《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）§4.3 拉普拉斯变换的基本性质

飞号与系我 §4.3拉普拉斯变换的基李 性质 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2011.1 退出 开始

新疆大学信息科学与工程学院电子系 2011.1

主要内容 线性 原函数微分 原函数积分 延时（时域平移） s域平移 尺度变换 初值 终值 卷积 对s域微分 对s域积分

X 主要内容 线性 原函数微分 原函数积分 延时（时域平移） s域平移 尺度变换 初值 终值 卷积 对s域微分 对s域积分

线性 []=Fs,t)]=F,(s,K,K,为常数， 若 则 LKif(t)+K2f(t)=KF(s)+K2F2(s) 例题： fe=coso=长e+e） 已知 小- 则 oeo以-乱，n*n】 2+ 2 同理

X 一 ．线性      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), , 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 L K f t K f t K F s K F s L f t F s L f t F s K K      则 若 为常数，   ω t ω t f t ωt j j e e 2 1 ( ) cos( )                  s ω s ω L ω t j 1 j 1 2 1 cos 2 2 s ω s   已知 则   s α L α t    1 e 同理    2 2 sin s ω ω L ω t   例题：

二. 原函数微分 若[r小=Fs,则z厂df =sF(s)-f(0) 证明： Sr()ea-f()"-S-s()e]ar =-f0)+sF(s) 推广： 4r]-0-oo) =s2F(s)-sf(0)-f'(0_）

X 二．原函数微分   ( ) (0 ) d d ( ) ( ) ( ),           sF s f t f t 若L f t F s 则L      ( ) (0 ) (0 ) 0 (0 ) d d ( ) 2 2                   s F s sf f s F s f f t f t L               1 0 1 ( ) ( ) (0 ) d d ( ) n r n n r r n s F s s f t f t L 推广： 证明：       0 ( ) e d e e d 0 0 0 f sF s f t t f t sf t t st st st                   

电感元件的s域模型 VL(t)=L di,(t) v (t) dt 设 L[,(]=1,s,L[,(]=Vs) 应用原函数微分性质 V.(s)=L[sI2(s)-in(0_)]=sL I(s)-Li,(0_) I(s)Is 电感元件的s模型 v(s)

X 电感元件的s域模型 Li (t) I (s), Lv (t) V (s) L  L L  L t i t v t L L L d d ( ) ( )  ( )  ( ) (0 ) ( ) (0 ) L  L  L   L  L L  V s L sI s i sL I s i i (t) L  v (t)  L L I s L Ls   L L 0 i V s  L  电感元件的s模型 应用原函数微分性质 设

三.原函数的积分 若L[f(t)]=F(s),则 ea]90 证明： e)dz=飞)r+k)r ① ② ①ro)→0 ②[er]a-Ik)r+0ea -()e-"at=F() 介国>】

X 三．原函数的积分 若Lf (t)  F(s)，则   s f s F s L f τ τ t ( ) (0 ) ( )d 1          证明： f τ  τ f τ  τ f τ  τ t t d d d 0 0         0 1 f           0 0 f τ dτ e d t st t                   t st t st f t t s f τ τ s 0 0 0 e d 1 d e ① ② ① ②      t st f t t s 0 e d 1    s f 0 1    s F s 

电容元件的s域模型 ei(dr 设L[c(0]=(s), vc(t) Lvc(t)]=Ve(s) ()(d =vc0) 电容元件的s模型

X 电容元件的s域模型    ( ) ( ) ( ) ( ), L v t V s L i t I s C C C C  设    t C ci C v t ( )d 1 ( )           s i s I s C V s C C C 1 ( ) (0 ) ( ) ( 1) (0 ) ( )d 1 (0 ) 1 0 ( 1)         C C C v i C i C   (0 ) 1 ( ) 1  C  C  v s I s sC i t C  v t  C C sC 1    0 1 Cv I s s C  VC s  电容元件的s模型

四.延时（时域平移) 若[f()]=F(s,则 乙f(t-,)(t-,]=Fs)e”侧题剑题 证明： Lft-,)u(t-t,)】=心ft-i,)a(t-o)edt -fe-be"at 令π=t-t,则有t=x+t,dt=dr,代入上式 LIf(t-t)u(t=f()ee"dr F(s)e-o 合心>

X 四．延时（时域平移）     0 ( ) ( ) ( )e ( ) ( ) 0 0 st L f t t u t t F s L f t F s     若  ，则           0 L f (t t0 )u(t t0 ) f (t t0 )u(t t0 )e d t st     0 ( 0 )e d t st f t t t 令τ  t  t0，则有t    t0 ,d t  dτ ,代入上式          0 ( 0 ) ( 0 ) ( ) e e d 0 L f t t u t t f τ τ st sτ 0 ( ) e st F s   证明：

五.s域平移 若[f()]=F(s,则 L(t)e"-F(s+a) 剑题 证明： Lr(e"]=f(e" dt=F(s+a）

X 五．s域平移    ( )e  ( ) ( ) ( ) L f t F s α L f t F s α t     若 ，则  ( ) e  ( ) e e d ( ) 0 L f t f t t F s α α t α t st         证明：

六.尺度变换 若[f()]=F(s),则 证明： am小-r日> L[f(a]=∫rf(at）e'dt 令x=t,则 ae日r8r-8 时移和标度变换都有时： 若a-aa-l-rea>,b>吵

X 六．尺度变换 时移和标度变换都有时:      0 1 ( ) ( ) ( ),          a a s F a L f at 若L f t F s 则   e  0, 0 1 ( ) ( )             a b a s F a L f at b u at b a b s 若       0 L f (at) f (at)e d t st 令τ  at，则                   0 ( ) ( ) e d a τ L f at f τ τ a s           0 ( ) e d 1 f τ τ a τ a s        a s F a 1 证明：