复习：二、线性组合（线性表示） 定义：给定一组向量阝，c4,02,&,若存在一组数 k1,k2,.,k,使B=k1必1+k2必2+.+k,0,则称向量B 是向量组必1,2，C的线性组合，或称向量B可 由向量组C,02,.,0,线性表示。 1.任=n维向量a=(41,L2,.,4n)都是R的基本单位 向量组=(1,0，.，0)，2=(0,1，.，0)，6m=(0,0,1) 的线性组合：C=4161+282++4nEn 2. 41 12 b, B 可由y, 21 4z Azn 线性 表示 (mi Am2 Amn 台x0,+x22+.+x,@n=f(线性方程组)有解
1. 任一n维向量 都是Rn的基本单位 向量组 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) n = = = = + + + a a a 1 1 2 2 n n 定义: 给定一组向量 , 若存在一组数 k1 ,k2 , . ,ks ,使 ,则称向量 是向量组 的线性组合，或称向量 可 由向量组 线性表示。 , , , , 1 2 s = + + + k k k 1 1 2 2 s s 1 2 , , , s , , , 1 2 s 的线性组合: 1 2 ( , , , ) = a a an 复习： 可由 1 2 m b b b = 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , , , n n n m m mn a a a a a a a a a = = = 线性 表示 + + + = x x x 1 1 2 2 n n (线性方程组)有解 2. 二、线性组合(线性表示)
三、线性相关与线性无关 齐次线性方程组的向量形式x必+x2+.+x,n=O .'零向量是任一组同维向量的线性组合 0=0a+0a,+.+0an.齐次线性方程组必有零解 齐次线性方程组有非零解 今 存在不全为0的k,k2,kn 称01,02，·，Qn 使k11+k202+.+knCn=0 线性相关 定义：给定向量组0y,02,心，若存在不全为零的 数k1,k2,k,使k@1+k2a2十.+k,Q,=O,则称向量 组，Q2,Q,线性相关；线性无关”定义若当 且仅当kk2=.=k,=0时上戳成立，则称必，C2,Q, 线性无关 返回
三、线性相关与线性无关 齐次线性方程组的向量形式: 1 1 2 2 + + + = n n x x x O ∵零向量是任一组同维向量的线性组合 = + + + 1 2 0 0 0 O n ∴齐次线性方程组必有零解 齐次线性方程组有非零解 存在不全为0的k1 , k2 , ., kn 使 k k k O 1 1 2 2 + + + = n n ——称 , , , 1 2 n 定义：给定向量组 , 若存在不全为零的 数k1 , k2 , ., ks ,使 ,则称向量 组 线性相关； k k k O 1 1 2 2 + + + = s s (“线性无关”定义 ?) 若当 线性相关. , , , 1 2 s , , , 1 2 s 且仅当k1 =k2 =.=ks=0时上式成立, 则称 线性无关. , , , 1 2 s 返回
结论：(1)含有零向量的任一向量组必线性相关。 (2)一个向量0线性相关→0C=O 3)两个向量线性相关今对应分量成比例 2 n (2n (4)1 421 l22 ,02 ,.,Cn 线性相关 (无) (m2 局敏朱知宝数，夜琴解°物 向量个数=未知量个数； 向量维数=方程个数 411 12 定理1n个n维向量线性相关→ 21 （22 =0 无关 ≠0) 0t2 定理2n十1个n维向量必线性相关 (,'方程个数<未知量个数，必有非零解) 返回
(2)一个向量 线性相关 = = = 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , , , n n n m m mn a a a a a a a a a (4) 线性相关 + + + = x x x O 1 1 2 2 n n 有非零解 r < n (无) (仅有零解) (r＝n) 定理1 n个n维向量线性相关 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a = (无关) 定理2 n＋1个n维向量必线性相关 (∵方程个数<未知量个数,必有非零解) 结论:(1) 含有零向量的任一向量组必线性相关。 (3)两个向量线性相关 对应分量成比例 向量个数 向量维数 ＝未知量个数； ＝方程个数. (≠0) = O 返回
