复习： 1.b是1，L,M,的线性组合(b可由M1,L,4,线性表示) 0Sk,k2,L,k,'b=k41+k,42+L+k,4, 2.任一n维向量a=(41,42,L,4n)都是R的基本单位 向量组的线性组合：M=a,e1+ae2+L+nen 41mx+4122+L+41nxn=b b可表示为 3 2x1+422x2tL+42nx,=b 1,429L,n M 有解U 的线性组合 am amnxn=br 〔组合系数就是 方程组的一个解)
1. 是 的线性组合( 可由 线性表示) 2. 任一n维向量 都是Rn的基本单位 向量组的线性组合: 有解 (组合系数就是 方程组的一个解) 3. 可表示为 的线性组合 复习：
a1,a,lL,a线性相关8k,k,L,k,不全为0， 'k41+k02+L+k,4,=0 4aL,4,线性无关 k141+k242+L+k,0,=0 仅当k=k2=.=k,=0时成立. i1mX1+412x2+L+41mXn=0 51 421X1+422x2+L+42mXm=0 1,2L,n M 有非零解U 线性相关 (只有零解) (无) am=0 rL,4、是否线性相关 竖排行变换
有非零解 (无) (只有零解) r < n (r = n) 5. 线性相关 线性相关 4. 不全为0， 线性无关 仅当k1 =k2 =.=ks=0时成立. 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 可否由 线性表示—— 竖排行变换， 放末列. 是否线性相关—— 竖排行变换
定理1.n个n维向量线性相关（线性无关） U 其排成的行列式值为0（不为0） 定理2.向量个数>向量维数，向量组线性相关. 定理3.部分相关D整体相关；整体无关D部分无关 定理4.短无关D长无关；长相关卫短相关 定理5.向量组m1,42,L,4,(S32线性相关（线性无关） U其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 (任一向量都不能由其余向量线性表示) 定理6.a1,M2,L,a线性无关，b,a1,a2,L,a,线性相关 Db可由01,02，L,a,唯一线性表示
定理5.向量组 线性相关 (线性无关) (任一向量都不能由其余向量线性表示) 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合 定理3.部分相关 整体相关；整体无关 部分无关 定理4. 短无关 长无关；长相关 短相关. 定理6. 线性无关， 线性相关 可由 唯一线性表示. 定理1. n个n维向量线性相关 (线性无关) (不为0) 定理2.向量个数>向量维数， 其排成的行列式值为0 向量组线性相关
新课 3.3向量组的秩 线性无关向量组的部分组线性无关，线性相关向量 组的部分组未必线性相关：一个向量非零即无关， 两个向量对应分量不成比例则无关，三个向量， 逐步可将线性无关部分组扩至极大，故引入概念： 一、向量组的极大无关组 定义若向量组414，L,0,的部分组4方，4，L,4 满足：()44，L,4线性无关； (2)从向量组4,42，L,4,中任意另取一个向量（若还 有)，添到，4工，4，中，所得新部分组都线性相关 则称a,L,4为向量组1，a2,L,a的一个极大 线性无关部分组，简称极大无关组 返回
新课 3.3 向量组的秩 线性无关向量组的部分组线性无关, 一、向量组的极大无关组 定义 若向量组 的部分组 满足:(1) 线性无关; 则称 为向量组 的一个极大 线性无关部分组,简称极大无关组. (2)从向量组 中任意另取一个向量(若还 有),添到 中,所得新部分组都线性相关. 线性相关向量 组的部分组 未必线性相关：一个向量非零即无关, 两个向量 对应分量不成比例则无关，三个向量. ， 逐步可将线性无关部分组扩至极大，故引入概念: 返回
由定理6，定义中条件(2)可换为：(2)向量组中的任 意一个向量都可以由A,4,L,4线性表示. 注：)向量组有极大无关组U向量组含有非零向量 (2)线性无关向量组的极大无关组就是该向量组. 3)e1,e2,L,em为R的一个极大无关组 (4)向量组的极大无关组可能不止一个.例： a1=(1,0),a2=(0,10,a3(1,10,u4(0,2). 41,4线性无关，而3个二维向量必线性相关.故 0,42是4,42,43，M4的一个极大无关组 4,43和03，L4等也是1,42，M3,M的极大无关组， 向量组的所有极大无关组含向量个数相同(？) 返回
