我们对矩阵定义了加减、数乘、乘法、方阵 的乘方与多项式、转置等运算，矩阵无除法运算！ X=B关x. A 但“除”从“乘” 来： 3x=5 二. 那么，AX=B可否类此，两边同乘以一矩阵得： X= 引入新概念 逆矩阵
我们对矩阵定义了加减、数乘、乘法、方阵 的乘方与多项式、转置等运算. 矩阵无除法运算! 但“除”从“乘” 来： 那么,AX＝B可否类此,两边同乘以一矩阵得: 引入新概念——逆矩阵 3x＝5 1 3 ·3x＝ ·5 1 3 x＝. AX＝B B X A × = X＝. 1
2.3逆矩阵 一、逆矩阵的概念 1.定义：设AnXm,若AB=BA=E,称B是4的逆矩阵， 记B=A口1，并称A可逆. ()由A、B可交换知：A、B为同阶方阵， (2)B是A的逆矩阵→A、B互为逆矩阵. :0000司 注]不可写作，”一般B≠B雪 B 而将记作，三者均为A了
2.3 逆矩阵 一、逆矩阵的概念 1.定义:设An×n ,若AB＝BA＝E,称B是A的逆矩阵, 记B＝A-1 ,并称A可逆. (2)B是A的逆矩阵 A、B互为逆矩阵. 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 1 0 1 1 0 1 0 1 − − = = 例： [注] A-1不可写作 ，∵一般A-1B≠BA-1 ， 1 A 而将A-1记作 ，二者均为 了！ (1) 由A、B可交换知: A、B为同阶方阵. 1 A B A
2.性质： 1)A可逆 了A唯一 2)A)1=A 3)k4)尸1=三A40)房 4)(AB)1=BA 5)(4A④=( 6) A 证：1)设B、C均是A的逆，则4B=BA=E=AC=CA B=BE=B(AC)=(BA)C=EC-C 5)A(A)I=(A)=E=E,同理，(A)A=E 04-=17 由此亦可见，A可逆→A≠0 [注A,B均可逆，A+B未必可逆，即使A+B可逆，一般 (A+B)丰A1+B-I例：
2. 性质： 1) A可逆 A-1唯一； 2) (A-1 ) -1＝ 1 1 A k − 3) (kA) -1＝ 4) (AB) -1＝ 5) (AT ) -1= (A-1 ) T ; 6) 1 . A 证:1)设B、C均是A的逆,则 B＝BE＝B(AC)＝(BA)C＝EC 5) ,同理, 6) 1 AA E − = 1 A A 1 − = 1 1 A A − = 由此亦可见，A可逆 A 0 [注]A,B均可逆,A+B未必可逆,即使A+B可逆,一般 (A＋B)－1≠A－1＋B－1 . 例： 1 A − = AB＝BA＝E＝AC＝CA 故 ＝C A； (k≠0); B-1A-1 ; AT (A-1 ) T＝ (A-1A) T＝ET＝E (A-1 ) TAT＝E AA-1＝E − + − 1 1 1 1
二、矩阵可逆的充分必要条件 1.定义：若4n≠0，则称4为非奇异的 2.定理：Anxn可逆←一A非奇异 证：→性质6)已证；三（将逆矩阵拿出来！） A 设B Ap A An2 A是A中元素的 A 代数余子式 Au Ann 12 A 行列式 421 L22 0· AB 02n An2 按行展 A 开定理 及推论！
二、矩阵可逆的充分必要条件 1.定义：若 0 ,则称A为非奇异的. An n 2.定理：An×n可逆 A非奇异 证: 性质6)已证; (将逆矩阵拿出来!) 11 21 1 12 22 2 1 2 1 n n n n nn A A A A A A B A A A A = 设 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 1 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AB A a a a A A A = 行列式 按行展 开定理 及推论! Aij是 A 中元素aij的 代数余子式
AB 21 （l22 a2n Ar A An2 A A n2 A A =E A 同理可证BA=E (行列式按列展 开定理及推论！) .B三A=1
11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 1 n n n n n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A AB A a a a A A A = 1 A A E A A = = 同理可证 BA =E (行列式按列展 开定理及推论 ! ) ∴ B ＝ A － 1
