复习：行列式按某行（列展开定理及推论 第i行 D 展开 a4n+024n++a4n∑4,4，(i=l,2,.,m 1 涕j列 展开 ayta1.2. 推论 aiAsita2As2++aiAsn=0 (ifs) 1yA+22十+mAm0(f) 综合定理及推论得： D i=i ∑4uAx D i=i 0 i≠j 0 k=1 k= i≠j
复习：行列式按某行(列)展开定理及推论 按第 行 展开 i D ==== 1 ( 1,2, , ) n ij ij j a A i n = = = 按第 列 展开 j ==== 1 ( 1,2, , ) n ij ij i a A j n = = = ai1Ai1+ai2Ai2+.+ainAin a1jA1j+a2jA2j+.+anjAnj ai1As1+ai2As2+.+ainAsn=0 (i≠s) a1jA1t+a2jA2t+.+anjAnt=0 (j≠t) 推论 1 n ki kj k a A = 1 n ik jk k a A = 0 D i j i j = = 0 D i j i j = = 综合定理及推论得:
l.4克莱姆(Cramer)法则 n个未知量n个方程的线性方程组，在系数行列式不 为零时的行到式解法，称为克莱姆(Cramer)法则. 设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组 mx1+412X2+.+41mXm=b1 2七1+422+.+02mxn=b2 mx+02k2+.+amXn=bn 或表示为之4，bi山，2，" j=1
n个未知量n个方程的线性方程组, 在系数行列式不 为零时的行列式解法, 称为克莱姆(Cramer)法则. 设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (*) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 1 1,2, , n ij j i j a x b i n = 或表示为 = = 1.4 克莱姆(Cramer)法则
定理1设线性非齐次方程 组()的系数行列式 D= ≠0 L n 则（有唯一解合出 D D (j=1,2,.,0 其中， 41b1 1, D (j=1,2,.,n)
定理1 设线性非齐次方程 组(*)的系数行列式 11 1 1 0 n n nn a a D a a = 则(*)有唯一解 1 2 1 2 , , , n n D D D x x x D D D = = = 11 1, 1 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 j j n j n n j n n j nn a a b a a D a a b a a − + − + = 其中, ( j＝1, 2, . , n) 即: j j D x D = ( j＝1, 2, . , n)
证明：（)是解（2)解唯 山将与分01,2，m ∑gx,=bi=1,2,.,n(*) i=1 代入()左端，又将D按第列展开，得 喜易同四D蓝446 i=l k=l D24,)D264,4) b,D 注]D后 ∑a D,k=i =b:(i=1,2,.,n i= 0,k≠i a,jr anj bn anjt
证明: (1)是解. (2)解唯一. (1)将 j xj D D = 代入(*)左端, 1 1 n ij j a D = = 1 1 1 ( ) n n ij kj k j k a A b D = = = 1 1 1 ( ) n n ij kj k k j a A b D = = = 1 1 1 ( ) n ij kj n k k j b a A D = = = 1 b Di D = (*) 1 n ij kj j a A = = 1 1,2, , n ij j i j a x b i n = = = ＝bi ( i＝1, 2, . , n) , 0, k i i D k = [注] (j=1,2,. ,n) 1 ( ) ij j j n D D a = 11 1, 1 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 j j n j n n j n n j nn a a b a a D a a b a a − + − + = 又将Dj按第j列展开，得 1 ( ) n k kj k b A =
(2)若有二组数x1,心2，x,m满足()，则 2 Cyn 0X1 12 21 L22 （l2n 421X1 L22 (2n DX =X Amxi An2 41式1+012式2+·+01nXn12 2 L21X1+022X2+.+2nXn02 A2n 122 anan2annXn an2 b nn =D .X1 D D≠0) 同理 Dx=D→=,j=l,2,.,n
5 (2)若有一组数x1 , x2 , . , xn满足(*), 则 12 1 22 2 2 11 1 21 1 1 1 n n n n nn a x a x a a a a x a a a = 11 1 12 2 1 12 1 21 1 22 2 2 22 2 1 1 2 2 2 n n n n n n n n nn n n nn a x a x a x a a a x a x a x a a a x a x a x a a + + + + + + = + + + 12 1 2 22 2 1 2 n n n n nn b a a b a a b a a = 1 1 ( 0) D x D D = 12 1 22 11 21 1 2 1 2 n n n n nn a a a a x a a a a a ＝D1 同理 , 1,2, , j j D x j n D = = Dx1 ＝ Dxj ＝Dj
