习题 6-1.设固有长度lo=20m的汽车,以v=300ms的速度沿直线行 驶,问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少? 解:1=l√1-(2/c2) A=lo-1=lox 1.25×10-4n 6-2.在参考系S中,一粒子沿直线运动,从坐标原点运动到了 x=1.5×10m处,经历时间为=1.00s,试计算该过程对应的固有时。 解:以粒子为S'系 6-3.从加速器中以速度v=0.8c飞出的离子在它的运动方向上又发射 出光子。求这光子相对于加速器的速度。 解:设加速器为S系,离子为S系 v+ 6-4.两个宇宙飞船相对于恒星参考系以0.8c的速度沿相反方向飞行, 求两飞船的相对速度。 解:设宇宙船A为S系,速度0.8c,宇宙船B为S系,速度-08c v+u 根据洛伦兹速度变换公式:V2= 有 08c==08c+u 1+=08c u=0976 6-5.从S系观察到有一粒子在t1=0时由x1=100m处以速度 v=098c沿x方向运动,10后到达x2点,如在S系(相对S系以速度
习题 6-1. 设固有长度 l 0 = 2.50m 的汽车，以 v = 30.0m/s 的速度沿直线行 驶，问站在路旁的观察者按相对论计算该汽车长度缩短了多少？ 解： 1 ( ) 2 2 0 l = l − v c 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 c v c − v − m c v l l l l 14 2 2 0 0 1.25 10 2 1 − = − = = 6-2. 在参考系 S 中，一粒子沿直线运动，从坐标原点运动到了 1.5 10 m 8 x = 处，经历时间为 t =1.00s ，试计算该过程对应的固有时。 解：以粒子为 S 系 t t 1 (v c ) 0.866s 2 2 = − = 6-3. 从加速器中以速度 v = 0.8c 飞出的离子在它的运动方向上又发射 出光子。求这光子相对于加速器的速度。 解：设加速器为 S 系，离子为 S 系 c c uv v u v x x x = + + = 2 1 6-4. 两个宇宙飞船相对于恒星参考系以 0.8c 的速度沿相反方向飞行， 求两飞船的相对速度。 解：设宇宙船 A 为 S 系，速度 0.8c ，宇宙船 B 为 S 系，速度−0.8c 根据洛伦兹速度变换公式： ' ' 2 1 x x x v u v uv c + = + ，有： 2 0.8 0.8 0.8 1 c u c cu c − + = − + u c = 0.976 6-5. 从 S 系 观 察 到有 一 粒子 在 t 1 = 0 时 由 x1 =100m 处以速度 v = 0.98c 沿 x 方向运动， 10s 后到达 2 x 点，如在 S 系(相对 S 系以速度
096c沿x方向运动)观察,粒子出发和到达的时空坐标t1,x,2,x2各 为多少?(t=t'=0时,S与S的原点重合),并算出粒子相对S'系的速度 0.96 0 ×100 解:l1 1.147×10-6 (0 0.96c 12= (0 100-0.96c×0 n 0.96c 98c-096c×10 x2 2.14×10 0.96c 1-n≈098-096-=1014×10m/s 6-6.一飞船静长l以速度u相对于恒星系作匀速直线飞行,飞船内一小 球从尾部运动到头部,宇航员测得小球运动速度为ν,试算出恒星系观察者 测得小球的运动时间 解:设恒星系为S系,飞船为系S′ l l x△r(1+ 6-7.一个静止的K介子能衰变成一个介子和一个汇介子,这两个
u = 0.96c 沿 x 方向运动)观察，粒子出发和到达的时空坐标 1 1 2 2 t , x ,t , x 各 为多少？( t = t = 0 时， S 与 S 的原点重合)，并算出粒子相对 S 系的速度。 解： s c c c c c v x c u t t 6 2 2 2 2 1 2 1 1 1.147 10 ) 0.96 1 ( 100 0.96 0 1 ( ) − = − − = − − = s c c c c c c v x c u t t 2.11 ) 0.96 1 ( 9.8 0.96 10 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − = − − = m c c c c u x ut x 357.14 ) 0.96 1 ( 100 0.96 0 1 ( ) 2 2 2 1 1 1 = − − = − − = m c c c c c u x ut x 8 2 2 2 2 2 2 2.14 10 ) 0.96 1 ( 9.8 0.96 10 1 ( ) = − − = − − = ' 8 2 2 0.98 0.96 1.014 10 0.96 1 1 0.98 x x x v u c c v u c v c c c − − = = = − − m/s 6-6 .