A .An 3.定义：称 .An2 为A的伴随矩阵， 注意①转置， ②符号) [注①上定理记为：4X可逆≠0，且1 A ②重要结论：A=AA；AA=AA=AE 4.推论：AnXnBnXnE→A,B可逆，且AI=B,B-l=A 证：ABAB=E=1A≠0，B≠0 由矩阵可逆充要条件，、B可逆， 由AB=E两边左乘A得：B=A1 两边右乘B得：A=B-I [注]证B是Anx,的逆阵，只要证一个等式：AB(或BA)=E
3.定义:称 为A的伴随矩阵. (注意①转置; ②符号) [注]①上定理记为:An×n可逆 A 0 ,且 1 1 A A A − = ②重要结论: AA A A A E = = 1 A A A ; − = 4.推论:An×nBn×n =E A,B可逆,且A－1=B, B－1 =A 证: AB A B E A B = = = 1 0, 0 由矩阵可逆充要条件,A、B可逆. 由AB＝E两边左乘A－1得： 两边右乘B－1得： [注]证B是An×n的逆阵,只要证一个等式:AB(或BA)=E B=A－1 A=B－1 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A =
例1阶方阵A满足A2一3A一10E=O,证明A、 解：由4-34-10E=0得：1-4E可逆并求其逆 A4-3E010E=>4043E)EEA0(43E 又由己知(A一4E)AHE)=6E →(M-4E)64+E)=E(A-4E)M+E) 例2(02考研)：设A ,B=A2-3A+2E,求B- -2 B= B=2,B* 2 -2-2
例2(02考研):设 1 1 2 3 A − = 1 0 2 1 1 − − 2 1 2 0 B − − = * 0 1 2, 2 2 B B = = − − ,B=A2－3A+2E，求B－1 例1 n阶方阵A满足A2－3A－10E=O，证明A、 A－4E可逆并求其逆. 解:由A2－3A－10E＝O得: − − = = − 1 1 1 ( 3 ) ( 3 ) 10 10 A A E E A A E − + = 1 ( 4 ) ( ) 6 A E A E E 又由已知 − = + −1 1 ( 4 ) ( ) 6 A E A E A(A－3E)=10E (A－4E)(A＋E)＝6E
123 例3判断A=221 是否可逆，若可逆，求其逆 343 12 3 解A 22 1=6+6+24-18一12-4=20 343 A可逆 2 2 3 2 3 43 4 3 2 1 3 -2 2 3 3 3 5 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2
例3 判断 是否可逆，若可逆，求其逆. 1 2 3 2 2 1 3 4 3 A = 1 2 3 2 2 1 3 4 3 解: A = 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 3 2 1 1 3 2 1 1 3 5 2 1 1 3 1 3 3 2 3 3 3 3 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 3 4 3 4 2 2 A A A − − = = = − − − − − − − =6＋6＋24－18－12－4＝2≠0 ∴A可逆
例4 4≠0 A- i=1,2,.,n 则：A1三 444 例5设4为n阶方阵，且人=a≠0，则="- 2025/4/6 第三章矩阵
2025/4/6 第三章 矩阵 9 k 1 2 0 1,2, , i n a a a A i n a = = 例4 1 2 1 1 1 n a a a 则: A－1 ＝ 例5 设A为n阶方阵, 且 A a = 0, 则 A ＝a n－1 AA A E = n A A A =
三、应用 AX=B,A可逆→X=A=B 1.解矩阵方程 XA=B,A可逆→X=BA-I AXB=C,A、B可逆→X=A-1CB 例6 123 13 2 A三 221 ,B= C 20 求X,使 5 3 AXB=C. 343 3 解：由例3，A可逆，B=1≠0，故B可逆 13-2 -2 ∴.X=ACBI 3 3 2 10 2 5 3 -10
三、应用 1.解矩阵方程 例6 1 2 3 2 2 1 , 3 4 3 A = 1 3 2 1 , 2 0 . 5 3 3 1 B C = = 求X,使 AXB=C. 解：由例3,A可逆, B = 1 0 ，故B可逆. 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 5 3 1 3 2 0 10 4 2 2 5 2 3 1 10 4 1 1 1 X A CB − − − − − = = − − = − − − − AX＝B, A可逆 X＝A－1B XA＝B, A可逆 X＝BA－1 AXB＝C, A、B可逆 X＝A－1CB－ 1