习题 7-1.原长为0.5m的弹簧,上端固定,下端挂一质量为0.lkg的物体,当物 体静止时,弹簧长为0.6m.现将物体上推,使弹簧缩回到原长,然后放手,以 放手时开始计时,取竖直向下为正向,写出振动式。(g取98) 解:振动方程:x=Acos(ot+q), 在本题中,k=m,所以k=98:D=k √98 0.1 振幅是物体离开平衡位置的最大距离,当弹簧升长为0.1m时为物体的平衡 位置,以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长,那么:A=0.1, 当t=0时,x=-A,那么就可以知道物体的初相位为 所以:x=0.1cos(√98+r)即x=-0lcos(√98) 7-2.有一单摆,摆长l=1.0m,小球质量m=10gt=0时,小球正好经过 =-006ad处,并以角速度b=0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看 作简谐振动,试求:(g取9.8) (1)角频率、频率、周期:(2)用余弦函数形式写出小球的振动式。 解:振动方程:x=Acos(o【+q)我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 (1)角频率:O=惦=√9.8=3.13rad/s, 频率 0.5Hz 周期:T=2丌 g√98
习题 7-1. 原长为 0.5m 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为 0.1kg 的物体，当物 体静止时，弹簧长为 0.6m ．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以 放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g 取 9.8） 解：振动方程： x A t = + cos( ) , 在本题中， kx mg = ，所以 k = 9.8 ； 9.8 98 0.1 k m = = = 振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为 0.1m 时为物体的平衡 位置，以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1， 当 t=0 时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为 π。 所以： x t = + 0.1cos 98 （ ） 即 x t = −0.1cos( 98 ) 7-2. 有一单摆，摆长 l =1.0m ，小球质量 m = 10g .t = 0 时，小球正好经过 = −0.06rad 处，并以角速度 = 0.2rad/s • 向平衡位置运动。设小球的运动可看 作简谐振动，试求：（g 取 9.8） （1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。 解：振动方程： x A t = + cos( ) 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （1）角频率： 9.8 3.13 / g rad s l = = = ， 频率： 1 9.8 0.5 2 2 g Hz l = = = ， 周期： 2 2 2 9.8 l T s g = = =
(2)根据初始条件:COS卯 6>0(1,2象限) sin o Ao<034象限) 可解得:A=0.088,=-2.32 所以得到振动方程:=0.088c0s63.131-2.32) 7-3.一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体,最初用手将物体在弹簧原长处托住, 然后放手,此系统便上下振动起来,已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处 求:(1)振动频率;(2)物体在初始位置下方80cm处的速度大小 解:(1)由题知2A=10cm,所以A=5cm; 9.8 一=196又 5×10 k=√196=14,即 2 (2)物体在初始位置下方80cm处,对应着是x=3cm的位置,所以: COs 3%=r=3 A 那么此时的s1%=-A 那么速度的大小为P Ao=0.56 7-4.一质点沿x轴作简谐振动,振幅为12cm,周期为2s。当t=0时,位移 为6cm,且向x轴正方向运动。求:(1)振动表达式:(2)t=0.5s时,质点的 位置、速度和加速度;(3)如果在某时刻质点位于x=-6cm,且向x轴负方向
（2）根据初始条件： A cos0 = 象限） 象限） 0(3,4 0(1,2 sin { 0 = − A 可解得： A = 0.088， = −2.32 所以得到振动方程： = − 0.088cos 3.13 2.32 （ t ） 7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住， 然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方 10.0cm 处, 求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方 8.0cm 处的速度大小。 解：（1）由题知 2A=10cm，所以 A=5cm； 196 5 10 9.8 2 = = = − x g m K 又ω= = 196 = 14 m k ,即 7 2 1 = = m k （2）物体在初始位置下方 8.0cm 处，对应着是 x=3cm 的位置，所以： 0 3 cos 5 x A = = 那么此时的 0 4 sin 5 v A = − = 那么速度的大小为 4 0.56 5 v A = = 7-4. 一质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12cm ，周期为 2s 。当 t = 0 时, 位移 为 6cm ，且向 x 轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2） t = 0.5s 时，质点的 位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于 x = −6cm ，且向 x 轴负方向
