , , , 1 2 t , , , 1 2 s , , , 1 2 t 推论3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等 推论1(逆否命题) t s 推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等. , , , 1 2 s , , , 1 2 t 线性表示 线性无关，且可由
定理100必1,0必2，Q,可由阝，阝2，·，乃，线性表示 →r(@,a2,.,C,上r(阝，阝2，B) 推论：等价的向量组秩相等 2.3向量组的秩 五、向量组的秩与矩阵的秩的关系 一、 极大无关组 矩阵的行秩：矩阵的行向量组的秩 二、等价向量组 三、向量组的秩 矩阵的列秩：矩阵的列向量组的秩 四、典型例题 定理11矩阵A的行秩=矩阵A的列秩=矩阵A的秩 “三秩相等”定理 由“重要结论·行恋拖不改恋列向量间的线性关系 理解定 行阶梯形矩阵 -3 ,r(4) 非零行的行数 0 4 同埋 的行秩 A的列秩
定理10 推论：等价的向量组秩相等. ( , , , ) ( , , , ) s t r r 1 2 1 2 , , , 1 2 s , , , 可由 1 2 t 线性表示 ≤ 五、向量组的秩与矩阵的秩的关系 2.3 向量组的秩 一、极大无关组 二、等价向量组 三、向量组的秩 四、典型例题 矩阵的行秩:矩阵的行向量组的秩 矩阵的列秩:矩阵的列向量组的秩 定理11 矩阵A的行秩＝矩阵A的列秩＝矩阵A的秩 (“三秩相等”定理) 由“重要结论:行变换不改变列向量间的线性关系 ” 理解定理: A⎯⎯→ 初等 行变换行阶梯形, r(A)=行阶梯形矩阵 非零行的行数 = A的列秩 = A的行秩 同 理 − − − − − 1 2 3 4 4 1 1 3 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.4向量空间 、 向量空间概念 定义实数域R上的n维向量构成的非空集合满足： (1)Va,B∈V,a+阝∈V;(2)VaeV,k∈R,kaeV 则称V为实数域R上的向量空间（加法、数乘封闭 例：V={(x,y,0)x,y∈R}是一个向量空间. 三O称为委空间.平=cc中2会高 实数域R上的所有维向量的集合，记R" 平面直角坐标系中，点P对应有向线段OP 维向量.两向量的和、实数与向量的积仍是二维 向量.所有二维向量的集合一二维向量空间 R2即整个坐标平面.三维向量空间R3为普通几 何空间
(加法、数乘封闭) 一、向量空间概念3.4 向量空间 定义 实数域R上的n维向量构成的非空集合V满足: (1) ; (2) 则称V 为实数域R上的向量空间. , + V V , V k R k V , , L＝{o}称为零空间. V x y x y R = {( , , ) , } 0 是一个向量空间. W x y x y = + = {( , ) } 2 1 不是向 量空间. 例: 实数域R上的所有n维向量的集合，记Rn . 平面直角坐标系中,点P对应有向线段 ——二 维向量. 两向量的和、实数与向量的积仍是二维 向量. 所有二维向量的集合——二维向量空间 R2——即整个坐标平面.三维向量空间R3为普通几 何空间. OP
“基与坐标”概念的背景： X 设某三维向 则有： 量坐标为： 即：任一三维问量的坐标即为该向 量用三维向量空间R的极大无关 组E,G2,63线性表示时的组合系数 0,0,10 称81,82,83为的一组基.推广： 01,0 的任一极大无关组称作的 1,0,0) 组基（秩即为空间的维数）， 某三维向量由其线性表示时 的组合系数称作该向量在这组基下的坐标 般地，可对n维向量空间R定义基、维数、坐标：
“基与坐标”概念的背景： x y z 设某三维向 量坐标为： 则有: = + + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x y x y z z 即:任一三维向量的坐标即为该向 量用三维向量空间R3的极大无关 组 , , 线性表示时的组合系数. 1 2 3 称 为R3的一组基. 推广: R3的任一极大无关组称作R3的 一组基(秩即为空间的维数), • • • (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) x y z 一般地, 可对n维向量空间Rn定义基、维数、坐标: , , 1 2 3 某三维向量由其线性表示时 的组合系数称作该向量在这组基下的坐标
