复习 本章所讨论的一般方程组固定编号： 01mX1+0122+.+41mXn=b1 非齐次 2iX1+22X2++02mXnm=b2 0m1+0m2水2十.+mnXn=bn 41mX1+12X2++41mxn=0 齐次 ☑211+22X2++L2mXn=0 am+am2++am=0
复习 本章所讨论的一般方程组固定编号： n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 非齐次 齐次 (1) (2)
方程组()的系数矩阵与增广矩阵记为： 12 n C41 b 021 02 C21 C22 02n b, A= am2 a mn m X101+X2 必2十.十xnn=B一线性方程组 的向量形式 av 12 ain 021 b, "ml 'm2 b mn
11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 方程组(1)的系数矩阵与增广矩阵记为： 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b = 1 1 2 2 n n x x x + + + = 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b — 线性方程组 的向量形式
1.P是，.，Q,的线性组合(B可由1，C,线性表示) d 3k1,k2,k,3f-k101+k,Q2十.+k,0&, 2.任一n维向量Q=(a1,42,4n)都可由R的基本 单位向量组唯一线性表示： C=4181+a282+.+4n8n 4mX1+12X2+.+41nXn=b B可表示为 3.21X1+222++2mXm=b2 有解一 C102,Cn 的线性组合 amxam2x2amnxn=b 组合系数就是 方程组的一个解) 01 02 2025/4/6 第二章线性方程组
2025/4/6 第二章 线性方程组 3 = + + + a a a 1 1 2 2 n n 1. 是 的线性组合( 可由 线性表示) , , 1 s , , 1 s 2. 任一n维向量 都可由Rn的基本 单位向量组唯一线性表示: 1 2 ( , , , ) = a a an d , , , , k k k 1 2 s k k ks s = + + + 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 有解 1 2 n (组合系数就是 方程组的一个解) 3. 可表示为 的线性组合 , , , 1 2 n
4a,a,@线性相关台h,k,不全为0， )k1a+k2C2+.+k,C,三 01,02,0,线性无关兮k1C1+k202+.+k,0,=O 仅当kk2==k,0时成立 41m1+012X2+.+41mXn= 5. 021X1+22X2+.+02mXn=0 0C1,02,0n 有非零解一 线性相关 (只有零解) 无) m式1+m2式2 .+mn=0 ←→r<n (r=n) 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系， B可否由1，.，0&，线性表示 竖排行变换，B放末列. c1,.,Q,是否线性相关一竖排行变换. 求向量组的秩，并将其余 竖排行变换
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = 有非零解 (无) (只有零解) 1 2 n r < n (r = n) 5. 线性相关 , , , 1 2 n , , , 1 2 s 线性相关 d , , , k k k 1 2 s 不全为0， k k k O 1 1 2 2 s s + + + = 4. 1 2 , , , s 线性无关 d 仅当k1 =k2 =.=ks=0时成立. k k k O 1 1 2 2 + + + = s s 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 1 , , s 线性表示—— 竖排行变换， 放末列. 1 , , s 是否线性相关——竖排行变换. 求向量组的秩,并将其余.——竖排行变换
定理1.n个n维向量线性相关（线性无关） 一其排成的行列式值为0（不为0） 定理2.向量个数>向量维数，向量组线性相关 定理3.部分相关→整体相关；整体无关→部分无关 定理4.短无关→长无关；长相关→短相关 定理5.向量组@，a2,a,(≥2)线性相关（线性无关） 一→其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 (任一向量都不能由其余向量线性表示 定理6.，Q2,a,线性无关，B,Q,Q2,.,Q,线性相关 →阝可由必，必2，'，Q,唯一线性表示 定理7.向量组①可由D,（D可由（Ⅲ）线性表示 →向量组I可由D线性表示
定理5.向量组 1 2 , , , ( ) s s 2 线性相关(线性无关) (任一向量都不能由其余向量线性表示) 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 定理3.部分相关 整体相关；整体无关 部分无关 定理4. 短无关 长无关；长相关 短相关. 定理6. 1 2 , , , s 线性无关， , , , , 1 2 s 线性相关 可由 唯一线性表示. , , , 1 2 s 定理1. n个n维向量线性相关(线性无关) (不为0) 定理2.向量个数>向量维数， 其排成的行列式值为0 向量组线性相关. 定理7. 向量组(I)可由(II) ， (II)可由(Ⅲ)线性表示 向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示
