习题 8-1.沿一平面简谐波的波线上,有相距20m的两质点A与B,B点振动相 位比A点落后一,已知振动周期为20s,求波长和波速 解:根据题意,对于A、B两点,△O=02-9_64x=2m 而相位和波长之间又满足这样的关系:△q=2-91= 代入数据,可得:波长A=24m。又已知T=2s,所以波速u=A/I=12m/s 8-2.已知一平面波沿x轴正向传播,距坐标原点O为x1处P点的振动式为 y=Acos(ot+g),波速为l,求 (1)平面波的波动式; (2)若波沿x轴负向传播,波动式又如何? 解:(1)根据题意,距坐标原点O为x1处P点是坐标原点的振动状态传过来 的,其0点振动状态传到p点需用Mt=—,也就是说t时刻p处质点的振动 状态重复t--时刻0处质点的振动状态。换而言之,0处质点的振动状态相当 于1+时刻p处质点的振动状态,则0点的振动方程为: y=AcosO(t+-)+P y=Acos(o(t+1-)+o]= A cos(o(t-21)+]
习题 8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距 2.0m 的两质点 A 与 B ，B 点振动相 位比 A 点落后 6 ，已知振动周期为 2.0s ，求波长和波速。 解：根据题意，对于 A、B 两点， x 2m 6 = 2 − 1 = ， = 而相位和波长之间又满足这样的关系： 2 2 2 1 2 1 x x x = − − = − = − 代入数据，可得：波长λ=24m。又已知 T=2s，所以波速 u=λ/T=12m/s 8-2． 已知一平面波沿 x 轴正向传播，距坐标原点 O 为 1 x 处 P 点的振动式为 y = Acos(t +) ，波速为 u ，求: （1）平面波的波动式； （2）若波沿 x 轴负向传播，波动式又如何? 解：（1）根据题意，距坐标原点 O 为 1 x 处 P 点是坐标原点的振动状态传过来 的，其 O 点振动状态传到 p 点需用 u x t 1 = ，也就是说 t 时刻 p 处质点的振动 状态重复 u x t − 时刻 O 处质点的振动状态。换而言之，O 处质点的振动状态相当 于 u x t 1 + 时 刻 p 处 质 点 的 振 动 状 态 ， 则 O 点 的 振 动 方 程 为 ： cos[ ] 1 = （ + ）+ u x y A t 波 动 方 程 为 ： 1 1 cos[ ] cos[ ( ) ] x x x x y A t A t u u u − = + − + = − + （ ）
(2)若波沿x轴负向传播,0处质点的振动状态相当于1-时刻p处质点的 振动状态,则0点的振动方程为:y= Acos[@(t-)+g =Aosa1-X-x)+以]= Acos o(-xx)+以 8-3.一平面简谐波在空间传播,如图所示,已知 A点的振动规律为y=Acos(2rw+),试写出: (1)该平面简谐波的表达式 (2)B点的振动表达式(B点位于A点右方d 处) 解:(1)仿照上题的思路,根据题意,A点的振动规律为y=Acos(2m+q), 它的振动是O点传过来的,所以O点的振动方程为:y=Acos[2v(t+-)+] 那么该平面简谐波的表达式为:y=Acos[2nv(t+-+-)+q] (2)B点的振动表达式可直接将坐标x=d-1,代入波动方程 l d-l y=Acos[2rv(t+-+-)+g]=Acos[2rv(t+-)+q 也可以根据B点的振动经过一时间传给A点的思路来做。 8-4.已知一沿x正方向传播的平面余弦波,S时的波形如图所示,且周 期T为2s (1)写出O点的振动表达式; 10 (2)写出该波的波动表达式;
（2）若波沿 x 轴负向传播， O 处质点的振动状态相当于 u x t 1 − 时刻 p 处质点的 振动状态，则 O 点的振动方程为： cos[ ] 1 = （ − ）+ u x y A t 波 动 方 程 为 ： 1 1 cos[ ] cos[ ( ) ] x x x x y A t A t u u u + = − − + = − + （ ） 8-3. 一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知 A 点的振动规律为 y = Acos(2t +) ，试写出： （1）该平面简谐波的表达式； （2） B 点的振动表达式（ B 点位于 A 点右方 d 处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意， A 点的振动规律为 y = Acos(2t +) ， 它的振动是O点传过来的，所以 O点的振动方程为： = cos[2 （ + ）+] u l y A t 那么该平面简谐波的表达式为： = cos[2 （ + + ）+] u x u l y A t （2）B 点的振动表达式可直接将坐标 x d l = − ，代入波动方程： cos[2 +] = cos[2 + +] − = （ + + ） （ ） u d A t u d l u l y A t 也可以根据 B 点的振动经过 u d 时间传给 A 点的思路来做。 8-4. 已知一沿 x 正方向传播的平面余弦波， s 3 1 t = 时的波形如图所示，且周 期 T 为 2s. （1）写出 O 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式；