运动,求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解:由题已知A=12×10m,T=2.0s 0=2J/T=I rad 又,t=0时,x=6Cm,V0>0∴由旋转矢量图,可知: 故振动方程为x=0.12cos(m--) (2)将t=0.5s代入得 x=0.12cos(m-x)=0.12cosz=0.104m y=-0.12rsin(mt-z)=0.12c0sz=-0.188m/s a=-0.22cos(m-x)=-0.12n2cosz=-103m/s2 方向指向坐标原点,即沿x轴负向 (3)由题知,某时刻质点位于x=-6cm,且向x轴负方向运动 即x0=A/2,且v<0,故ψ,=2π/3,它回到平衡位置需要走π/3,所以: t=△中/u=(/3)/(n)=1/3s 7-5.两质点作同方向、同频率的简谐振动,振幅相等。当质点1在x1=A/2 处,且向左运动时,另一个质点2在x2=-A/2处,且向右运动。求这两个质 点的位相差。 解:由旋转矢量图可知: 当质点1在x1=A/2处,且向左运动时 相位为/3, 而质点2在x2=-A/2处,且向右运动, 相位为4π/3。 所以它们的相位差为I
运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：由题已知 A=12×１０-2 m，T=2.0 s ∴ ω=2π/T=π rad·s -1 又，t=0 时， x0 = 6cm， 0 v0 ∴由旋转矢量图，可知： 3 0 = − 故振动方程为 （ ） 3 0.12cos x = t − (2)将 t=0.5 s 代入得 0.12cos 0.12cos 0.104 3 6 x t m = − = = （ ） 0.12 sin 0.12cos 0.188 / 3 6 v t m s = − − = = − （ ） 2 2 2 1.03 / 6 0.12 cos 3 a = −0.12 cos t − = − = − m s （ ） 方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向． (3)由题知，某时刻质点位于 x = −6cm ，且向 x 轴负方向运动 即 x０=-A/2，且 v＜0，故 t=2π/3，它回到平衡位置需要走π/3，所以： ∴t=Δ /ω=(π/3)／(π) =1/3s 7-5. 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 x1 = A/ 2 处，且向左运动时，另一个质点 2 在 x2 = −A/ 2 处，且向右运动。求这两个质 点的位相差。 解：由旋转矢量图可知： 当质点 1 在 x1 = A/ 2 处，且向左运动时， 相位为π/3， 而质点 2 在 x2 = −A/ 2 处，且向右运动， 相位为 4π/3 。 所以它们的相位差为π
7-6.质量为m的密度计,放在密度为p的液体中。已知密度 计圆管的直径为d。试证明,密度计推动后,在竖直方向的振动 为简谐振动。并计算周期 解:平衡位置:当F浮=G时,平衡点为C处。设此时进入水中 的深度为 可知浸入水中为a处为平衡位置 以水面作为坐标原点0,以向上为x轴,质心的位置为x,则:分析受力:不管它 处在什么位置,其浸没水中的部分都可以用a-x来表示,所以力 F=pgla-xs-pgas=-pgSa F pgSx d-x 令 可得到:d2 d2+x=0可见它是一个简谐振动 周期为:T=2丌/ 7-7.证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为:v= Ik,k 2T V (k,+k2)m w 证明:两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧,所以仍为简谐振动(证明略),其劲 度系数满足:K1x1=K2x2=Kx和x1+x2=x
7-6. 质量为 m 的密度计，放在密度为 的液体中。已知密度 计圆管的直径为 d 。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动 为简谐振动。并计算周期。 解：平衡位置： 当 F 浮=G 时，平衡点为 C 处。设此时进入水中 的深度为 a： gSa = mg 可知浸入水中为 a 处为平衡位置。 以水面作为坐标原点 O，以向上为 x 轴，质心的位置为 x，则：分析受力：不管它 处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用 a-x 来表示，所以力 F g a x S gaS gSx kx = − − = − = − ( ) 2 2 dt d x m gSx m F a = = − = 令 m g d m gS 4 2 2 = = 可得到： 0 2 2 2 + x = dt d x 可见它是一个简谐振动。 周期为： g m d T 4 = 2 / = 7-7. 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为： k k m k k 2 ( ) 1 1 2 1 2 + = 证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲 度系数满足： K x = K x = Kx 1 1 2 2 和 x + x = x 1 2