注: (2)线性无关向量组的极大无关组 由定理6，定义中条件(2)可换为：(2)向量组中的任 意一个向量都可以由 线性表示. (1)向量组有极大无关组 向量组含有非零向量 (3) 为Rn的一个极大无关组 . (4)向量组的极大无关组可能不止一个. 例： 向量组的所有极大无关组含向量个数相同( ? ) 线性无关, 而3个二维向量必线性相关. 故 是 的一个极大无关组 和 等也是 的极大无关组. 就是该向量组. 返回
二、等价向量组 1.定义设两个向量组：(Dm1,2,L,M,(0b,b2,L,b 若)中每一向量可由D线性表示，则称向量组⑩ 可由向量组(D线性表示；若两向量组可相互线性 表示，则称两向量组等价。 定理7.向量组①可由(D,(D可由山线性表示 ♪向量组（①可由（山）线性表示 等价关系具有：1.反身性；2.对称性；3.传递性 定理8.向量组与其极大无关组等价. 推论向量组的任意两个极大无关组等价 返回
二、等价向量组 1.定义 设两个向量组:(I) (II) 若(I)中每一向量可由(II)线性表示，则称向量组(I) 可由向量组(II)线性表示；若两向量组可相互线性 表示,则称两向量组等价。 定理8.向量组与其极大无关组等价. 推论 向量组的任意两个极大无关组等价 等价关系具有： 定理7. 向量组(I)可由(II) ， (II)可由(Ⅲ)线性表示 向量组(I)可由(Ⅲ)线性表示 1.反身性；2.对称性；3.传递性. 返回
定理9向量组b1,b2,L,b,可由41,42，L,4线性 表示，若t>S,则b1,b2,L,b,线性相关 (记：多的可由少的线性表示，多的线性相关) 证明略，定理理解：b1=4,41+442 消去a1,a,可得 1b2=b,a1+b,a2 b,b2,b间关系式1b3=c41+C02 推论1（逆否命题）b,b2,L,b,线性无关，且可由 a1,42,L,a,线性表示t￡S 推论2两个等价的线性无关向量组所含向量个数相 等 t≤S,S≤t 推论3向量组的所有极大无关组所含向量个数相等 返回
推论3 向量组的所有极大无关组所含向量个数相等 证明略,定理理解: 消去 可得 推论1(逆否命题) 推论2 两个等价的线性无关向量组所含向量个数相 等. 线性表示 ∵t ≤ s， s ≤ t 线性无关，且可由 间关系式 定理9 向量组 可由 线性 表示,若t > s，则 线性相关. (记：多的可由少的线性表示，多的线性相关) 返回
三、向量组的秩 定义向量组4,42L,4的极大无关组所含向量 的个数称为向量组的秩，记(，a2,L,4、)方. 规定：()0,0，O)=0; 2r(a1,42,L,a,)=Ua1,a2,L,a,线性无关 定理1041,42，L,M,可由b1,b2,L,b,线性表示 Dr(a1,a2,L,4,9r(bb2,L,b,) 证：41,42，L,4,可由b,b2,L,b,线性表示 等价 等价 .ML,4可由b:L,b,线性表示 由定理9推论1：r≤2 由定理7（线性表示传递性） 推论：等价的向量组秩相等（r≤2,2) 返回
三、向量组的秩 定理10 等 价 等 价 可由 线性表示 ∴ 可由 线性表示 由定理9推论1：r 由定理7(线性表示传递性) 1≤r2 证： 推论：等价的向量组秩相等. 定义 向量组 的极大无关组所含向量 的个数称为向量组的秩，记r( ). 规定:(1) r(O,O, . ,O)＝ (2)r( )＝s 线性无关 0 ; (∵r1≤r2 ，r2≤r1 ) 可由 线性表示 ≤? 返回
四、典型例题 例1求向量41=(2,4,2)，u2=(1,1,0) 43=(2,3,1),M4=(3,5,2) 的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线 性表示，并写出向量组的秩 41,4对应分量不成比例，线性无关 212 -20-1 3 4 3 =0 01,02,l3 线性相关 2 0 2 2 5 01,02,04 20 2 线性相关 a1,a,为极大无关组 返回
四、典型例题 例1 求向量组 的一个极大无关组，将其余向量用此极大无关组线 性表示，并写出向量组的秩. 对应分量不成比例，线性无关 线性相关 线性相关 为极大无关组 繁！ 返回
(2,4,2),42=(1,1,0),03=(2,3,10,44=（3,5,2) 重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系 0212362 12 36 13 5®0 -1 1 20 -1 ® 0126 0 2 1M1,4为极大无关组 ® 1® 1÷ 0 =、1+2 2 0 0 08 10 0 0 线性无关 4=1+M2 0 (a1,42,03,44）=2 2024/1/17 返回
重要结论：行变换不改变列向量间的线性关系. 线 性 无 关 为极大无关组 返回 2024/1/17 10