(3)写出A点的振动表达式; (4)写出A点离O点的距离 解:由图可知A=0.1m,λ=0.4m,由题知T=2s,o=2/T=,而u=A/T=0.2m/s 波动方程为:y=0.lcos[π(t-x/0.2)+Φ。]m关键在于确定0点的初始相位 (1)由上式可知:0点的相位也可写成:中=πt+Φ。 由图形可知:t=-s时y=M2,v0,∴此时的中=-/2 将此条件代入,所以: 2=x3+90所以0=-2 6 A点的振动表达式y=0.1cos[rt-5/6]m (4)将A点的坐标代入波动方程,可得到A的振动方程,与(3)结果相同,所 以:y=0.1cos[π(tx/0.2)+/3]=0.1cos[mt-5/6] 可得到:x=30=023 一平面简谐波以速度u=0.8ms沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲 线如图所示。试写出 (1)原点的振动表达式 (2)波动表达式 (3)同一时刻相距lm的两点之间的位相差。 解:由图可知A=0.5cm,原点处的振动方程为:y=Acos(ot+φ)
（3）写出 A 点的振动表达式； （4）写出 A 点离 O 点的距离。 解：由图可知 A=0.1m，λ=0.4m，由题知 T= 2s，ω=2π/T=π，而 u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定 O 点的初始相位。 （1） 由上式可知：O 点的相位也可写成：φ=πt+Ф0 由图形可知： s 3 1 t = 时 y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3， 将此条件代入，所以： 0 3 1 3 2 = + 所以 3 0 = O 点的振动表达式 y=0.1cos［πt+π/3］m （2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m （3） A 点的振动表达式确定方法与 O 点相似由上式可知： A 点的相位也可写成：φ=πt+ФA0 由图形可知： s 3 1 t = 时 y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2， 将此条件代入，所以： 0 3 1 2 A − = + 所以 6 5 0 A = − A 点的振动表达式 y=0.1cos［πt-5π/6］m （4）将 A 点的坐标代入波动方程，可得到 A 的振动方程，与（3）结果相同，所 以： y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］ 可得到： xA 0.233m 30 7 = = 8-5. 一平面简谐波以速度 u = 0.8m/s 沿 x 轴负方向传播。已知原点的振动曲 线如图所示。试写出： （1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距 1m 的两点之间的位相差。 解：由图可知 A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos（ωｔ＋φ）
t=0s时y=A/2w0可知其相位为中=-z t=1s时y=0v<0可知其相位为中2= 代入振动方程, 可得:=-T=2/=12/5 63 2)沿x轴负方向传播,波动表达式 y=05s0g(+)305sg+31cm (3)根据已知的T=12/5,l=08ms,可知:2= 那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差:△q=2丌 Ax 25 =3.27rad 8-6.一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进,波的平均强度为 90×103J(sm),频率为300H,波速为300ms。问波中的平均能量密度和 最大能量密度各是多少?每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量 解:(1)∵I=Wu 9.0×10/300=3×103J·m Wn=2=0.6×104J·m3 (2)==1m2=i1ml2 3×105×1/4×(0.14)2×300/300=4.62×107J 8-7.一弹性波在媒质中传播的速度u=103ms,振幅A=1.0×10-m,频
t=0s 时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ1= 3 − t=1s 时 y=0 v<0 可知其相位为φ2= 2 代入振动方程， φ= 3 − ω＋φ= 2 可得：ω= 6 5 T=2π/ω=12/5 则 y=0.5cos（ 6 5 ｔ- 3 ）cm （ 2 ） 沿 x 轴 负 方 向 传 播 ， 波 动 表 达 式 ： 5 5 5 y=0.5cos[ (t+ )- ]=0.5cos[ (t+ )- ]a 6 3 6 4 3 x x u cm （3）根据已知的 T=12/5，u = 0.8m/s ，可知： m 25 48 = 那么同一时刻相距 1m 的两点之间的位相差： 3.27rad 24 25 2 = = = x 8-6. 一正弦形式空气波沿直径为 14cm 的圆柱形管行进，波的平均强度为 9.0 10 J/(s m) 3 − ，频率为 300Hz ，波速为 300m/s 。问波中的平均能量密度和 最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：(1)∵ I= w u ∴ u I w = =9.0×10-3／300=3×10-5 J·m -3 wmax=2 w =0.6×10-4 J·m -3 (2) W= u V w d w d 2 2 4 1 4 1 = = =3×10-5×1π/4×（0.14）２×300/300=4.62×10-7 J 8-7. 一弹性波在媒质中传播的速度 10 m/s 3 u = ，振幅 1.0 10 m −4 A = ，频