例1基本单位向量组，62，￡n线性无关E=1≠0 例2.判断=(1,2,1,5)'，42=(2,1,1,1) =(4,3,1,11)是否线性相关 解：设k1@1+k22+k3a=0则 2 5 5 1 3 00 5 -9 9 r=2<3=向量个数，.必1，C2,C线性相关 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. B可否由C,0,线性表示 竖排行变换，B放末列. C1,.,心，是否线性相关 竖排行变换 返回
例1 基本单位向量组 1 2 , , , n 线性无关 E = 1 0 例2.判断 ( , , , ) , ( , , , ) , 1 2 1 2 1 5 2 1 1 1 T T = − = − 是否线性相关. 1 2 4 2 1 3 1 1 1 5 1 11 A − = − − − − → − − 1 2 4 055 0 3 3 099 → 1 2 4 0 1 1 000 000 ∵r = 2 < 3 ＝向量个数， 1 2 3 , , 线性相关 解:设 k k k O 1 1 2 2 3 3 + + = 则 1 2 3 ( , , , ) 3 4 3 1 11 T = − 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 1 , , s 线性表示—— 竖排行变换，放末列. 1 , , s是否线性相关——竖排行变换. 返回
例3.证明：若a,f,y线性无关，则a+f,阝+Y,y+Q 线性无关 (目标：k,=0) 证：设k(a+B)+k(B+Y)+k(y+a)=O() 则(k,+k3)a+(k1+k2)B+(k2+k3)y=O k1+k3=0101 而a,f,y 线性无关 ÷k1+k2=0✉110=2≠0 k2+k3=0 011 方程组只 有零解k=0 即只有k=k=k=0时)式才成立. ∴，a+B,B+Y,Y+0线性无关 思考： Q1,c2,Q3,0线性无关→Q+a,Q+%3,4,+04,Qa+线性 无关？×B,+B,=B2+B,(奇数个向量时结论成立) 返回
例3.证明：若 线性无关, 则 线性无关 , , + + + , , 证:设 k k k O 1 2 3 ( ) ( ) ( ) + + + + + = (*) 则 ( ) ( ) ( ) k k k k k k O 1 3 1 2 2 3 + + + + + = 而 线性无关 + = + = + = 1 3 1 2 2 3 0 0 0 k k k k k k = 1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 1 ∴方程组只 有零解ki = 0 (目标: ki = 0) 即只有k1 =k2 =k3=0时(*)式才成立 . 线性无关 线性无关 线性 无关? , 1 2 3 4 , , , + + + + 1 2 2 3 3 4 4 1 × 1 3 2 4 + = + (奇数个向量时结论成立) , , + + + , , 思考： 返回
定理3若向量组中有一部分向量（称为部分组）线性 相关，则整个向量组线性相关 (记：部分相关→整体相关； 逆否命题：整体无关→部分无关) 注：向量组中向量两两线性无关，整个向量组未 必线性无关.例(1,0)，（0,1)，(1,1). 定理4若向量组线性无关，则每个向量在相同位 置添加一些分量后所得高维向量组线性无关；若 向量组线性相关，则每个向量在相同位置去掉三 些分量后所得低维向量组线性相关 (记：短无关三长无关；长相关→短相关) 2025/4/6 第三章向量与线性方程组 6 返回
2025/4/6 第三章 向量与线性方程组 6 定理3 若向量组中有一部分向量(称为部分组)线性 相关， 则整个向量组线性相关. (记：部分相关 整体相关； 注：向量组中向量两两线性无关，整个向量组未 必线性无关. 例(1,0), (0,1), (1,1). 定理4 若向量组线性无关，则每个向量在相同位 置添加一些分量后所得高维向量组线性无关；若 向量组线性相关，则每个向量在相同位置去掉一 些分量后所得低维向量组线性相关. （记：短无关 长无关；长相关 短相关） 逆否命题：整体无关 部分无关) 返回
四、关于线性组合与线性相关的定理 定理5向量组1,2，.，&，（≥2）线性相关←→ 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 证→k必1+.十k,04,+.+k,0c,=0,设k0,则： a(克am(a司g( k )a ∈设c,=kQ,+.+kC+ka1十.k,0,则： k101+.+k0+(l)0,+kjmC1+.k,C=O 推论：向量组C1,a2,a,(s≥2)线性无关 →其中任一向量都不能由其余向量线性表示. 返回
