二次型复习 f(c,xn)=4x+412X2++41nXXn 之0ji 十42x2x,+422X2+.+a2mX2X元 X= an+an2xaux =XAX d 标准形 d, f=（y1y2yn =Y'DY d
2 1 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 ( , , ) n n n n n f x x a x a x x a x x a x x a x a x x = + + + + + + + 1 n x X x = + 2 n n n n nn n 1 1 2 2 + + + + a x x a x x a x T = X AX ij ji a a = 二次型 复习 标准形: 1 1 2 2 1 2 ( , , ) n n n d y d y f y y y d y = T = Y DY
线性替换：X=CY.可逆线性替换；正交替换 aC0.c.z0cccn (2)C1、C2为正交阵→CC,为正交阵 原二次型 X=CY,新二次型 B与A关系？ XEXTAX C f(Y)=YTBY B=CTAC一A与B合同（反身、对称、传递性，秩相等） 化三次型为标准形→给定对称矩阵4，求可逆矩 阵C,使CTAC=D(对角阵) 1.正交潜换法 2.配方法3.初等变换法 二次型的规范形
线性替换: X＝CY. 可逆线性替换； 正交替换 1 2 C C 0, 0 X＝C1U，U＝C2Y 1 2 C C 0 C1、C2为正交阵 (1) (2) C1C2为正交阵 X＝(C1C2 )Y 原二次型 f ( X )＝X TA X X＝CY C 0 新二次型 f ( Y )＝Y TB Y B与A关系? B＝C TAC—A与B合同(反身、对称、传递性，秩相等) 化二次型为标准形 给定对称矩阵A，求可逆矩 阵C, 使CTAC＝D (对角阵) 1.正交替换法 2.配方法 二次型的规范形 3.初等变换法
5.4正定二次型和正定矩阵（简介） 、概念 实二次型f)=XTAX: ∫(0)=0 实二次型f=XTAX VX≠O,X∈R"恒有 为正（负）定二次型 XAX>0(XAX<0) 正（负）定二次型XA对应的矩阵称为正（负）定矩阵 此外：半正定(X≠O,X'AX≥0)、半负定、不定. 例：∫=x2+2x2+3x了正定性？需知几元二次型 f(c,七2，x)=x+2x+3x为正定二次型 f(x水2，x3,x4)=x+2x+3x为半正定二次型 而f(1,x2,)=x-x(+x)为不定二次型
, 0( 0) n T T X O X R X AX X AX 恒有: 5.4 正定二次型和正定矩阵 (简介) 一、概念 实二次型f ＝X TA X 为正(负)定二次型 d 正(负)定二次型XTAX对应的矩阵称为正(负)定矩阵. 此外: 半正定 ( , 0) 、半负定、不定. T X O X AX 实二次型f (X) ＝X TA X： f (O) ＝0 222 1 2 3 例: f x x x = + + 2 3 正定性? 需知几元二次型! 222 1 2 3 1 2 3 f x x x x x x ( , , ) 2 3 = + + 为正定二次型 222 1 2 3 4 1 2 3 f x x x x x x x ( , , , ) 2 3 = + + 为半正定二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 而 f x x x x x x ( , , ) ( ) = − + 为不定二次型
二、判定 1.元实二次型的标准形 d>0 ∫=d+d2+.+dny正定 (i=1,2,.,n） 般实二次型是否可经可逆线性替换化为标准形 以判定其正定性？可以，有以下定理作理论依据： 2.定理非退化线性替换不改变二次型的正定性. 证：f=XTX f =YTBY=YT(CTAC)Y 正定 C￥0 正定？ 0O≠Y,∈R"有CY=X,≠O(否则Y,=C-X=0) YoT(CTAC)Yo=(CYo)TA(CYo)=XTA Xo>0? ·∫Y)正定 ,'X)正定？
2 2 2 1 1 2 2 n n f d y d y d y = + + + 1. n元实二次型的标准形 正定 d i > 0 (i = 1,2,. , n) 二、判定 一般实二次型是否可经可逆线性替换化为标准形 以判定其正定性? 可以, 有以下定理作理论依据: 2. 定理 非退化线性替换不改变二次型的正定性. 证：f ＝X TAX f ＝Y TBY ＝ C 0 X=CY 正定 正定? 0 n O Y R 有 CY X O 0 0 = (？否则Y0 ＝C－1X0 ＝0) Y0 T (CTAC)Y0 ＝ f (Y )正定 f(X)正定 (CY0 ) T A(CY0 )＝X0 TA X0 Y T (CTAC)Y > 0？ ？