率v=103Hz。若该媒质的密度为800kg/m3,求: (1)该波的平均能流密度 (2)1分钟内垂直通过面积S=40×10+m2的总能量。 解:=2πγ=2π×10 244o21 ×103×800×(10-4)2(2×103)2 (1) 158×105J/(m2·s) (2)1分钟内垂直通过面积S=40×10+m2的总能量 W=St=1.58×105×4×10-4×60=3.79×103J 88.S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源,它们的间距为 d=5A/4,S2质点的振动比S1超前x/2.设S1的振动方程为 yo=Acos-1,且媒质无吸收, (1)写出S1与S2之间的合成波动方程; (2)分别写出S与S2左、右侧的合成波动方程 2 解:(1)y=Acos(ot+10-元 r) y2=Acos(af+2o 由题意:中2m-中10=设它们之间的这一点坐标为x,则 yi=Acos(ot+pro 2
率 10 Hz 3 = 。若该媒质的密度为 3 800kg/m ，求： （1）该波的平均能流密度； （2）1 分钟内垂直通过面积 4 2 4.0 10 m − S = 的总能量。 解：ω=2πγ=2π 3 10 （1） （ ） （ ）（ ） J m s I u A = • = = − 5 2 2 2 3 4 2 3 2 1.58 10 / 10 800 10 2 10 2 1 2 1 （2）1 分钟内垂直通过面积 4 2 4.0 10 m − S = 的总能量 W=ISt J 5 4 3 = 1.5810 410 60 = 3.7910 − 8-8. 1 S 与 2 S 为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为 d = 5 / 4 ， 2 S 质点的振动比 1 S 超 前 2 . 设 1 S 的振动方程为 t T y A 2 cos 10 = ，且媒质无吸收， （1）写出 1 S 与 2 S 之间的合成波动方程； （2）分别写出 1 S 与 2 S 左、右侧的合成波动方程。 解：（1） ) 2 cos( 1 10 1 y A t r = + − ) 2 cos( 2 20 2 y A t r = + − 由题意：φ20-φ10= 2 设它们之间的这一点坐标为 x，则 ) 2 cos( 1 10 y A t x = + −
y2=Acos[ot+o,+I 2T 5 A-x)]=Acos (ot+0,o+x) 2A4 相当于两列沿相反方向传播的波的叠加,合成为驻波 合成波为:y=y1+y2=2Acos X coS (2)在S1左侧的点距离S1为x:y=Acos(ot+q1o+-x) V2=Acos[of+102 a +x]=Acos(of+o+x) 合成波为:y=y+12=2Ac02n(x 2丌 在S2右侧的点距离S为x:y1=Acos(ot+qo y2=Acos[ot+0x24 (x-a]=Acos( ot+1o 两列波正好是完全反相的状态,所以合成之后为0。 8-9.设S与S2为两个相干波源,相距波长,S1比S2的位相超前。若 两波在在S、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化,问S1、S2连线上在S1 外侧各点的合成波的强度如何?又在S2外侧各点的强度如何? 解:由题意:中中2 在S左侧的点: S=r AS2-r2 92-0,-)-P2 1/4元 2丌 r2 所以A=A1-A2=0,I=0; 在S2左侧的点:AS1=r1,AS2=r2
y A t （ x） A （ t x） 2 ] cos 4 2 5 2 cos[ 2 = + 1 0 + − − = + 1 0 + 相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。 合成波为： t T y y y A x 2 cos 2 2 cos = 1 + 2 = （2） 在 S1 左侧的点距离 S1 为 x： ) 2 cos( 1 10 y A t x = + + y A t （ x） A （ t x） 2 ] cos 4 2 5 2 cos[ 2 = + 1 0 + + + = + 1 0 + 合成波为： （ ） x T t y = y1 + y2 = 2Acos 2 + 在 S2 右侧的点距离 S1 为 x： ) 2 cos( 1 10 y A t x = + − y A t （x ） A （ t x） 2 ] cos 4 2 5 2 cos[ 2 = + 1 0 + − − = + 1 0 − 两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为 0。 