习题课二 行列式计算方法小结： 1.利用行列式的定义； 2.化三角形法； 3.拆行（列）法； 4.按某一行（列或某k行（列展开 5,利用范德蒙行列式的结论； 6数学归纳法； 7.递推法； 8.加边法（升阶法）
习题课——行列式计算方法小结： 1. 利用行列式的定义； 2. 化三角形法； 3. 拆行(列)法； 4. 按某一行(列)或某k行(列)展开； 5.利用范德蒙行列式的结论； 6.数学归纳法； 7. 递推法； 8. 加边法(升阶法)
例1.计算n阶行列式 y00 .00 分析]0较多，用行列 0 x v0 .00 式定义或展开定理 D 0000.xy 解（一）由行列式定义 -0-0-0-0-x D=x"+(1)23y"=x"+(1）"y” 二)按第一列展开此行列式，得 xy0.00 y00.00 D=x(国 +y() y0.00 000.x 000. 0 00.xy =x”+(1)y
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y D x y y x = 例1. 计算n阶行列式 [分析] 0较多,用行列 式定义或展开定理. 解(一)由行列式定义 (23 1) 1 ( 1) ( 1) n n n n n n D x y x y − = + − = + − (二)按第一列展开此行列式, 得 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n x y y x y D x y x y x x y + + = − + − 1 ( 1) n n n x y + = + −
例2.计算 ② -2 1 4 2 -2 3 4 1 7 -3 4 1D= 上三 5 -9 2 7 2 =9 5 7 2 -51 2 -5 2 2 鹿 -1 4 2 -2 4 2 2+(-1)巧 0 3 5 6 2→4 3+21,4+h 0 3 0 1 3 0 0 3 5 2 -2 -1 2 -2 5+(-1) 0 -1 4 0 +(-3严 0 4 0 4+3 0 5 3 0 0 5 三9 0 0 0 0 09/5
2 4 1 2 3 7 1 4 5 9 2 7 2 5 1 2 D − − − − = −− 2 1 3 1 4 1 ( 1) 2 , 1 4 2 2 0 3 5 6 0 1 9 3 0 1 4 0 r r r r r r + − + + − − − − −− ==== 3 2 4 2 ( 1) 3 1 4 2 2 0 1 4 0 0 0 5 3 0 0 7 6 r r r r + −+ − − − ==== 1 3 1 4 2 2 1 7 3 4 2 9 5 7 1 5 2 2 c c − − − − ===− −− 2 4 1 4 2 2 0 1 4 0 0 1 9 3 0 3 5 6 r r − − − == − − 4 3 7 ( ) 5 1 4 2 2 0 1 4 0 0 0 5 3 0 0 0 9 5 r r + − − − − ===== ＝ 9 ? ！ 化上三角形例2.计算 (1)
例2.计算 2 4 -2 2 2 -3 7 4 2+(-1) 5 3 6 (ID= 5 9 2 7 5+21,4+1 9 -1 3 展开降阶 2 -5 2 0 -5 3 6 -23 5 0 +(1) 9 3 9 3 4 0 23 =3 9 4
2 4 1 2 3 7 1 4 5 9 2 7 2 5 1 2 D − − − − = − − 2 1 3 1 4 1 ( 1) 2 , 2 4 1 2 5 3 0 6 9 1 0 3 4 1 0 0 r r r r r r + − + + − − − − − ==== 1 2 ( 1) 23 5 0 9 1 3 4 1 0 r r + − − ==== − − − 5 3 6 9 1 3 4 1 0 − − − 23 5 4 1 − − ＝9 展 开 降 阶 例2.计算 (1) ＝－ ＝3
(2) 4阶“范德蒙行列式 2 3 4 D= 1 16 =(213-10(4-103-2)(4-2)(43)=12 827 64 1 2 3 4 10 2 3 2 3 4 3 3) D 3 1010 2 4 2 3 10 2 10 2 3 10 2 3 -3 0 -3 2 =160 0 0 0
1 1 1 1 1 2 3 4 1 4 9 16 1 8 27 64 D = =(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 D = 10 2 3 4 0 1 1 3 0 0 4 4 0 0 0 4 − = − − 10 2 3 4 10 3 4 1 10 4 1 2 10 1 2 3 (3) = 10 2 3 4 0 1 1 3 0 2 2 2 0 1 1 1 − = − − − − − =160 4阶“范德蒙行列式 ”! (2)
例3证明 b+C1C1+4141+b b2+C2C2+242+b2 =2a2b, C2 b3+C3C3+4343+b, 43b3 C 证明： b1CG1+4141+b 1C+ 141+b 法：左b2c2+02 2+b, C2+4242+b2 43+b3 C3C3+4343+b3 C a, 41b1 +C242b =右 C3 b
例3.证明 证明: 法一: 左＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c + + + + + + = + + + 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 b c a c a b b c a c a b b c a c a b a a a a a a b c b c b c + + + + + + + + + + + + + 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 b c a c a b b c a c a b b c a c a b = + ＝右
C1+C2+C3 41+b,+C1C1+411+b1 法二：左====2 42+b2+C2C2+4242+b2 G1÷2 43+b3+C3C3+4343+b, 9-c32 1G1+4141+b b C3-C1 2C2+242+b2 ===2 b 0U2 C2-C3 b3C3+4 43+b3 C1→C3 a, C =三三2 az b2 Cz =右 C2→C3 43b3c3
法二: 左 1 3 2 3 c c c c ==== 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 1 3 3 3 2 3 3 2 3 2 b c a a b b c a a b b c a a c a a c b a c + + + + + + + + + + + + 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 2 3 2 3 3 2 a a b c a b c a b c a b b a b + + + + + + 1 2 3 1 2 c c c c + + ==== 3 1 2 3 c c c c − − ==== 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 b c a b c a b c a 1 2 c c − ＝右
例4.计算 41-b 每行元素之和 L2- 相同，2 n 列加至首列 an-b 解： ∑ -b c1+ci 0-b42-b i=1 i-2,3,n 4-b a-b
1 2 1 2 1 2 nn n a b a a a a b a D a a a b − − = − 解 : 1 2,3, , i c c i n + = ==== === − − − − − 2 1 2 1 2 1 n i n i n i n i n i n i a b a a a b a b a a b a a b D 每行元素之和 相同， 2—— n 列加至首列 例4.计算
a4,-b42 片- 0 i-2,3,n 0 =(b)"(∑4，-b) i-1 注：本题首行乘以(1)加至2至n行可得箭形行列式
= − = − ==== − − 1 2 1 2,3, , 0 0 0 0 i n i n i r r i n a b a a b b 1 1 ( ) ( ) n n i i b a b − = = − − 注:本题首行乘以(-1)加至2至n行可得箭形行列式
X41L2 .n 例5计算行列式 D=a142 X 01L2L3· X 分析每行元素之和相同，2至末列加至首列.此后 无法通过2至末行减首行化上三角形，可首列提取 公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式。 41L2 解： + D )1 i=2,3,n+1 i=1 4
1 2 1 2 1 2 1 2 3 n n n x a a a a x a a D a a x a a a a x = 例5 计算行列式 [分析]每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后 无法通过2至末行减首行化上三角形,可首列提取 公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式. 1 1 2 2 2 2,3, , 1 1 2 3 1 1 ( ) 1 1 i n n r r n i n i n i a a a x a a D x a a x a a a x + = + = ====== + 解：