定理8.向量组与其极大无关组等价： 推论向量组的任意两个极大无关组等价 定理9向量组阝1，阝2，B,可由C,C2,.,0,线性 表示，若t>S,则阝，阝2，阝，线性相关 推论1（逆否命题）B,阝，阝，线性无关，且可由 a1,02,.,0C,线性表示→t≤了 推论2等价的线性无关向量组所含向量个数相等. 推论3向量组的所有极大无关组所含向量个数相等 定理10Q,Q2,.,Q,可由阝1，阝2，.，阝，线性表示 →(C1,C2,.,0上r(f,f2,B,) 推论：等价的向量组秩相等 定理11矩阵A的行秩三矩阵A的列秩三矩阵A的秩
定理8.向量组与其极大无关组等价. 推论 向量组的任意两个极大无关组等价 定理9 向量组 可由 线性 表示,若t > s，则 线性相关. , , , 1 2 t , , , 1 2 s , , , 1 2 t 推论3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等 推论1(逆否命题) t s 推论2 等价的线性无关向量组所含向量个数相等. , , , 1 2 s , , , 1 2 t 线性表示 线性无关，且可由 定理10 推论：等价的向量组秩相等. ( , , , ) ( , , , ) s t r r 1 2 1 2 , , , 1 2 s , , , 可由 1 2 t 线性表示 ≤ 定理11 矩阵A的行秩＝矩阵A的列秩＝矩阵A的秩
3.5线性方程组解的结构 、线性方程组有解的判定定理 定理1.线性方程组()有解台r(A)=r() 证明： C12 C1r+1 d C22 C2r+1 d, 由31有 。 行变换 0 Crn d, (c0, 0 =1,2, 0 0 必要时可重 新安排未知 量的顺序) ◆
一、线性方程组有解的判定定理 定理1. 线性方程组(1)有解 = r A r A ( ) ( ) r r n r r n rr rr rn r r c c c c c d c c c c d c c c d A d + + + + ⎯⎯⎯→ 11 12 1 1 1 1 1 22 2 2 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (cii≠0， i=1,2,.,r 必要时可重 新安排未知 量的顺序) 证明: 行变换 由3.1有 3.5 线性方程组解的结构
推论1线性方程组(1)有唯一解→r(A)=r()=n 推论2线性方程组（有无穷多解→(A)=(A)≤n 推论3齐次线性方程组(2)只有零解一r(A)=n 推论4.齐次线性方程组(2)有非零解一r(A)≤n 例1.讨论入为何值时，方程组有解 X1+2x2-3-2x4=0 2X1-X2-X3+X4=1 3x1+x2-2x3-x4=九 二、齐次线性方程组解的结构 1.齐次线性方程组解的性质 1)两解之和仍是解1，门2→门+门2 2)常数乘以解仍是解7→k7 3)若干解的线性组合仍是解k☑，+k门2+.k,门
推论1 线性方程组(1)有唯一解 = = r A r A n ( ) ( ) 推论2 线性方程组(1)有无穷多解 = r A r A n ( ) ( ) 推论3 齐次线性方程组 = r A n ( ) (2)只有零解 推论4. 齐次线性方程组(2)有非零解 r A n ( ) 二、齐次线性方程组解的结构 1.齐次线性方程组解的性质 1)两解之和仍是解 1 2 1 2 , + 2)常数乘以解仍是解 k 3)若干解的线性组合仍是解 1 1 2 2 s s k k k + + 例1. 讨论 为何值时，方程组有解 x x x x x x x x x x x x + − − = − − + = + − − = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 0 2 1 3 2
·,若齐次线性方程组有非零解，则必有无穷多解， 若能求出这个解向量组的一个极大无关组，则任 解向量均可用它们线性表示，因而可用它们的线性 组合来表示原齐次线性方程组的全部解 2.齐决线性方程组解的结构 定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关 组称作齐次线性方程组的一个基础解系。 齐次线性方程组(2)当r()=时只有零解，不存在 基础解系 当r风A)=r<n时，有： 定理2对齐次线性方程组(2)，若r(=r<n,则基 础解系存在，且均含-r个解。 证（注意：该证明给出了求基础解系的方法！）
∴若齐次线性方程组有非零解,则必有无穷多解, 若能求出这个解向量组的一个极大无关组,则任一 解向量均可用它们线性表示,因而可用它们的线性 组合来表示原齐次线性方程组的全部解. 2. 齐次线性方程组解的结构 定义：齐次线性方程组解向量组的一个极大无关 组称作齐次线性方程组的一个基础解系。 定理2 对齐次线性方程组(2)，若r(A)＝r < n，则基 础解系存在，且均含n-r个解。 齐次线性方程组(2)当 不存在 基础解系 r(A)＝n时只有零解, 当r(A)＝r < n时，有： 证(注意：该证明给出了求基础解系的方法!)
C1r+1 C1r+2 C2r+1 C2r+2 C2n .: 必要时 行 1 适当交换 Cm+2 0 0 未知量 ·0· 的顺序) 。 0 0 X1=C1+X1-C1r+2X+2-C1nX 2=-C2r+X,1-C2r+2X,+2-C2nXn (化413X42,Xn 为自由未知量) X=-C+X+Cr+2X+2-CmXm
r r n r r n rr rr rn c c c c c c A c c c + + + + + + ⎯⎯→ 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 0 0 0 0 (必要时 适当交换 未知量 的顺序 ) r r r r n n r r r r n n r rr r rr r rn n x c x c x c x x c x c x c x x c x c x c x + + + + + + + + + + + + = − − − − = − − − − = − − − − 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 (x r+1, x r+2 , ., x n 为自由未知量) 行 变换