一飞船静长 0 l 以速度 u 相对于恒星系作匀速直线飞行，飞船内一小 球从尾部运动到头部，宇航员测得小球运动速度为 v ，试算出恒星系观察者 测得小球的运动时间。 解：设恒星系为 S 系，飞船为系 S v l t 0 = 1 ( ) (1 ) 1 ( ) (1 ) 1 ( ) 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 c u v v c u l c u t x c u t c u x c u t t − + = − + = − + = 6-7. 一个静止的 0 K 介子能衰变成一个 + π 介子和一个 − π 介子，这两个
兀介子的速率均为0.85c.现有一个以速率090c相对于实验室运动的K0 介子发生上述衰变。以实验室为参考系,两个π介子可能有的最大速率和最 小速率是多少? 解:最大速度="+n_0.85c+09c=0992c 0.9c×085c 最小速度v2= v+l(-0.85c)+0.9c =0.213c 1+ 09c×(-0.85c) 6-8.一个电子从静止开始加速到0.lc,需对它做多少功?,若速度从 09c增加到0.99c又要做多少功? Ek }=0. 2.57Mev 2{- =0.51×10° 2. 44MeV 6-9.一静止电子(静止能量为05lMeV)被1.3MeV的电势差加速,然 后以恒定速度运动。求:(1)电子在达到最终速度后飞越84m的距离需要多 少时间?(2)在电子的静止系中测量,此段距离是多少? Af: moc=0.51Mer Ek=1.3Mel mc=moc+Ex-1.81Mel m=r mlo 84 2.88×100m 92×10~°s 2.88×10
π 介子的速率均为 0.85c ．现有一个以速率 0.90c 相对于实验室运动的 0 K 介子发生上述衰变。以实验室为参考系，两个 π 介子可能有的最大速率和最 小速率是多少？ 解：最大速度 c c c c c c c uv v u v x x x 0.992 0.9 0.85 1 0.85 0.9 1 2 2 = + + = + + = 最小速度 c c c c c c c uv v u v x x x 0.213 0.9 ( 0.85 ) 1 ( 0.85 ) 0.9 1 2 2 = − + − + = + + = 6-8. 一个电子从静止开始加速到 0.1c ，需对它做多少功？，若速度从 0.9c 增加到 0.99c 又要做多少功？ 解 ： 1} ) 0.1 1 ( 1 } 0.51 10 { 1 ( ) 1 1 ( ) 1 { 2 6 2 2 1 2 2 2 2 0 − − = − − − = c c c v c v E m c k = 2.57MeV } ) 0.9 1 ( 1 ) 0.99 1 ( 1 } 0.51 10 { 1 ( ) 1 1 ( ) 1 { 2 2 6 2 2 1 2 2 2 2 0 c c c c c v c v E m c k − − − = − − − = = 2.44MeV 6-9. 一静止电子(静止能量为 0.51MeV )被 1.3MeV 的电势差加速，然 后以恒定速度运动。求：(1)电子在达到最终速度后飞越 8.4m 的距离需要多 少时间？(2)在电子的静止系中测量，此段距离是多少？ 解： m c 0.51MeV 2 0 = Ek = 1.3MeV mc m c Ek 1.81MeV 2 0 2 = + = 2 2 0 1 c v m m − = 8 1 2.88 10 − v = m s s v l t 8 8 2.92 10 2.88 10 8.4 − = = =
"=l =2.37m 6-10.有两个中子A和B,沿同一直线相向运动,在实验室中测得每个 中子的速率为B.试证明相对中子A静止的参考系中测得的中子B的总能 量为 E B 其中m为中子的静质量 证明:设中子A为S系,实验室为S’系,中子B相对于中子A速度为 2Bc 1+B2 E=mc2- moc 1+B 2B B 1+B 6-11.一电子在电场中从静止开始加速,电子的静止质量为 9.1×107kg (1)问电子应通过多大的电势差 才能使其质量增加 0.4%? (2)此时电子的速率是多少? 解:(1) m- mo =0.004 eU=mc2-moc=0.004moc2 0.004mc2 2.05×103