证: k k k O 1 1 + + + + = j j s s − + = − + + − + − + − − + 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j j s j j j s j j j j k k k k k k k k 设 j j j j j s s = + + + + k k k k 1 1 1 1 1 1 − − + + ( ) k k k k O 1 1 1 1 1 1 + + + − + + = j j j j j s s − − + + 1 ,则 : 推论:向量组 线性无关 定理5 向量组 线性相关 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合. 1 2 , , , ( ) s s 2 其中任一向量都不能由其余向量线性表示. 四、关于线性组合与线性相关的定理 ,设kj≠0，则: 1 2 , , , ( ) s s 2 返回
定理6.o,.,a,线性无关，阝，01，Q,线性相关 →B可由1，Q,唯一线性表示 证①'阝，a,.,c,线性相关 .存在不全为0的数k,k,使kB+k必1+.+k,Q,=O :a4,.,Q,线性无关.k≠0（反证可得） B-=a++儿 ②设B=k0+.+k,0,=lC1+.+L,C, 则(k1()a+.+(k,l,)Q,=0 :a,.,0,线性无关.kl=1,2,S 即B由必1，.，Q,线性表示法唯一 返回
定理6. 1 , , s 线性无关， , , , 1 s 线性相关 证① ②设 线性相关 ∴存在不全为0的数k, ki ,使 k k k O + + + = 1 1 s s ∴k≠0 (反证可得) ( ) ( ) 1 1 s s j k k k k = − + + − = + + = + + , k k l l 1 1 1 1 s s s s ( ) ( ) k l k l O 1 1 1 − + + − = s s s 线性无关 线性无关 即 由 线性表示法唯一. 则 可由 唯一线性表示. , , 1 s 1 , , , s 1 , , s 1 , , s ∴ ki =l i (i=1,2,.,s) , , 1 s 返回
例：任一n维向量C=(41,2,',4n)可由R的基本单位 向量组￡1=(，0，0)，62=(01，0)，8n=(0,0,) 唯-地线性表示为：a=4181+4282十+0n8m 例5(05考研)设行向量组(2,1,1,0，(2,1,4，@)，3,2,1，@， (4,3,2,1)线性相关且呋1，则a= 返回
例:任一n维向量 可由Rn的基本单位 向量组 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) n = = = 唯一地线性表示为： = + + + a a a 1 1 2 2 n n 1 2 ( , , , ) = a a an 例5(05考研) 设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a), (4,3,2,1)线性相关且a≠1，则a＝ 1 2 返回
设向量组Q1,Q2,C3线性相关，02，C3,C4线性无关， 问：1)Q能否由02，C3线性表出？证明你的结论： (2)Q4能否由Cy,Q2,a3线性表出？证明你的结论. 解：().Q2,C3,0线性无关，∴.Q2,Q线性无关 而C1,C2,03线性相关'.a1能由C2,Q唯一线性表出 (2)设04=201+202十九30g3 由()=@2+La%3代入上式整理得 a4=(2l2+九2)2+(2l3+人3)a 即Q4可由C2,C,表出，从而C2,C3,C4线性相关，矛盾！ C4不能由01，C2,03线性表出 返回
设向量组 线性相关， 线性无关, 问:(1) 能否由 线性表出? 证明你的结论； (2) 能否由 线性表出? 证明你的结论. 1 2 3 , , 2 3 4 , , 1 2 3 , 4 1 2 3 , , 解:(1)∵ 2 3 4 , , 线性无关, ∴ 而 1 2 3 , , 线性相关∴ 1 能由 2 3 , 唯一线性表出 (2)设 4 1 1 2 2 3 3 = + + 由(1) 1 2 2 3 3 = + l l 代入上式整理得 4 1 2 2 2 1 3 3 3 = + + + ( ) ( ) l l 即 4 可由 2 3 表出, , 从而 2 3 4 线性相关, , , 1 2 3 ∴ 4 不能由 , , 线性表出 2 3 , 线性无关 矛盾! 返回