55-3浪的能量 第五章机械浪 食 现象:若将一软绳(弹性媒质)划分为多个小单元(体积元) ○在波动中,各体积元产生不同程度的弹性形变, 具有弹性势能△Ep 下形变最小 t时刻波形 振速U最小 t+dt 未起振的体积元 ■■■■■■ 形变最大 抖 动 振速最大 O各体积元以变化的振动速率v上下振动,具有振动动能△Ek 理论证明(略P178),当媒质中有行波传播时,媒质中一个体积元在作周 期性振动的过程中,其弹性势能ΔE卩和振动动能ΔBk同时增大、同时减 小,而且其量值相等,即△E〓△Ek。后面我们将直接应用这一结论 021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第1页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第1页 现象： 若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元） 上 下 抖 动 振速 最小 振速 最大 形变最小 形变最大 时刻波形 在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变， 具有 弹性势能 未起振的体积元 各体积元以变化的振动速率 上下振动，具有振动动能 理论证明(略P178)，当媒质中有行波传播时，媒质中一个体积元在作周 期性振动的过程中，其弹性势能 和振动动能 同时增大、同时减 小，而且其量值相等 ，即 。后面我们将直接应用这一结论
55-3浪的能量 第五章机械浪 能量密度(单位体积媒质中波的能量) 设一平面简谐波 在x处取体积元△V,媒质密度P y=A cos @(t 体积元的质量△m=p△v 体(振动速度U==-A0sim0(t 积J动能△Ek=△mU2=p△VA202sim2a(t-) 元势能△E=△E 总量能△E=△Ep+△Ek=p△VA202sin0(飞 可见,波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元 接收能量,并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程过程。 能量密度==P422sin2a(t-t) 平均能量密度=Udt=P42@2 W是U在一周期内的时间平均值。单位:焦耳·米3(Jm-3) 2021年2月25日星期四 ttp: //blog. sina. com. cn/p 第2页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第2页 可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元 接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程过程。 体 振动速度 积 元 的 动能 势能 总量能 设 一平面简谐波 处取体积元 媒质密度 体积元的质量 在 能量密度 lim 平均能量密度 是 在一周期内的时间平均值。单位：焦耳 米 （ J · m –3 ）
55-3浪的能量 第五章机械浪 借助图线理解和西 简谐平面波y=AC0sO(t-《y 在密度为ρ的均匀媒质中传播 0 某点x处的振动方程 几=Ac0s0(t-#2) W 该处的能量密度(随时间变化) pA202 0 2U=P4202sm 该处的平均能量密度 (时间平均值) 支==PA202 2 2021年2月25日里期y http://blog.sinacomcn/p 第3页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第3页 该处的 能量密度 (随时间变化) 简谐平面波 某点 处的振动方程 在密度为 的均匀媒质中传播 借助图线理解 和 该处的 平均能量密度 （时间平均值）
55-3浪的能量 第五章机械浪 d dWk =dw=pdVA@ sin- a( 2 体积元的总机械能 dw =dwk +dm=pdvAosin a(t-) 讨论 1)在波动传播的媒质中,任一体积元的动能、 势能、总机械能均随xt作周期性变化,且变化是 同相位的 早体积元在平衡位置时,动能、势能和总机械能 均最大 早体积元的位移最大时,三者均为零 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第4页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第4页 ➢ 体积元的总机械能 d d d d sin ( ) 2 2 2 k p u x W = W + W = VA t − d sin ( ) 2 1 d d 2 2 2 k p u x W = W = VA t − 讨 论 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零. 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随 作周期性变化，且变化是 同相位的. x,t
55-3浪的能量 第五章机械浪 dw=pdvAoSin-@( 2)任一体积元都在不断地接收和放出能量, 即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守恒 波动是能量传递的一种方式 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第5页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第5页 2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量 . 任一体积元的机械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 . d d sin ( ) 2 2 2 u x W = VA t −