可得:1 K,K KK K 所以:K K+K 代入频率计算式,可得:v= k,k 2t vm 2rV(k,+k2)m 7-8.当简谐振动的位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少? 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半? Ep=kx=k (A)=EM, Ex=Em 当物体的动能和势能各占总能量的一半:2_11 k2)=-E 所以:x=±yA=±0.707A 7-9.两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) (1)求合振动的振幅 (2)求合振动的振动表达式 解:通过旋转矢量图做最为简单。 先分析两个振动的状态 91 两者处于反相状态,(反相△q=2-91=+(2k+1n,k=0,1,2,…) 所以合成结果:振幅A=42-A 振动相位判断:当A4>A2,q=1;当A1<A2,=2:
可得： 1 2 1 1 1 K K K = + 所以： 1 2 1 2 K K K K K + = 代入频率计算式，可得： k k m k k m k 2 ( ) 1 2 1 1 2 1 2 + = = 7-8. 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？ EP= A EM EK EM k x k 4 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 = （ ） = ， = 当物体的动能和势能各占总能量的一半： kx （ kA ） EM， 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 = = 所以： 2 0.707 2 x A A = = 。 7-9. 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。 （2）求合振动的振动表达式。 解：通过旋转矢量图做最为简单。 先分析两个振动的状态： ： ， 2 1 1 A = ： ， 2 2 2 A = − 两者处于反相状态，（反相 =2 −1 = ( 2k +1) ，k = 0,1,2, ） 所以合成结果：振幅 A = A2 − A1 振动相位判断：当 1 2 =1 A A , ；当 1 2 =2 A A , ；
丌 所以本题中,=如2-2 振动方程:x=(A2-A1)cos(1-) 7-10.两个同方向,同频率的简谐振动,其合振动的振幅为20cm,与第 个振动的位相差为 若第一个振动的振幅为10√3cm。则(1)第二个振动的 振幅为多少?(2)两简谐振动的位相差为多少? 解:由题意可做出旋转矢量图如下. 由图知A2=A2+A2-2A1Acos30° =(0.173)2+(0.2)2-2×0.173×0.2×√3/2=0.01 ∴A2=0.1m 设角A10为0,则A2=A21+A2-2A1A2cos0 即c A2+A2 (0173)2+(0.1)2-(002)2 2A1A2 2×0.173×0.1 0=丌/2,这说明A1与A2间夹角为/2,即二振动的位相差为r/2 7-1l.一摆在空中作阻尼振动,某时刻振幅为A=3cm,经过1=10s后, 振幅变为A1=lcm。问:由振幅为A时起,经多长时间其振幅减为 A,=0.3cm 解:根据阻尼振动的特征,x= Ae p cos(o+q0) 振幅为A=Ae
所以本题中， ， 2 2 = = − 振动方程： （ ） （ ） 2 2 cos 2 1 = − t − T x A A 7-10. 两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20cm ，与第一 个振动的位相差为 6 。若第一个振动的振幅为 10 3cm 。则（1）第二个振动的 振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？ 解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知 = + − 2 cos30 1 2 2 1 2 A2 A A A A =(0.173)２ +(0.2)２ -2×0.173×０.２× 3 ／２=0.01 ∴A２=0.1 m 设角 AA１O 为θ，则 A ２ =A２ １+A２ ２-2A１A２cosθ 即 cosθ= 2 0.173 0.1 (0.173) (0.1) (0.02) 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 + − = + − A A A A A =0 即θ=π/2，这说明 A１与 A２间夹角为π/2，即二振动的位相差为π/2 7-11. 一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为 A0 = 3cm ，经过 10s t 1 = 后， 振幅变为 A1 =1cm 。问：由振幅为 A0 时起，经多长时间其振幅减为 A2 = 0.3cm ？ 解：根据阻尼振动的特征， cos( ) 0 0 = + − x A e t t 振幅为 t A A e − = 0
