56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 §6.5麦克斯韦速率分布律 (Maxwells law of distribution of speeds) 速率分布函数 要深入研究气体的性质, 不能光是研究一些平均值, 如 ,U2等;还应该进 步弄清分子按速率和按 麦克斯韦 能量等的分布情况。 整体上看,气体的速率分布是有统计规律性的。 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第1页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第1页 §6.5 麦克斯韦速率分布律 一 . 速率分布函数 要深入研究气体的性质， 一步弄清分子按速率和按 能量等的分布情况。 如 t ，v 2 等 ； 不能光是研究一些平均值， 还应该进 整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。 麦克斯韦 （Maxwells law of distribution of speeds）
56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 吧描写分子的速率分布可以有两种方式 种是像前面那样用分立数据描写: 这种描写既繁琐,又不能很好地体现统计 的规律性。 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第2页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第2页 vi Ni 0 一种是像前面那样用分立数据描写： v1， v2 … vi … N1，N2 … Ni … 描写分子的速率分布可以有两种方式： 这种描写既繁琐，又不能很好地体现统计 的规律性
56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 另一种是用连续的分布函数来描述 设:dN为速率U→U+dU区间内的分子数, N为总分子数,则:dN2NdU 即 d w oc dv 由于dNn/N是速率U附近dU区间的分子数与 总分子数之比,所以它应与υ的大小有关,可以 写成:dN dN =f(U)dU,即|() ndv ∫(U)称速率分布函数( function of distribution of speeds) 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第3页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第3页 另一种是用连续的分布函数来描述： 设：dNv为速率v → v +dv 区间内的分子数， N 为总分子数，则： dNv N dv ， 即 v v d d N N 由于dNv / N 是速率v 附近dv 区间的分子数与 写成： v (v)dv ， d f N N = 总分子数之比，所以它应与v 的大小有关，可以 即 v v v d d ( ) N N f = f (v )称速率分布函数（function of distribution of speeds）
56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 dN 油定义式f(U)= ndv 可看出f(U)的意义是: “在速率υ附近,单位速率区间内的分子数 占总分子数的比例。” 对于一个分子来说,f(U)就是分子处于速 率υ附近单位速率区间的概率。 因为∫dN=N,即/dN。≠1 0 所以f()dU= 这称为速率分布函数 的归一化条件 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第4页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第4页 占总分子数的比例。” 率v 附近单位速率区间的概率。 v v v d d ( ) N N 由定义式 f = 可看出 f (v)的意义是： 因为 = = 0 1 d v v N N 所以 = 0 f (v)dv 1 这称为速率分布函数 的归一化条件。 ， v v = = 0 d N N 即 对于一个分子来说，f (v) 就是分子处于速 “ 在速率v 附近， 单位速率区间内的分子数
56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦( Maxwel)导出了理气在 无外场的平衡态(T)下,分子速率分布函数为: ∫(U)=4兀 n3/2 e -mv /2kT 2πkT fv Tm一定m-气体分子的质量 dN。归一化条件∫(U)dU f(U)dυ 在左图上的几何意义为: vu+du v 曲线下面的总面积等于1 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第5页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第5页 二 . 麦克斯韦速率分布函数 1859年麦克斯韦（Maxwell）导出了理气在 无外场的平衡态（T）下，分子速率分布函数为： 3/ 2 / 2 2 2 ) 2π (v) 4 ( v v = −m k T e kT m f f(v) 0 v v +dv N N f v v v d ( )d = T，m 一定 v m — 气体分子的质量 曲线下面的总面积等于1。 在左图上的几何意义为： ( ) = 0 归一化条件 f v dv 1
56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性 碰撞使得个别分子的速率变化是随机的,概率 的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到υ很小 和υ很大的概率都必然很小。 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第6页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第6页 麦克斯韦速率分布是大量分子的统计规律性。 碰撞使得个别分子的速率变化是随机的，概率 的原则使得大量分子通过频繁碰撞达到 v 很小 和v 很大的概率都必然很小
56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 三三种统计速率 1最概然(可几)速率( most probable speed) 如图示,相应于速率分布函数f功的极大值 的速率υ称为最概然速率。 f(v Tm一定 由f0 dU|v=v≈ 0,有 2KT 2RT Oc √7 p 就单位速率区间来比较, 0 U处在最概然速率υ。附近 的分子数占总分子数的百分比最大。 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第7页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第7页 三. 三种统计速率 1.最概然（可几）速率（most probable speed） 相应于速率分布函数f(v)的极大值 的速率v p 称为最概然速率。 f(v) 0 vp T，m 一定 v p 2 2 v mol kT RT T m M = = 处在最概然速率v p 附近 就单位速率区间来比较， 的分子数占总分子数的百分比最大。 如图示， 0， d d ( ) P v =v = v f v 由 有：
56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 1/2 2KT 8m →∫(Un) e P 丌kT 当分子质量m一定时,rUn个 f(v)v fv m一定 左图表明:温度越高, 2速率大的分子数比例越大, 12 气体分子的热运动越激烈 思考T一定,m2>m1,速率分布曲线如何? 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第8页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第8页 1 1/ 2 π 8 ( ) − = e kT m f v p 当分子质量m 一定时， ( ) p p f T v v 速率大的分子数比例越大， f(v) 0 vp1 m 一定 vp2 v T1 T2 >T1 思考 T 一 定，m2> m 1，速率分布曲线如何？ = → m 2kT vp 气体分子的热运动越激烈。 左图表明： 温度越高
56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 中2平均速率( average speed 分立:平均速率v=∑N ∑N 连续:n->U,N→dNNf(UdU∑一∫ v= Jo vdN d n 「U:f(U)dU dN 对麦氏速率分布经计算得: 8/T aRT 丌M o 子按速率分布的平均值:p)-mp)od 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第9页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第9页 = i i i N N v 分立： v 连续：vi →v， → 对麦氏速率分布经计算得： 8 8 v π π mol kT RT m M = = = N N N N 0 0 d d v v v v N N Nv v d 0 = = 0 v f (v)dv Ni → dNv =N f (v)dv， 2.平均速率（average speed） 平均速率 任意函数(v)对全体分 子按速率分布的平均值： ( ) = 0 v (v) f (v)dv
56-5麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 例设某气体的速率分布函数 为f(v)=faU2,(0≤U≤U)+f() 0,(U>Uo) 求:(1)常量a和v的关系 0 Vo (2)平均速率U (3)速率在0-之间分子的平均速率υ 2 解:(1)归一化条件f(0)dU=1 3 Jo f(o)du=S 00 ab dv=-av 3 3 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第10页
§6-5 麦克斯韦分子速率分布定律 第六章 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第10页 例设某气体的速率分布函数 (0 ) 0 2 av ， v v f (v ) = 0 ( ) v v0 ， 求： （3）速率在 2 0 v0 − 之间分子的平均速率 v 解： （1）常量a 和 v0 的关系 （2）平均速率 v ( )d 1 0 = f v v 3 0 0 0 2 3 1 ( )d d 0 v v v v v v f = a = a （1）归一化条件 3 0 3 v a = f (v ) 0 v0 v 为