8-9. 设 1 S 与 2 S 为两个相干波源，相距 4 1 波长， 1 S 比 2 S 的位相超前 2 。若 两波在在 1 S 、 2 S 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问 1 S 、 2 S 连线上在 1 S 外侧各点的合成波的强度如何？又在 2 S 外侧各点的强度如何？ 解：由题意：φ1-φ2= 2 ， r1 在 S1 左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， A S1 S2 ∆φ= = − − = − − − − 1/ 4 2 2 2 2 1 2 1 r r r2 r2 所以 A=A1-A2=0，I=0； S1 S2 A 在 S2 左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， r1
△中=2--2 z-2丌 1/4元 0 所以A=A1+A2=2A,I=4I0: 8-10.测定气体中声速的孔脱( Kundt)法如下:一细棒的中部夹住,一端有 盘D伸入玻璃管,如图所示。管中撒有软木屑,管的另一端有活塞P,使棒纵向 振动,移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率ν 量度相邻波节间的平均距离d,可求得管内气体中的声速。试证:u=2ud。 证明:根据驻波的定义,相邻两波节(腹)间距:4x2 再根据已知条件 量度相邻波节间的平均距离d,所以:d=2 2那么:1=2a 所以波速=Av=2ud 8-11.图中所示为声音干涉仪,用以演示声波的干涉。S为 源,D为声音探测器,如耳或话筒。路径SBD的长度可以 变化,但路径SAD是固定的。干涉仪内有空气,且知声音强 度在B的第一位置时为极小值100单位,而渐增至B距第一位 置为1.65cm的第二位置时,有极大值900单位。求 (1)声源发出的声波频率 (2)抵达探测器的两波的振幅之比。 解:根据驻波的定义,相邻两波节(腹)间距:Ax=
∆φ= 0 1/ 4 2 2 2 2 1 2 1 = − = − − − − − r r 所以 A=A1+A2=2A，I=4I0； 8-10. 测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有 盘 D 伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞 P ，使棒纵向 振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率 ， 量度相邻波节间的平均距离 d ，可求得管内气体中的声速 u 。试证： u = 2d 。 证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距： 2 x = ，再根据已知条件： 量度相邻波节间的平均距离 d ，所以： 2 d = 那么： = 2d 所以波速 u = = 2d 8-11. 图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。 S 为 声源， D 为声音探测器，如耳或话筒。路径 SBD 的长度可以 变化，但路径 SAD 是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强 度在 B 的第一位置时为极小值 100 单位，而渐增至 B 距第一位 置为 1.65cm 的第二位置时，有极大值 900 单位。求： （1）声源发出的声波频率； （2）抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距： 2 x =
相邻波节与波腹的间距:4rs2 可得:A=4△x=66c 声音的速度在空气中约为340m/s,所以:v 340 =5151(h) 66×10-2 根据强度是振幅的平方的关系:声音强度在B的第一位置时为极小值100单位, 在第二位置有极大值900单位,所以振幅的相对大小为10与30单位。极小值的 原因是两个振幅相减(A1-A2=10),极大值的原因是两个振幅相加(A1+A2=30) 那么A1:A2=2:1。 8-12.绳索上的波以波速ν=25ms传播,若绳的两端固定,相距2m,在绳 上形成驻波,且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为0.lm,t=0时绳上各 点均经过平衡位置。试写出: (1)驻波的表示式; (2)形成该驻波的两列反向进行的行波表示式 解:根据驻波的定义,相邻两波节(腹)间距:4x2 2,如果绳的两端固定,那 么两个端点上都是波节,根据题意除端点外其间还有3个波节,可见两端点之间 有四个半波长的距离,Ax=4×=2,所以波长2=1m,=25m 所以O=2=50丌(h)。又已知驻波振幅为0.lm,t=0时绳上各点均经 过平衡位置,说明它们的初始相位为,关于时间部分的余旋函数应为 丌 cos(50rt +- 所以驻波方程为:y=0.1cos2 7X cos(5071+5)
