《现代控制理论》课程教学资源——线性代数第3版课件_2-1矩阵概运

1850年J.J.Sylvester(西尔威斯特)首先提出 矩阵概念，1858年A.Cayley(卡莱)提出矩阵的 运算规则，从此矩阵的应用更广泛，成为经济 研究和经济工作中处理线性模型的有力工具。 诸如投入产出模型、线性规划、决策论等，均 运用矩阵作为重要工具解决实际问题

1850年J.J.Sylvester(西尔威斯特)首先提出 矩阵概念, 1858年A.Cayley(卡莱)提出矩阵的 运算规则, 从此矩阵的应用更广泛, 成为经济 研究和经济工作中处理线性模型的有力工具。 诸如投入产出模型、线性规划、决策论等，均 运用矩阵作为重要工具解决实际问题

2.1矩阵概念与运算 一、矩阵概念 1 12 n 1.定义：数表A a21 L22 mxn A 1)味n,称mXn矩阵 零矩阵：O;负矩阵-A 2)m=n,称n阶方阵或n阶矩阵， 3)行矩阵：m=1A=(@12 ,又称n维行向量。 b b2 4列矩阵：n=1 A三 ,又称m维列向量： 11 mxl

2.1 矩阵概念与运算 一、矩阵概念 1.定义：数表 ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a        = =       1)m≠n,称m×n矩阵 零矩阵:O；负矩阵–A 2)m＝n，称n阶方阵或n阶矩阵. 3)行矩阵: m＝1 A= (a1 a2 . an ),又称n维行向量. 1 2 m m 1 b b A b        =       4)列矩阵: , n＝1 又称m维列向量

2矩阵相等：1)行、列数分别相同；2)对应元素相等 例1某物资（吨）两产地运往三销地，两次调运方案分 357 132 别为矩阵三 204 与 ,从各产地运往 215 3+1 5+37+2 销地两次的总调运量为矩阵C三 2+2 0+14+5 二、矩阵的加法 记 A+B 41士b 4m±bn 1定义‘. n [注行、列数分别相同，才能相加。 2.性质：1)A+B=B+A 3)A+0=A 2)(A+B)+C=A+(B+C) 4A+(-A0=A-A=O

2.矩阵相等: 例1 某物资(吨)两产地运往三销地,两次调运方案分 357 2 0 4 A   =     别为矩阵 与 1 3 2 2 1 5 B   =     ,从各产地运往 销地两次的总调运量为矩阵C＝ 3 1 5 3 7 2 2 2 0 1 4 5   + + +     + + + 1)行、列数分别相同; 2)对应元素相等 ＝ A+B 二、矩阵的加法 记 1定义 11 1 11 1 11 11 1 1 1 1 1 1 n n n n m mn m mn m m mn mn a a b b a b a b a a b b a b a b                =                     [注]行、列数分别相同，才能相加。 2.性质： 2)(A+B)+C=A+(B+C) 3)A+O=A 4)A+(-A)=A-A=O 1)A+B=B+A

例2上例两产地到三销地的里程公里)为矩阵 12070 85 4= 796590 运送某物资每吨公里运价为10元， 两产地到三销地间的每吨运价为矩阵B(单位：元/吨) 10×2010×7010x85四10 1207085 则B= =10A 10×79 10×6510×90 79 6590 三、数乘矩阵 k 1.定义 m kam 2.性质1)kUA)=(k0A 3)(k+DA=kA+14 2)k(4+B)=kA+kB 4)1A=A

例2 上例两产地到三销地的里程(公里)为矩阵 120 70 85 79 65 90 A   =     ,运送某物资每吨公里运价为10元, 两产地到三销地间的每吨运价为矩阵B(单位:元/吨) 10 120 10 70 10 85 10 79 10 65 10 90             则B= 记 ＝ 120 70 85 10 10 79 65 90 A     =   三、数乘矩阵 1.定义： 11 1 11 1 1 1 n n m mn m mn a a ka ka k a a ka ka         =             2.性质 1) k(lA)=(kl)A 2) k(A+B)=kA+kB 3) (k+l)A=kA+lA 4) 1A=A

-123 43■ 例3设A= ,B= 3A=2(B+),求X 03-2 5=30 0 15

例3 设 ,3A=2(B+X),求X 1 2 3 4 3 2 , 0 3 2 5 3 0 A B     − = =         − − 1 2 解 X = (3A－2B)       − = −           − −   1 3 6 9 8 6 4 2 0 9 6 10 6 0   − =     − − 1 11 0 5 2 10 15 6   −  =     − −   11 5 0 2 2 15 5 3 2

例4三工厂、生产甲、乙两产品.矩阵A 表示某年产量（知，B表示各产品的单位价格及单 位利润（知），C表示各工厂的总收入和总利润（求）， 12 甲 C12 A= B C C21 C22 I L31 l32 C31 C32 I 甲 乙 价格利润 总收入总利润 则 41b1+1b2141b12+42b22 C= ￥ a21b1+2zb212b12+22b2 C31 32 3b11+32b21Lg1b1a+3a02 记 AB

