3.2n维向量 、n维向量概念 1.定义：n个数组成的有序数组称为n维向量.用0，B Y等表示。 b b B m维列向量 n维行向量(1Xn矩阵) mX1矩阵) b L12 （ 矩阵A a2 22 Q2n 每一行都是n维行向量 每一列都是m维列向量 Am2 返回
3.2 n维向量 一、n维向量概念 1.定义:n个数组成的有序数组称为n维向量.用 等表示。 , 1 2 ( , , , ) = a a an n维行向量(1×n矩阵) 1 2 m b b b = ——m维列向量 (m×1矩阵) 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 矩阵 每一行都是n维行向量 每一列都是m维列向量 返回
①a=(a,4"g d B=(bb2.,6 =阝台4，=b(i=1,2,.,n) ②零向量：0=(0,0，0) ③负向量：a=（-41,-2,‘,-0n) 2.向量的线性运算（也看作特殊的矩阵作适算！） ①加减a士B=(41+b1,42士b23,4n±bn) ②数乘ka=(ka,ka2,kan) 向量的线性运算满足如下8条运算律： (1)a+B=B+a (⑤)(kl)a=k(la） (2a+B)+y=a+(B+y）(⑥)(k+l)a=ka+la (3)a+0=a ()k(a+B)=kB+ka (4)a+(-0)=O 8)1·0=0 返回
① 1 2 = ( , , , ) a a an = ( , , , ) b b b 1 2 n = d ②零向量： ③负向量： 1 2 ( , , , ) − = − − − a a an 2. 向量的线性运算 ①加减 = ②数乘 k = 向量的线性运算满足如下8条运算律： + = + ( ) ( ) + + = + + + = O + − = ( ) O ( ) ( ) kl k l = ( ) k l k l + = + k k k ( ) + = + 1 = (1) (2) (3) (4) (6) (7) (5) (8) 返回 ( , , , ) a b a b a b 1 1 2 2 n n ( , , , ) ka ka ka 1 2 n (也看作特殊的矩阵作运算!) a b i n i i = = ( , , , ) 1 2 O＝(0,0,.,0)
例1a2,4l,4=(3,l,2,302B+a)=0 求阝 例23a+4B=(2,1,1,2),2a+3B=(1,2,3,1) 求0u,阝 例3(05考研)设，均为3维列向量，记3阶矩阵 A=(aa2),B=(a1+a2+%,+202+40341+302+9) 且A=1,求B 解B-a+a+g,&+2a+4oa+3a+9, =g+02+&3%,+302a,+8a 41+a2+4,a,+3a2a =20+02a=2A=2 返回
1 2 1 2 5 (2, 4,1, 1), ( 3, 1,2, ), 3 2( ) 2 = − − = − − − − + = O 3 4 (2,1,1,2), 2 3 ( 1,2,3,1) + = + = − , 例1 求 求 例2 1 2 3 例 , , 3(05考研)设 均为3维列向量, 记3阶矩阵 1 2 3 A = ( ), 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B = + + + + + + ( 2 4 3 9 ) 且 A = 1 ，求 B ＝2 1 3 2 1 2 3 2 1 3 B = + + + + + + 2 4 3 9 1 2 3 2 3 2 3 = + + + + 3 2 8 1 2 3 2 3 3 = + + + 3 2 1 2 2 3 = + 2 = 2 A 解 返回
线性表示（线性组合）三、线性相关与线性无关 向量的线性运算—向量的加减及数乘运算 线性方程组的系麦向量同的线性美集向量间的关系： 11X1+412X2+.+41mXn=b1 21X1+22X2+.+42mXn=b2 am1七1+0m2七2++0mnXn=bm 1x1+C2x2+.+0nxm=B 线性方程组 的向量形式 线性曰3k1,k2,.,kn,3ka1+k2a2+.+kn0n=f 方程组 即常数列向量B可表示成素数列向量的孩 有解 性吴素式一 称向量B可由向量组Q,2, an线性表示；也称B是必1，.，的线性组合 返回
+ + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x1 + x2 + . + xn ＝ 二、线性表示(线性组合) 向量的线性运算—— 1 线性 方程组 有解 1 2 , , , , k k kn k k k 1 2 1 + + + = 2 n n 即常数列向量 可表示成系数列向量的线 性关系式 线性方程组 + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b —— 线性方程组 的向量形式 x1+ x2+ . + xn ＝ 向量的加减及数乘运算 2 n 的系数列向量与常数列向量间的关系: 1 2 , , , 也称是 n的线性组合 一、三、线性相关 n维向量概念与运算 与线性无关 向量间的线性关系 + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 2 ——称向量 可由向量组 , , , n 线性表示; 返回
定义：给定一组向量B,Q,Q2,.,若存在一组数 k1,k2,.,k,使B=k必+k202+.+kC,则称向量B 可由向量组01,02，C,孩性表示，也称向量B是 向量组C1,C2,‘,Q的线性组合。 例1设6=(1,0,0)，62=(01,0)，63=(0,0,1)，则 B=(2,3,4)=281+3)82+483 2 0 3 = 203)1+4 般地，任一n维向量C=(41,42,4n)都可由R的基本 单位向量组G=(,0.,0),62=(0,1,0),6n=(0,0,) 线性表示为：C=4181+4282++4nBn 返回
定义: 给定一组向量 , , , , 1 2 , s 若存在一组数 k1 = + + + k k k 1 1 2 2 s s ,k2 , . ,ks , 使 , 则称向量 , , , 可由向量组 1 2 s 线性表示，也称向量 是 , , , 向量组 1 2 s 的线性组合。 例1 设 1 2 3 === (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ,则 1 2 3 = − = + + (2, 3,4) 一般地,任一n维向量 都可由Rn的基本 单位向量组 1 2 (1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1) n = = = 线性表示为 = + + + a a a 1 1 2 2 n n : 2 1 0 0 3 0 1 0 4 0 0 1 − = + + 2 (-3) 4 1 2 ( , , , ) = a a an 2 (-3) 4 返回
例2零向量是任一组同维向量的线性组合： 0=0C1+002+.+00, 例3向量组中任一向量都可由该向量组线性表示： 0,=001+.+001+1Cj+0CjH+.+0C b n 结论 L21 l22 线性 = 可由x ,02 ).,Cn 表示 今1+x,a必2+.+xQn=F线性方程组)有解 例4.已知 0x1=(L,2,1,5)',2=(2,1,1,10, 阝=(4,3,1,110，阝2=(4,3,0,110售 B1,阝2可否由@1,2线性表示，若可以，写出表示式. 返回
例2 零向量是任一组同维向量的线性组合： O = + + + 1 2 s 例3 向量组中任一向量都可由该向量组线性表示： j j j s = + + + + + + 1 1 1 − + j 可由 1 2 m b b b = 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , , , n n n m m mn a a a a a a a a a = = = 线性 表示 (线性方程组)有解. 结论: 1 2 = − = − (1,2, 1,5) , (2, 1,1,1) , 例 T T 4. 已知 1 2 , 可否由 1 2 , 线性表示,若可以,写出表示式. 1 2 = − = (4,3, 1,11) , (4,3,0,11) . T T 0 0 0 0 0 1 0 0 x x x 1 1 2 2 + + + = n n 返回
a1=(1,2,-1,5),2=(2,-1,1,1),B=(4,3,-1,11)7 解：①设k1+kQ2=B 2 0 2 2 2- 3 5 0 步 -1 0 11 0 0 k1=2 .B1=201+02 k2=1 返回