相邻波节与波腹的间距： 4 x = 可得： = 4x = 6.6cm 声音的速度在空气中约为 340m/s，所以： （hz）。 u 5151 6.6 10 340 2 = = = − 根据强度是振幅的平方的关系：声音强度在 B 的第一位置时为极小值 100 单位， 在第二位置有极大值 900 单位，所以振幅的相对大小为 10 与 30 单位。极小值的 原因是两个振幅相减（A1-A2=10 ），极大值的原因是两个振幅相加（A1+A2=30 ）。 那么 A1：A2=2：1 。 8-12. 绳索上的波以波速 v = 25m/s 传播，若绳的两端固定，相距 2m ，在绳 上形成驻波，且除端点外其间有 3 个波节。设驻波振幅为 0.1m，t = 0 时绳上各 点均经过平衡位置。试写出： （1）驻波的表示式； （2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距： 2 x = ，如果绳的两端固定，那 么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有 3 个波节，可见两端点之间 有四个半波长的距离， 2 2 = 4 = x ，所以波长 =1m，v = 25m/s ， 所以 （hz）。 u = 2 = 50 又已知驻波振幅为 0.1m， t = 0 时绳上各点均经 过平衡位置，说明它们的初始相位为 ， 2 关于时间部分的余旋函数应为 （ ） 2 cos 50 t + 。 所以驻波方程为： 0.1cos 2 cos 50 2 y x t = + （ ）
2x (2)由合成波的形式为:y=y+y2=2Acos=,cos2w 可推出合成该驻波的两列波的波动方程为: y=0.05c0s(50m-2mx) y2=0.05c0s(50m+2mx-n) 8-13.弦线上的驻波波动方程为:y=Acos(x+)coso!.设弦线的质 量线密度为p (1)分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置。 (2)分别计算0→一半个波段内的振动势能、动能和总能量 解:(1)振动势能和动能总是为零的各点位置是,兀)=0的地方。 即.2z x+2=(2k±1) 可得:x=A(k,±1,±2,±3… (2)振动势能写成: dw, =k(dy)=pdvA@ coS 0→>一半个波段内的振动势能 k(dy) dxA o cos x cos ot PA O cOS at
（2）由合成波的形式为： t x y y y A cos 2 2 2 cos = 1 + 2 = 可推出合成该驻波的两列波的波动方程为： y1 = 0.05cos（50t − 2x） y2 = 0.05cos（50t + 2x −） 8-13. 弦线上的驻波波动方程为： y A x t ) cos 2 2 = cos( + . 设弦线的质 量线密度为 . （1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置。 （2）分别计算 2 0 → 半个波段内的振动势能、动能和总能量。 解：（1）振动势能和动能总是为零的各点位置是 0 2 2 cos( + ）= x 的地方。 即： 2 2 1 2 2 x + =（ k ） 可得： 2 k x = （k=0， 1， 2，3 ） （2）振动势能写成： dW k dy dVA x t p 2 2 2 2 2 cos 2 2 cos 2 1 ( ) 2 1 = = （ + ） 2 0 → 半个波段内的振动势能： A t W k dy dxA x t p 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 cos 8 cos 2 2 cos 2 1 ( ) 2 1 = = = + （ ）
dW=om2=川m2丌+)smm 2 12 0→二半个波段内的振动动能 W (dmv)=12pdxao'sin( In ot DAo2 sin 2 ot 所以动能和势能之和为 W=W,+W,=2P402 8-14.试计算:一波源振动的频率为2040HL,以速度v 向墙壁接近(如图所示),观察者在A点听得拍音的频率为OO Av=3H,求波源移动的速度v,设声速为340ms。 解:根据观察者不动,波源运动,即:ls≠0,ug=0,观察者认为接受到的 波数变了:V 其中u=340,V=2043,v=2040分别代入,可得
sin ( ) 2 2 cos 2 1 2 1 2 2 2 2 2 u x dW dmv dVA x t k = = + − （ ） 2 0 → 半个波段内的振动动能： A t W dmv dxA x t K 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 sin 8 sin 2 2 sin 2 1 ( 2 1 = = = + ） （ ） 所以动能和势能之和为： 2 2 8 W W W A k p = + = 8-14. 试计算：一波源振动的频率为 2040Hz ，以速度 s v 向墙壁接近（如图所示），观察者在 A 点听得拍音的频率为 = 3Hz ，求波源移动的速度 s v ，设声速为 340m/s 。 解：根据观察者不动，波源运动，即： uS 0,uR = 0 ，观察者认为接受到的 波数变了： 0 u uS u − = 其中 u=340， = 2043， 0 = 2040。 分别代入，可得：