§5-3波的能量 第五章机械浪 流和能流密度 体积元的能量取决于其振动状态 振动状态以波速在媒质中传播能量以波速L在媒质中传播 能流单位时间垂直通过的某截面积S的能量P=Wsv 平均能流一周期内垂直通过某截面积S的能量的平均值 P=wsu 单位:瓦(W) 能流密度(波的强度)垂直通过单位截面积的平均能流 I=s=W∥=2A202u单位:瓦米2(Wm2) 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第6页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第6页 能流、能流密度 平均能流 一周期内垂直通过某截面积 的能量的平均值 单位：瓦 ( W ) 能流密度（波的强度）垂直通过单位截面积的平均能流 单位：瓦·米-2 ( W·m –2 ) 振动状态以波速 在媒质中传播 体积元的能量取决于其振动状态 能量以波速 在媒质中传播 能流 单位时间垂直通过的某截面积 的能量
55-3浪的能量 第五章机械浪 已知 解法提要 频率为1000Hz 波强Ⅰ=wW=pA2a2l 的声波在空气中传播 波强为 0=2兀v 3×10W·m-2 2I 波速为 则=2wNPu 330m.s-1 2×3×10 空气密度为 2000兀 13×330 3kg·m 18×10-6(m) 求 因在空气中传播的声波是纵波,此振幅 此声波的振幅 值表示媒质各体积元作振动时,在波线方向 上相对于各自平衡位置的最大位移 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第7页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第7页 1.3 kg · m -3 一频率为 1000 Hz 波强为 3×10 -2 W · m –2 330 m · s -1 此声波的振幅 的声波在空气中传播 波速为 空气密度为 波强 2 则 1 2 2 × 3×10 -2 2000 1.3×330 1 2 1.8×10 – 6 ( m ) 因在空气中传播的声波是纵波，此振幅 值表示媒质各体积元作振动时，在波线方向 上相对于各自平衡位置的最大位移
55-3浪的能量 第五章机械浪 中证明球面波的振幅与 离开其波源的距离成反比 1^ 并求球面简谐波的波函数 证介质无吸收,通过 两个球面的平均能流相等 2 即 A 4T 0A2Qu4t Abro cosa( A2 式中为离开波源的距离,A为=70处的振幅 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第8页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第8页 证明球面波的振幅与 离开其波源的距离成反比， 并求球面简谐波的波函数. 证 介质无吸收，通过 两个球面的平均能流相等. 1 s 2 s 1 r 2 r 1 2 2 1 r r A A = cos ( ) 0 0 u r t r A r y = − 1 uS1 =2 uS2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 4π 2 1 4π 2 1 即 A u r = A u r 式中 r 为离开波源的距离， 为 处的振幅. 0 r = r A0
55-3浪的能量 第五章机械浪 )波的吸收 波在实际介质中,由于波动能量总有一部分会被介 质吸收,波的机械能不断减少,波强亦逐渐减弱 波通过厚度为dx的介质,其振幅衰减量为-dA dA= aadx A、A分别是x=0和x=x处的波振幅 c是介质的吸收系数 波强的衰减规律: 2 Ⅰ、I分别悬x=0和x=x处波的强度 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/p 第9页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第9页 波的吸收 波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介 质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。 波通过厚度为dx的介质，其振幅衰减量为-dA − dA=Adx x A A e − = 0 A、A0 分别是x = 0和x = x处的波振幅 是介质的吸收系数 波强的衰减规律： x I I e 2 0 − = I、I0 分别是x = 0和x = x处波的强度
55-3浪的能量 第五章机械浪 声波一艘般意义上的声波,是指能引起人的听觉 频率在20~20000Hz的机械波。又称声音或声 在声学中,声波的频率范围包括10-4~1012H的机械波。 10·4~20Hz 频率低,波长长,衰减小。用于探矿、预测风暴、 次声 监视地震和核爆炸等。次声与人体器官(如心脏)的振 动频率相近,对人体有害。 20~20000Hz 除与人类生活息息相关外,该频段在民用和军用的声 可听声 呐(声导航与定位)、水下目标测距及识别等亦常使用。 20000~5×108Hz 频率高,波长短,能量大,穿逶力强。在检测、加 超声 工处理、医疗等领域有广泛应用。 该频段的超声频率,已高到可与电磁波的微波频率相 比拟,而具有超声自身的许多优越特性,在固体物理领 5×108~1012Hz域中已得到广泛应用。该频段的低端,在现代电子技术 激光技术、信息处理和集成光学等领域有重要的应用。 特超声 频率高于1012Hz的特超声的波长已可与晶格尺寸相比 拟,是研究物质结构的一种重要的新手段。 2021年2月25日星期四 http://blog.sinacomcn/ 第10页
§5-3 波的能量 第五章 机械波 2021年2月25日星期四 http://blog.sina.com.cn/phy 第10页 一般意义上的声波，是指能引起人的听觉、 在声学中，声波的频率范围包括 10 - 4 ~ 10 12 Hz 的机械波。 频率在 20 ~ 20 000 Hz 的机械波。又称声音或声。 10 - 4 ~ 20 Hz 次声 20 ~ 20 000 Hz 可听声 20 000 ~ 5×10 8 Hz 5×10 8 ~ 10 12 Hz 超声 特超声 频率低，波长长，衰减小。用于探矿、预测风暴、 监视地震和核爆炸等。次声与人体器官（如心脏）的振 动频率相近，对人体有害。 除与人类生活息息相关外，该频段在民用和军用的声 呐（声导航与定位）、水下目标测距及识别等亦常使用。 频率高，波长短，能量大，穿透力强。在检测、加 工处理、医疗等领域有广泛应用。 该频段的超声频率，已高到可与电磁波的微波频率相 比拟，而具有超声自身的许多优越特性，在固体物理领 域中已得到广泛应用。该频段的低端，在现代电子技术、 激光技术、信息处理和集成光学等领域有重要的应用。 频率高于10 12 Hz 的特超声的波长已可与晶格尺寸相比 拟，是研究物质结构的一种重要的新手段