例4 三工厂I、II、III生产甲、乙两产品. 矩阵A 表示某年产量(知), B表示各产品的单位价格及单 位利润(知), C表示各工厂的总收入和总利润(求). 11 12 21 22 31 32 I II III 甲 乙 a a A a a a a     =       11 12 21 22 甲 乙 价 格 利 润 b b B b b   =     11 12 21 22 31 32 I II III 总 收 入 总 利 润 c c C c c c c     =       则 11 12 21 22 31 32 c c C c c c c     = =       记 ＝ 11 11 12 21 11 12 12 22 21 11 22 21 21 12 22 22 31 11 32 21 31 12 32 22 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b   + +   + +     + +   ? AB a b a b 21 11 22 21 + a b a b 31 12 32 22 +

2 s b n S×n L m2 L s C Cy 两个矩阵能相乘的条件望 积矩阵的行、列数？ Ci Cy=bytazb2,+.+wby ∑b i=1,閃 je1,.,n C ml C mn mxn

11 12 1 11 1 1 21 2 2 1 2 1 1 2 m s s j n j n i i is s sj sn s n m m ms a a a b b b b b b a a a b b b a a a                               11 1 1 1 1 j n i ij in m mj mn m n c c c c c c c c c        =           1 i j k k k s a b = =  i=1,. ,m; j=1,. ,n 两个矩阵能相乘的条件? 积矩阵的行、列数? cij ＝ai1b1j+ai2b2j +.+aisbsj

四、矩阵的乘法 1定义A=(o写），B=(b）m·AB=C=(C)n·其 中c写=0nb,+anb,+.+ab,=∑4abg l,m店 k=1 j=1,.,n 注山矩阵4与B可作乘法运算AB→A的列数=B 2 的行数 例5设A= B ,求AB、BA 2 2 解 AB 3 BA 030

四、矩阵的乘法 1定义: ( ij ij ) , . ( ) m s s n A a B b   = = ( ) . AB C c = = ij m n 其 1 1 2 2 1 s ij i j i j is sj ik kj k c a b a b a b a b = = + + + =  [注]1)矩阵A与B可作乘法运算AB A的列数＝B 的行数.  例5 设 , 求AB、BA 2 3 3 2 1 2 1 2 1 , 1 1 111 2 3 A B       −   = = −           − i=1,. ,m; j=1,. ,n 中       −     = − =               − 1 2 1 2 1 1 1 111 2 3 AB 1 3 －2 6 解           − = − =                 − 1 2 1 2 1 1 1 111 2 3 BA 3 0 3 0 3 0 1 7 1

2)矩阵乘法不满足交换律.AB(B右乘A)有意义，BA 未必有意义，即使AB、BA都有意义，一般AB≠BA, 但不是说对任意两个矩阵A与B,一定有AB≠BA,如 20 2a 2b A4= 02 c d AB=BA= 2c 2d 矩阵A与B可交换AB=BA→A、B为同阶方阵 -24 例6设4三 3 ,B- ,求AB,BA 解 2 AB 3 16 -32 BA= 8 16

2)矩阵乘法不满足交换律.AB(B右乘A)有意义,BA 未必有意义,即使AB、BA都有意义,一般AB≠BA. 但不是说对任意两个矩阵A与B,一定有AB≠BA,如 2 0 , . 0 2 a b A B c d     = =         2 2 2 2 a b AB BA c d   = =     矩阵A与B可交换 AB＝BA A、B为同阶方阵.  d  例6 设 2 4 2 4 , 3 6 1 2 A B     − = =         − − − ，求AB，BA    − = =       − − − 2 4 2 4 3 6 1 2 AB 解    − = =       − − − 2 4 2 4 1 2 3 6 BA       0 0 0 0   − −     16 32 8 16

3)AO且BO8≠O或说 AB=O八4A=O或B=O 例7AE 12 24B 求AB,AC AB= 但BC,且AO 4)矩阵乘法不满足消去律，AB=AC,且A≠O公B=C 2.性质：1)(AB)C=A(BC 3)A(B+C)=AB+AC 2 K(AB=(kA)B=A(kB) 4)(B+C)A=BA+CA

3)A≠O且B≠O AB≠O或说 例7 1 2 1 3 7 1 , , 2 4 2 1 1 2 A B C       − − = = =             −    − = =       − 1 2 1 3 2 4 2 1 AB ,求AB,AC 但B≠C，且A≠O 4)矩阵乘法不满足消去律.AB=AC,且A≠O  B=C 2.性质:1)(AB)C=A(BC) 2) k(AB)=(kA)B=A(kB) 3)A(B+C)=AB+AC 4)(B+C)A=BA+CA  AB=O  A=O或B=O    − =       1 2 7 1 2 4 1 2 AC   −     − 5 5 10 10 ＝