《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_4-4实对称对角化

复习： 定义：设Anxm,Bnxm,若存在可逆阵P,使PAP=B, 则称A相似于B,记AB. 定理 Anxn有n个不同 →A~人 特征值人，“，九克分不妻) 定理 Anx相似曰 A的每一个，重特征值入，对 对角矩阵 应k个线性无关的特征向量

定理 定理 定义: 设An×n , Bn×n , 若存在可逆阵P, 使P-1AP＝B, 则称A相似于B，记A~B. 复习： 1 ~ n A         =       An×n有n个不同 特征值 1 , ,   n (充分不必要) A的每一个ki重特征值 对 应ki个线性无关的特征向量   i An×n相似于 对角矩阵

4.4实对称矩阵的对角化 、实对称矩阵特征值和特征向量的性质 1.实对称矩阵的特征值为实数，特征向量为实向量 2.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交， 证：任取实对称矩阵4对应于不同特征值人，入2的 特征向量C1,C2,则 证(a1,a2)=0 Aa1=人1a1,AC2=九22 将人0，=AC转置后再用c2右乘得： 即a1a2=0 aa2={A'a2=aAa2=九a2=孔，a ÷.(-九2)c2=0人1≠九2∴.aa2=0 即(a,2)=0

4.4 实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵的特征值为实数，特征向量为实向量. 一、实对称矩阵特征值和特征向量的性质 2.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交. 证：任取实对称矩阵A对应于不同特征值 的 特征向量 , 则 1 2  , 1 2  ,    1 1 1 = A  1 2 证( , ) 0 = 1 1 1 2 2 2 A A       = = , 将 转置后再用  2 右乘得： 1 1 2 T    = 1 2 T T   A = 1 2 T  A = 1 2 2 T    = 2 1 2 T    1 2 1 2 ( ) 0 T  − =     1 2 1 2 0 T       =  1 2 0 T 即 =  1 2 即( , ) 0 = T A A =

3.实对称矩阵A的k重特征值必对应k个线性无关特 征向量→A有n个线性无关特征向量→A可对角化 二、实对称矩阵的对角化 1.定理对实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得 QAQ(=Q'AQ)为对角阵 由性质3，A~人，PAP=人(—由P得正交阵Q) 正交化、单位化？ 由性质2，不同特征值对应特征向量正交，只要将 同一特征值对应的线性无关特征向量正交化，再将 个向量组成的正交向量组单位化后竖排即得Q

二、实对称矩阵的对角化 1.定理 对实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得 由性质3， 1 A P AP ~ , −  =  (——由P得正交阵Q?) 正交化、单位化? 由性质2，不同特征值对应特征向量正交，只要将 同一特征值对应的线性无关特征向量正交化, 再将 n个向量组成的正交向量组单位化后竖排即得Q. Q -1AQ 为对角阵 3. 实对称矩阵A的k重特征值必对应k个线性无关特 征向量  A有n个线性无关特征向量  A可对角化 (＝QTAQ)

2.实对称矩阵对角化时，求正交矩阵的步骤： (1)求A的全部不同特征值21，入2，人， (2)求每个特征值2，(=1,2，.对应的线性无关特征 向量 2,E-AX-0的基础解系C,a2,n 3)将各重根对应的线性无关特征向量正贪化. (4将全部正爱向量组单位化得门1，门2，.，门m 5)以71,72，·，7m为列向量构成矩阵O即为所求正 交矩阵，且QAQ=QAQ=人为对角阵，其主对角 线上元素由各特征向量对的特征值排成

(3)将各重根对应的线性无关特征向量正交化. (4)将全部正交向量组单位化得 1 2 , , ,   n    1 2 s (1)求A的全部不同特征值 , , , ( ) i     i i E A X − = 0 , , , 的基础解系 i i 1 2 r (2)求每个特征值 (i=1,2,.,s)对应的线性无关特征 向量—— i 且Q-1AQ=QTAQ =  为对角阵，其主对角 线上元素由各特征向量对应的特征值排成. (5)以 为列向量构成矩阵Q即为所求正 交矩阵, 1 2 , , ,   n 2.实对称矩阵对角化时,求正交矩阵的步骤:

例2求正交矩阵Q,使QAQ为对角阵，其中A 入-1 -1 解 九E-A -1 -1 λ-3 九-3λ-1 -1 =λ2(2-3) ,.A的特征值为 2-3 -1 入=3，入=23=0 对入=3，齐次线性方程组3E一A)X=O的系数矩阵 2] -2 (3E=A0 0-3 3 0 -1 0 1 -3 0 0 .A的属于特征值3的线性无关特征向量为∝1=(1,1,1)