2 2 1 2.37 v l l m c = − = 6-10. 有两个中子 A 和 B ，沿同一直线相向运动，在实验室中测得每个 中子的速率为 c ．试证明相对中子 A 静止的参考系中测得的中子 B 的总能 量为： 2 2 0 2 1 1 E m c − + = 其中 m0 为中子的静质量。 证明：设中子 A 为 S 系，实验室为 S 系，中子 B 相对于中子 A 速度为 2 2 1 2 1 + = + + = c v c u v u v x x x 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 1 1 ) 1 2 1 1 ( m c m c c v m c E mc x − + = + − = − = = 6-11. 一电子在电场中从静止开始加速，电子的静止质量为 9.11 10 kg −31 . （1）问电子应通过多大的电势差 才能使其质量增加 0.4% ？ （2）此时电子的速率是多少？ 解： （1） Ek = eU 0.004 0 0 = − m m m 2 2 2 0 0 eU mc m c m c = − = 0.004 2 0 3 0.004 2.05 10 m c U V e = =
(2)m=1.0044=mo 6-12.已知一粒子的动能等于其静止能量的n倍,求:(1)粒子的速率, (2)粒子的动量。 Ek Ek=mc -moc = moC(I Cn(n+ 2) 整理得 (2)E2=P2c2+m2c4而E=(n+1)mc2 P=mc√hm(n+2) 6-13.太阳的辐射能来源于内部一系列核反应,其中之一是氢核(H 和氘核(H)聚变为氦核(He),同时放出y光子,反应方程为 H+H→>2H 已知氢、氘和3He的原子质量依次为1007825u、2.014102u和 301602u.原子质量单位u=166×10-27kg.试估算y光子的能量 解:Mm=1.007825+20141022-3016029=0979×10-°kg 根据质能方程AE=△c 0.979×10-29×(3×105)2 =5.5IMev 1.6×10-19 思考题6 6-1.关于狭义相对论,下列几种说法中错误的是下列哪种表述
（2） 2 2 0 0 1 1.004 c v m m m − = = 7 1 2.7 10 − v = m s 6-12. 已知一粒子的动能等于其静止能量的 n 倍，求：(1)粒子的速率， (2)粒子的动量。 解：（1） 2 0 E nm c k = 而 1) 1 1 ( 2 2 2 0 2 0 2 − − = − = c v E mc m c m c k 整理得 1 ( 2) + + = n c n n v （2） 2 4 0 2 2 2 E = P c + m c 而 2 0 E = (n +1)m c ( 2) P = m0 c n n + 6-13. 太阳的辐射能来源于内部一系列核反应，其中之一是氢核( H 1 1 ) 和氘核( H 2 1 )聚变为氦核( He 3 2 )，同时放出 光子，反应方程为 H+ H→ He + 3 2 2 1 1 1 已知氢、氘和 He 3 的原子质量依次为 1.007825u 、 2.014102u 和 3.016029u . 原子质量单位 1u 1.66 10 kg −27 = . 试估算 光子的能量。 解： m u u u k g 29 1.007825 2.014102 3.016029 0.979 10− = + − = 根据质能方程 29 8 2 2 19 0.979 10 (3 10 ) 5.51MeV 1.6 10 E mc − − = = = 思考题 6 6-1. 关于狭义相对论，下列几种说法中错误的是下列哪种表述：
(A)一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速; (B)在任何惯性系中,光在真空中沿任何方向的传播速率都相同 (C)在真空中,光的速度与光源的运动状态无关 (D)在真空中,光的速度与光的频率有关 答:(D) 6-2.两飞船A、B均沿静止参照系的x轴方向运动,速度分别为v和 v2由飞船A向飞船B发射一束光,相对于飞船A的速度为c,则该光束 相对于飞船B的速度为多少? 答:光速c 6-3.在惯性系S和S′,分别观测同一个空间曲面。如果在S系观测该 曲面是球面,在S′系观测必定是椭球面。反过来,如果在S′系观测是球面 则在S系观测定是椭球面,这一结论是否正确? 答:根据运动的相对性这个结论是正确的 6-4.一列以速度v行驶的火车,其中点C’与站台中点C对准时,从站 台首尾两端同时发出闪光。从看来,这两次闪光是否同时?何处在先? ul 答:根据△t=y(△t x)由于M=0△x≠0 所以M'≠0即对C′点的观测者来说两次闪光不同时发生,尾部在 6-5.一高速列车穿过一山底隧道,列车和隧道静止时有相同的长度l 山顶上有人看到当列车完全进入隧道中时,在隧道的进口和出口处同时发生 了雷击,但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到 什么现现象?这现象是如何发生的? 答:对于地面的观察者雷击是在不同地方同时发生的,但是对于列车上 的旅客来说这两个事件不是同时发生的,他应该看到两次雷击现象 6-6.假设在海拔9000m高山处产生的μ子,静止时的平均寿命为 r0=2s,以速度v=0.998c向山下运动。在下述两参考系中估计在山脚 下能否测到4子?(1)在地面参考系中观测;(2)在4子参考系中观测 答:在H子参考系中观测子飞过的距离l=r0=5.988×102m