若已知A=3cm,经过1=10后,振幅变为A1=lcm,可得:1=3e-0 那么当振幅减为A2=0.3cm0.3=3e可求得t=2ls 7-12.某弹簧振子在真空中自由振动的周期为T,现将该弹簧振子浸入水中, 由于水的阻尼作用,经过每个周期振幅降为原来的90%,求 (1)求振子在水中的振动周期T (2)如果开始时振幅A=10厘米,阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路 程为多少? 2 解:(1)有阻尼时T= 2丌 7o ln0.9 A=Ae 0.9A=A 42+(n09)2=1.00047 (2) 713.试画出x=Acos(2o+2)和y= Bcos ot的李萨如图形。 略,可参考书上的图形。 7-14.质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动: x= 4 cos 8zt+ y=4 cos 8z x= 4 cos 8xt+ x=4 cos 8Z V=4 cos 8t- 6 y=4 cos 8x+ 试判别质点运动的轨迹
若已知 A0 = 3cm ，经过 10s t 1 = 后，振幅变为 A1 =1cm ，可得： 10 1 3 − = e 那么当振幅减为 A2 = 0.3cm t e − 0.3 = 3 可求得 t=21s。 7-12. 某弹簧振子在真空中自由振动的周期为 T0 ，现将该弹簧振子浸入水中， 由于水的阻尼作用，经过每个周期振幅降为原来的 90%，求: （1）求振子在水中的振动周期 T （2）如果开始时振幅 A0 =10 厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路 程为多少？ 解：（1） 有阻尼时 2 2 0 2 ω β π T − = 0 0 2 ω π T = βt A A e − = 0 βT A A e − 9 0 = 0 0. T β ln 0.9 = − 0 2 2 0 4 (ln 0.9) 1.00014 2 T T T = + = （2） 7-13. 试画出 ) 4 cos(2 x = A t + 和 y = Bcost 的李萨如图形。 略，可参考书上的图形。 7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动： （1） = − = + 6 4cos 8 6 4cos 8 y t x t （2） = − = + 6 5 4cos 8 6 4cos 8 y t x t （3） = + = + 3 2 4cos 8 6 4cos 8 y t x t 试判别质点运动的轨迹
解:质点参与的运动是频率相同,振幅相同的垂直运动的叠加 A242A ①0-)=Sm(2-9) 丌 (1)△q=q2-01= 则方程化为:x2+y2-xy=12,轨迹为一般的椭 (2)△q=2-1=r 则方程化为(+户=0y=-x轨迹为一直线。 (3)△q=q2-1 则方程化为: 1轨迹为一圆 7-15.在示波器的水平和垂直输入端分别加上 余弦式交变电压,荧光屏上出现如图所示的李萨如 图形。已知水平方向振动频率为27×10H2,求 垂直方向的振动频率。 解:通过和书上的李萨如图形想比较,可发现 它满足两方向的振动频率比3:2。由水平方向振动 频率为27×104H,可得垂直方向的振动频率为18×104H
解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 cos( ) sin ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 + − − = − A x y A y A x （1） 3 2 1 = − = 则方程化为： 12 2 2 x + y − xy = ，轨迹为一般的椭圆。 （2） =2 −1 = 则方程化为： 0 2 1 2 + ) = A y A x ( x A A y 1 2 = − 轨迹为一直线。 （3） 2 2 1 = − = 则方程化为： 1 2 2 2 2 1 2 + = A y A x 轨迹为一圆。 7-15. 在示波器的水平和垂直输入端分别加上 余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如 图形。已知水平方向振动频率为 z 4 2.710 H ，求 垂直方向的振动频率。 解：通过和书上的李萨如图形想比较，可发现 它满足两方向的振动频率比 3：2。由水平方向振动 频率为 z 4 2.710 H ，可得垂直方向的振动频率为 z 4 1.810 H
思考题 7-1.试说明下列运动是不是简谐振动 (1)小球在地面上作完全弹性的上下跳动; (2)小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动 答:要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件:一,描述系统的各种 参量,如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量:二,系统是在自 己的稳定平衡位置附近作往复运动;三,在运动中系统只受到内部的线性回复力 的作用.或者说,若一个系统的运动微分方程能用}+025=0描述时,其所 作的运动就是谐振动 (1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一,球的运动轨道中并不存在一个稳 定的平衡位置;第二,球在运动中所受的三个力:重力,地面给予的弹力,击球 者给予的拍击力,都不是线性回复力 O (2)小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动,是谐振动.显然,小球在运动 过程中,各种参量均为常量:该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即 槽最低点,即系统势能最小值位置点O;而小球在运动中的回复力为- mosinθ, 如题4-1图(b)所示.题中所述,△S<R,故6=△S/R→0,所以回复力为mg0.式 中负号,表示回复力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在0点附近的往复 运动中所受回复力为线性的.若以小球为对象,则小球在以0′为圆心的竖直平 面内作圆周运动,由牛顿第二定律,在凹槽切线方向上有