例2 求正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角阵, 其中 111 111 111 A     =     解       1 1 1 1 1 1 1 1 1 E A − − − − = − − − − − − ∴A的特征值为 1 (1,1,1)T =    1 2 3 = = = 3, 0 对 1 = 3 , 齐次线性方程组(3E－A)X＝O的系数矩阵 (3E－A)＝ 2 1 1 1 2 1 1 1 2   − −     − − →     − − 1 1 2 0 3 3 0 3 3   −     − →     − 1 0 1 0 1 1 0 0 0   −   −         2 = − ( 3)      3 1 1 3 1 1 3 1 1 − − − = − − − − − − ∴A的属于特征值3的线性无关特征向量为

对2=人，=0，齐次线性方程组（一）X=O的系数矩阵 (一) 0( -1 000 .A的属于特征值0的线性无关特征向量为 2=（1,1,0),03=(1,0,) 将，正交化得B2=a2-(1,1,0)Y f3=03 L010 (B2,B) 将，B,P,单位化得 =方

对   2 3 = = 0 ,齐次线性方程组(－A)X＝O的系数矩阵 (－A)＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0     −−−         − − − →         −−−   2 3 ( 1, , ) ( 1, , ) 1 0 0 1 T T = − = − , ∴A的属于特征值0的线性无关特征向量为 将  2 3 , 正交化得   2 2 ( 1,1,0)T = = − ( , ) ( , )        3 2 3 3 2 2 2 = − 1 ( 1,0,1) ( 1,1,0) 2 T T = − − − 1 1 ( , ,1) 2 2 T = − − 将    1 2 3 , , 单位化得 1 111 ( , , ) 333 T = 2 1 1 ( , ,0) 2 2 T = − 3 1 1 2 ( , , ) 6 6 6 T = − −

1 令0=712，] 店 1 0 26 3 则：Q只AQ=QAQ=A=

令 Q =    1 2 3 , ,  则：Q -1AQ＝QTAQ =  3 0 0     =       1 1 1 3 2 6 1 1 1 3 2 6 1 2 0 3 6   − −   = −  

例3.设3阶实对称矩阵4的特征值为1,2,3，属于1,2的 特征向量分别为a=(1,-1,1),c2=（1,2,1) ()求4A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵4. 解：)设A的属于特征值3的一个特征向量为 4,=（,x2,&)】则aa3=0=aa3 -1-2+x3三0 X1-2x2-飞3=0 -2 1-2 基础解系为3=(1,0,1) 故A的属于特征值3的全部特征向量为k0 ,k≠0

例3.设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3, 属于1,2的 特征向量分别为 1 2 ( 1, 1,1 , 1, 2, 1 ) ( ) T T   = − − = − − (1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A. 解：(1)设A的属于特征值3的一个特征向量为 3 1 2 3 ( , , ) T  = x x x 1 2 3 1 2 3 0 2 0 x x x x x x − − + =   − − = 则 1 3 2 3 0 T T     = = 1 2 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 0 3 0 0 1 0       − − − − −       → →       − − − ( ) 3 1,0,1 T 基础解系为  = 故 A的属于特征值3的全部特征向量为 1 0 , 0 1 k k           

(2)01,C2,c3是R的一组正交基. 单位化得标准正交基β，P2,B3记Q=B,阝2，B] 则：QAQ=QAQ=Λ→A=2A2=Q人O 1 2 A= 26 0 1 6 1 1 石 √2 2 13 -2 5 -6 -2 10 2 01,02,C3 5 2 13

1 2 3 (2)    , , 是R3的一组正交基. 单位化得标准正交基 1 2 3    , , 1 2 3 Q =      , , 记   则：Q -1AQ＝QTAQ =   1 A Q Q− =  T = Q Q 1 1 1 1 1 1 3 6 2 3 3 3 1 1 2 1 2 1 0 2 3 6 6 6 6 3 1 1 1 1 1 0 3 6 2 2 2 13 2 5 1 2 10 2 6 5 2 13 A     − − −                 = − − − −                   −           −   = −      1 2 3 1 1 1 , , 1 2 0 1 1 1      −       = − −       −

例4(02考研)A为3阶实对称矩阵，且满42+2A=O 已知A的秩为2，求4的全部特征值. 解设为4的一个特征值，对应特征向量为Q,则 Aa=九a(a≠0)→(A+2A0a=(22+22)a 由A2+2A=0得(22+2孔)a=0 而0丰0 ∴.风2+2九=0→九=-2，九=0 ,·实对称矩阵4必可对角化，且()=2 -2 相仙矩阵有相同的秩！ .A -2 .A的全部特征值为 0 九=九=-2,2=0

例4(02考研) A为3阶实对称矩阵,且满足A2＋2A＝O 已知A的秩为2，求A的全部特征值.    1 2 3 = = − = 2 0 , . A   =  ( 0) A A     2 2  + = + ( 2 ) ( 2 ) 由A2＋2A＝O得    O 2 ( 2 ) + = 而  ≠O 解 设  为A的一个特征值，对应特征向量为  ，则   2  + = 2 0  = − =   2, 0 ∵实对称矩阵A必可对角化，且r(A)＝2 A 2 ~ 2 0   −    −       ∴A的全部特征值为 相似矩阵有相同的秩!