注：用克莱姆法则解线性方程组的条件 ()方程个数=未知量个数(2)系数行列式D0 方程个数≠未知量个数及D=0的情形以后讨论 1mX1+412式2+.+41mxn=0 齐次线性方程组： 42+022+.+42mn=0 amx+an2x2++amxn=0 或表示为 4gy=0i=1,2,n 1 齐次线性方程组必有零解 有香旅零解？
注:用克莱姆法则解线性方程组的条件—— 1 0 1,2, , n ij j j a x i n = 或表示为 = = 齐次线性方程组: 齐次线性方程组必有零解 有否非零解？ 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = (1)方程个数＝未知量个数 (2)系数行列式D≠0 方程个数≠未知量个数及D＝0的情形以后讨论
定理2齐次线性方程组 4x,=0i-1,2,n i=l 当D0时只有零解，没有非零解 定理3 齐次线性方程组 ∑4gx,=0iel,2,.,n (定理2的 1 递居命题)有非零解，则D=0 注：定理3说明D三0是齐次线性方程组有非零解的 必要条件.后面将证明也是充分条件即： 齐次线性方程组∑，x,=0i=l,2,n有非零解 →D=0
定理2 齐次线性方程组 1 0 1,2, , n ij j j a x i n = = = 当 时只有零解, 没有非零解. 定理3 齐次线性方程组 1 0 1,2, , n ij j j a x i n = = = 有非零解, 则 注: 定理3说明D＝0是齐次线性方程组有非零解的 必要条件. 后面将证明也是充分条件.即： 齐次线性方程组 有非零解 1 0 1,2, , n ij j j a x i n = = = = D 0 D≠0 D＝0 (定理2的 逆否命题)
例1解线性方程组 2x1+x2-5x3+X4=8 解 2 1 5 x1-3x2-6x4=9 3 D 2x2-83+2x4=-5 0 2 x,+4x2-7x3+6x4=0 4 6 513 513 7 -3-53 -33 2 12 0-10 =270 2 -1 2 7-2 -712 -77-2 -712 同理D=81,D2=-108,D3=-27,D427 .x3,x2一4，x3=-1,X4=1
2 1 5 1 1 3 0 6 0 2 1 2 1 4 7 6 D − − − = − − 0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12 − − − = − − 同理 D1=81, D2 =－108, D3 =－27, D4=27 ∴ x1=3, x2 =－4, x3 =－1, x4=1 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 2 5 8 3 6 9 2 2 5 4 7 6 0 x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − = − + = − + − + = 例1 解线性方程组 解: 7 5 13 2 1 2 7 7 12 − − − 3 5 3 0 1 0 772 − − = − − −−− 3 3 7 2 − = − − =－ =27≠0
例2k取何值时，线性方程组 X1+X2+2x3+3x4=1 X1+3x2+6x3+X4=3 3x1-x2-c3+15x4=3 有唯一解？ 解： x15x2-10x3+12x4=1 1 23 2 3 2 3 1 3 6 0 4 -2 0 2 4 -2 D 3 k15 0 k-6 6 0 0 -k+2 51012 0 6 12 =6(2=k)≠0 .2时方程组有唯一解
1 1 2 3 1 3 6 1 3 1 15 1 5 10 12 D k = − − − − 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 3 6 3 3 15 3 5 10 12 1 x x x x x x x x x x kx x x x x x + + + = + + + = − − + = − − + = 例2 k取何值时, 线性方程组 解: 有唯一解? 1 1 2 3 0 2 4 2 0 4 6 6 0 6 12 9 k − = − − − − − 1 1 2 3 0 2 4 2 0 0 2 2 0 0 0 3 k − = − + ＝6(2－k)≠0 ∴k≠2时方程组有唯一解
例3问2,4取何值时，齐次线性方程组 九1+X2+x3=0 X1+X2+X3=0 有非零解？ X1+24X2+x3=0 解：有非零解的充分必要条件D=0 -1 =(1-2)4 2μ1 由D=0得入=1或u=0
例3 问 , 取何值时, 齐次线性方程组 解: 有非零解的充分必要条件D＝0 有非零解? 1 1 1 1 1 2 1 D = 111 0 1 0 2 1 − = = − (1 ) 由D＝0得 = = 1 0 或 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 2 0 x x x x x x x x x + + = + + = + + =