思考题 7-1. 试说明下列运动是不是简谐振动： （1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动； （2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种 参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自 己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力 的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用 2 2 dt d +ω ２ξ=0 描述时，其所 作的运动就是谐振动． (1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳 定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球 者给予的拍击力，都不是线性回复力． (2)小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动 过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即 凹槽最低点，即系统势能最小值位置点 O；而小球在运动中的回复力为-mgsinθ， 如题 4-1 图(b)所示．题中所述，ΔS<<R，故θ=ΔS/R→0，所以回复力为-mgθ．式 中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在 O 点附近的往复 运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以 O′为圆心的竖直平 面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有
d20 令2=g/R,则有 d- 20=0 7-2.简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号 的?加速度为正值时,振动质点的速率是否一定在增加?反之,加速度为负值时, 速率是否一定在减小? 答:简谐振动的速度:v=-Aωsin(ot+中); 加速度:a=-Aω2cos(ut+φ); 要使它们同号,必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就 是异号的 加速度为正值时,振动质点的速率不一定在增加,反之,加速度为负值时, 速率也不一定在减小 只有当速度和加速度是同号时,加速度才能使速率增加;反之,两者异号时, 加速度使速率减小 7-3.分析下列表述是否正确,为什么? (1)若物体受到一个总是指向平衡位置的合力,则物体必然作振动,但不 定是简谐振动 (2)简谐振动过程是能量守恒的过程,凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答:(1)的表述是正确的,原因参考7-1 (2)的表述不正确,比如自由落体运动中能量守恒,但不是简谐振动 7-4.用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。 方法1:使其从平衡位置压缩4,由静止开始释放 方法2:使其从平衡位置压缩2,由静止开始释放。 若两次振动的周期和总能量分别用不、T2和E1、E2表示,则它们满足下面 那个关系? (A)71=72E1=E2(B)T1=72E1≠E2
mR 2 2 dt d =-mgθ 令ω２ =g/R,则有 2 2 dt d ＋ω２θ=0 7-2. 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号 的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时， 速率是否一定在减小? 答： 简谐振动的速度：v= -Aωsin（ωｔ＋φ）； 加速度：a=- Aω2 cos（ωｔ＋φ）； 要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就 是异号的。 加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时， 速率也不一定在减小。 只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时， 加速度使速率减小。 7-3. 分析下列表述是否正确，为什么? （1）若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不 一定是简谐振动； （2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。 答：（1）的表述是正确的，原因参考 7-1； （2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。 7-4. 用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。 方法1：使其从平衡位置压缩 l ，由静止开始释放。 方法2：使其从平衡位置压缩2 l ，由静止开始释放。 若两次振动的周期和总能量分别用 T1、T2 和 E1、E2 表示，则它们满足下面 那个关系？ (A) T1 = T2 E1 = E2 (B) T1 = T2 E1 E2