二、基、维数与坐标 定义设V是向量空间，若向量组∝1,02，Q,∈Y 满足)C必，C2,·,Cn线性无关；(2)中任一向量都 可由Q,Q2,',0n线性表示.则称0c1,C2,.,0n为 空间的一组基，n称为V的维数，记dimV=n,并 称V为n维向量空间.若Q=11+02+.+l,Q, 则称(@1,2，n)为关于基C1,2,Cn的坐标. 注：()某n个向量是R的基→其排成的行列式值0 (2)n维向量关于某一组基的坐标唯 一 (3)标准基：8=(1,0，.，0)，e2=(0,1,0),8n=(0,0,1) 0=(,L2,4,n)}关于标准基的坐标为@1,2，n
二、基、维数与坐标 定义 设V是向量空间, 若向量组 满足 1 2 , , , n V (1) 线性无关;(2)V中任一向量都 可由 线性表示. 则称 为 空间V的一组基，n称为V的维数，记dimV=n，并 称V为n维向量空间. , , , 1 2 n , , , 1 2 n , , , 1 2 n = + + + 1 1 2 2 n n 若 a a a 则称(a1 , a2 , ., an )为 关于基 的坐标. , , , 1 2 n 注: (1)某n个向量是Rn的基 其排成的行列式值≠0 (2) n维向量关于某一组基的坐标唯一. = = = ( , , , ) , ( , , , ) , , ( , , , ) 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 T T T (3)标准基: n = ( , , , ) 1 2 T n a a a 关于标准基的坐标为(a1 , a2 , ., an )
例1证明1=(1,2,1,0)'，02=(1，-1,1,1) 3=(1,2,1,1)',4=(-1,1,0,1)是R4的一组基， 并求向量o=(1,0,0,0)T在这组基下的坐标. 直接将向量a表示为01，a2,a3,a,的线性组合！ 阑时可证明到C1,Ca2,e4,4线性疪长 2 (1x23a4） 1 0 0 13
1 2 3 4 同时可证明到 , 线性无关! 例1 证明 = − = − ( , , , ) , ( , , , ) , 1 2 1 2 1 0 1 1 1 1 T T 是R4的一组基， 并求向量 = ( , , , ) 1 0 0 0 在这组基下的坐标. T 解 = − = − − ( , , , ) , ( , , , ) 3 4 1 2 1 1 1 1 0 1 T T ( ) − − − − = − 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 2 3 4 直接将向量 表示为 , 的线性组合! − − → − − − 1 0 2 2 1 0 1 1 1 0 0 0 2 3 1 0 0 1 5 1 − − → − − − 1 0 2 2 1 0 1 1 1 0 0 0 2 3 1 0 0 7 4 2 − − − − → − 1 1 1 1 1 0 3 4 1 2 0 2 0 1 1 0 1 1 1 0 − − → − − 1 0 0 12 3 0 1 0 6 1 0 0 1 5 1 0 0 0 13 3
3 0 0 0 13 1 0 12 3 0 0 0 5 13 0 2 000 13 3 13 3 13 .01302,03304 3 2 3 线性无关，且a=130+38 03 13 13 即C1,Q2,03,C4是一组基，向量C在其下的坐标为 2 3
( , , , ) 3 5 2 3 13 13 13 13 − − → − − 3 1 0 0 0 13 5 0 1 0 0 13 2 0 0 1 0 13 3 0 0 0 1 13 − − → − − 1 0 0 12 3 0 1 0 6 1 0 0 1 5 1 0 0 0 13 3 1 2 3 4 3 5 2 3 13 13 13 13 = + − − 1 2 3 4 , 线性无关，且 即 1 2 3 4 , 是一组基, 向量 在其下的坐标为