（A）一切运动物体的速度都不能大于真空中的光速； （B）在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速率都相同； （C）在真空中，光的速度与光源的运动状态无关； （D）在真空中，光的速度与光的频率有关。 答： （D） 6-2. 两飞船 A 、 B 均沿静止参照系的 x 轴方向运动，速度分别为 1 v 和 2 v . 由飞船 A 向飞船 B 发射一束光，相对于飞船 A 的速度为 c ，则该光束 相对于飞船 B 的速度为多少？ 答： 光速 c 6-3. 在惯性系 S 和 S ，分别观测同一个空间曲面。如果在 S 系观测该 曲面是球面，在 S 系观测必定是椭球面。反过来，如果在 S 系观测是球面， 则在 S 系观测定是椭球面，这一结论是否正确？ 答：根据运动的相对性这个结论是正确的 6-4. 一列以速度 v 行驶的火车，其中点 C 与站台中点 C 对准时，从站 台首尾两端同时发出闪光。从看来，这两次闪光是否同时？何处在先？ 答：根据 ( ) 2 x c u t = t − 由于 =t 0 x 0 所以 t 0 即对 C 点的观测者来说两次闪光不同时发生，尾部在 先。 6-5. 一高速列车穿过一山底隧道，列车和隧道静止时有相同的长度 0 l ， 山顶上有人看到当列车完全进入隧道中时，在隧道的进口和出口处同时发生 了雷击，但并未击中列车。试按相对论理论定性分析列车上的旅客应观察到 什么现现象？这现象是如何发生的？ 答：对于地面的观察者雷击是在不同地方同时发生的，但是对于列车上 的旅客来说这两个事件不是同时发生的，他应该看到两次雷击现象。 6-6. 假设在海拔 9000m 高山处产生的 子，静止时的平均寿命为 2 s 0 = ，以速度 v = 0.998c 向山下运动。在下述两参考系中估计在山脚 下能否测到 子？（1）在地面参考系中观测；（2）在 子参考系中观测。 答：在 子参考系中观测 子飞过的距离 l v m 2 = 0 = 5.98810
对于地面的观测者子飞过的距离l"= =946×103m 大于9000m,所以可以到达地面 6-7.在地球上测量来自太阳赤道上相对的两端辐射的H线,其中一条 线的波长为656m,且与另一条H线的波长相差9×103m.假定此 效应是由于太阳自转引起的,求太阳自转的周期(太阳的直径是 14×10°km) 答:此题可根据多普勒效应求解,具体解略。 6-8.设在S′系中有一粒子,原来静止于原点O’,在某一时刻粒子分裂 为相等的两半A和B,分别以速率沿x轴的正向和反向运动。设另一参 考系S以速率沿-x方向运动 (1)S系中测得B的速度多大? (2)S系中测得A和B的质量比()多大? 答:S系中测得B的速度为0 A相对于S系中的速度: u+u o(c2+ 2 +
对于地面的观测者 子飞过的距离 m c v l l 3 2 2 9.46 10 1 = − = l 大于 9000m ，所以可以到达地面。 6-7. 在地球上测量来自太阳赤道上相对的两端辐射的 Hα 线，其中一条 Hα 线的波长为 656nm ，且与另一条 Hα 线的波长相差 9 10 nm −3 . 假定此 效应是 由于太 阳自转 引起 的，求 太阳自 转的 周期（ 太阳的 直径是 1.4 10 km 6 ）。 答：此题可根据多普勒效应求解，具体解略。 6-8. 设在 S 系中有一粒子，原来静止于原点 O ，在某一时刻粒子分裂 为相等的两半 A 和 B ，分别以速率 u 沿 x 轴的正向和反向运动。设另一参 考系 S 以速率 u 沿 − x 方向运动。 （1） S 系中测得 B 的速度多大？ （2） S 系中测得 A 和 B 的质量比 ( ) B A m m 多大？ 答： S 系中测得 B 的速度为 0。 A 相对于 S 系中的速度： 2 2 2 2 2 2 1 c u uc c u u u v + = + + = 2 2 2 2 0 2 2 0 ( ) 1 c u m c u c v m mA − + = − = 2 2 2 2 c u c u m m B A − + =