3.定理：Anxm实对称，则 A正定台→A的正惯性指数p=,即A二E. (XTAX正定 → 存在可逆阵P,使A(=PIEP)=PP →A的特征值人1，乙2，人n全为正数 →A的个顺序主子式均为正值， 推论：A(ax正定→()u(∈e,AE,)>0 (其逆否命题可判非正定) (2)A=九2.九)>0 实对称阵4负定→ A的奇数阶顺序主子式为负而 偶数阶顺序主子式为正.即： -1 >0,r=1,2,n
5 11 1 1 ( 1) 0, 1,2, , r r r rr a a r n a a − = A 正 定 A的n个顺序主子式均为正值. 实对称阵A负定 A的奇数阶顺序主子式为负而 偶数阶顺序主子式为正. 即： A的正惯性指数p＝n，即 3. 定理：An×n实对称，则 A的特征值 全为正数. A E. 存在可逆阵P,使A(=PTEP)= PTP (X TAX正定) 推论: A=(aij)n×n正定 (1) aii ( ) >0 T = i i A (2) >0 1 2 ( ) A = n 1 2 , , , n (其逆否命题可判非正定)
例1判断二次型∫=x+2x2+3x3-2x心2-2x2x, 是否正定 解：法1.配方法 f=(x-x,)+(x,-x)+2x≥0 且： 等号成立兮x=水2=x3=0故f正定.。 法2.特征值法 1-10 A=-12-1 2=2,12=2+5,元，=2-3 013特征值均大于零，故正定 法3.顺序主子式法 4==1>0,4= =1>0 2 4=A=2>0 故A正定，∫正定
222 1 2 3 1 2 2 3 f x x x x x x x = + + − − 2 3 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 3 3 f x x x x x = − + − + 2 0 例1 判断二次型 是否正定. 解:法1. 配方法 故 f 正定. 1 1 0 1 2 1 0 1 3 A − = − − − 特征值均大于零, 故 f 正定. 1 2 3 = = + = − 2, 2 3, 2 3 法2. 特征值法 法3. 顺序主子式法 1 2 1 1 1 1 0, 1 0 1 2 A A − = = = = − 3 A A = = 2 0 故A正定，f 正定 1 2 3 且：等号成立 = = = x x x 0
例2求参数t,使 ∫=2x+x号+3x+2,x2+2xx3正定 解： 2t1 A= t10 103 4=24 =2-2>0.20÷2< 3 综上可得：飞石
2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 f x x x tx x x x = + + + + 2 3 2 2 2 1 1 0 103 t A t = 解: 例2 求参数t，使 正定. 2 2 1 2 2 2 0, 2 0 2 1 t A A t t t = = = − 2 2 3 5 3 5 0 3 A A t t = = − + 5 3 综上可得: t
三、正定矩阵性质：设A、B正定，则 1.A>0,A可逆 分别14,2) 2.科、心、正定(：入另元， 3.A+B正定(X(A+B)X=XTAX,+X,TBX,>0) 例证明：An×m可逆→AA正定 X非零) 内积 证：（一）∀O≠X∈R",X'(A'A)X=(AX)'(AX)>0 由定义知AA正定 (AX≠O,否则X=O) (二)AA)I=AA即AA对称 (AA手AEA而A可逆.·A'A≈E从而AA正定 注：负定（半正定）二次型判定类推，略
三、正定矩阵性质：设A、B正定，则 1. A 0 ，A可逆 2. A-1 、A* 、Ak正定 0 0 1 ( , ) A k = 分别 为 , 3. A＋B正定 (X0 T (A+B)X0 =X0 TAX0 + X0 TBX0 >0) 例 证明：An×n可逆 ATA正定 证:(一) , ( ) 0 n T T = O X R X A A X( , ) AX O X O = 否则 内积 由定义知 ATA正定 ( ) ( ) T AX AX (二) 即ATA 对称 T 而A可逆 A A E 从而ATA正定 注：负定(半正定)二次型判定类推，略. (ATA) T＝ ATA ATA ＝ ATEA (X0非零)