7 解 : ① 1 2 4 2 1 3 1 1 1 5 1 11 A − = − − 1 2 4 055 0 3 3 099 − − → − − 12 21 kk = = = + 1 1 2 2 2 k 1 － k2 ＝ 3 k 1 ＋ 2 k2 ＝ 4 － k 1 ＋ k2 ＝－ 1 5 k 1 ＋ k 2 ＝11 1 2 1 2 4 2 1 3 1 1 1 5 1 11 k k − + = − − 亦即 1 2 1 = − = − = − (1,2, 1,5) , (2, 1,1,1) , (4,3, 1,11) T T T 1 2 4 0 1 1 000 000 → 1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 → 1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 → 设 k k 1 1 2 2 1 + = 即 可省步骤 返回
1=(1,2,-1,5),02=(2,-1,1,1)T,B,=(4,3,0,11)7 ②设k0+k202=阝2则 a B 2 5 A r(A)+r(A .原方程组无解 ·阝不可由，线性表示 返回
②设 1 2 4 2 1 3 1 1 0 5 1 11 A − = − 1 2 4 055 0 3 4 099 − − → − − 1 2 4 0 1 1 0 0 1 000 → ∴原方程组无解 k k 1 1 2 2 2 + = 则 2 不可由 1 2 , 线性表示 1 2 2 1 2 2 = − = − = (1,2, 1,5) , (2, 1,1,1) , (4,3,0,11) T T T r(A)≠r( A ) 返回
例5(00考研)设向量组∝1=(@，2,10)'，2=(-2,1,5) a3=(1,1,4)Y,B=(1,b,c)'.试问a、b、c满足什么条 件时，（)P可由01，C2,Q线性表示，且表示唯一言 (2)B不能由Q1,Q2,0线性表示；（3P可由C1,C2,C 线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式。 解：设k@+k2+kQ,三阝，则该方程组的系数行列式 -2-1 L -2 斗 2 2 (a+4) 105 0-0- 1)呋一4时，D0,方程组有唯一解 即：呋一4时，阿由，02，线性表示，且表示唯一 返回
(1)a≠－4时，D≠0，方程组有唯一解 − − = 2 1 2 1 1 10 5 4 a D 解:设 k k k 1 1 2 2 2 2 + + = ,则该方程组的系数行列式 2 1 2 1 1 0 0 1 a − − = − ＝－(a＋4) 即: a≠－4时, 可由 1 2 3 线性表示, 且表示唯一. , , (2) 不能由 线性表示；(3) 可由 例5(00考研) 设向量组 1 2 ( ,2,10) , ( 2,1,5) , T T = = − a 件时，(1) 可由 1 2 3 , , 线性表示，且表示唯一； 1 2 3 , , 3 ( 1,1,4) , (1, , ) . T T = − = b c 试问a、b、c满足什么条 1 2 3 , , 线性表示，但表示不唯一？并求出一般表达式. 返回
(2)M=一4时，对增广矩阵作初等行变换，。有 -4 2-1 211 b 2 0 b-1 A= 001 2b+1 2b+1 10 5 00 c-5b 3b-c-1 3b一c≠1时，方程组无解 即：=-4且3b-c≠1时，怀能由01，Q2,线性表示. 3)a=一4且3b一c=1时，方程组有无穷多组解， 可由，2,0线性表示，但表示不唯 一 由 x2=-b=1-2x1 x3=2b+1 得一般表达式： B=k@1-(b+1+2k)a2+(2b+1)a(k为任意常数) 返回
= k b k b 1 2 3 − + + ( 1 2 ) (2 1) + + 4 2 1 1 211 10 5 4 A b c −−− = → (2)a＝－4时，对增广矩阵作初等行变换，有 x3=2b＋1 由 x2 ＝－b－1－2x1 得一般表达式: (3)a＝－4且3b－c＝1时, (k为任意常数) 2 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 5 b b c b + → − − 2 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 3 1 b b b c − − + − − 3b－c≠1时，方程组无解 即: a＝－4且3b－c≠1时, 不能由 1 2 3 线性表示. , , 可由 1 2 3 线性表示, 但表示不唯一. , , 方程组有无穷多组解， 返回