171 习题 14-1.如图所示的弓形线框中通有电流I,求圆心O处的磁感应强度B 解:圆弧在O点的磁感应强度B1 4πR6R 方向垂直纸面向外 直导线在O点的磁感应强度B2= sm609-sm(-609)=√341 4TR cos 60 方向垂直纸面向里 总场强B=1 方向垂直纸面向里 142.两根长直导线沿半径方向引到铁环上A、B两点,并与很远处的 电源相连,如图所示求环中心O点的磁感应强度B 解:设两段圆弧电流对O的磁感应强度大小分别为B1 B2,导线长度分别为L1和L2,横截面积为S,电阻 率为p,电流I1和I2的关系 I、R 即I1L1=12L B=[d= 9:n L 由于两段圆弧电流对O的磁感应强度方向相反,所以B=0 14-3.无限长细导线弯成如图所示的形状,其中C部分是在xoy平面内 半径为R的半圆,试求通以电流l时O点的磁感应强度。 解:a段B1=H b段B2=0
171 习题 14-1. 如图所示的弓形线框中通有电流 I ，求圆心 O 处的磁感应强度 B . 解：圆弧在 O 点的磁感应强度 6R I 4 R I B 0 0 1 μ π μ θ = = 方向垂直纸面向外 直导线在 O 点的磁感应强度 2 R 3 I [sin 60 sin( 60 )] 4 R cos60 I B 0 0 0 0 0 2 π μ π μ = − − = 方向垂直纸面向里 总场强 ) 3 3 1 ( 2R I B 0 = − π μ 方向垂直纸面向里 14-2. 两根长直导线沿半径方向引到铁环上 A 、 B 两点，并与很远处的 电源相连，如图所示.求环中心 O 点的磁感应强度 B . 解：设两段圆弧电流对 O 的磁感应强度大小分别为 B1、 B2 ，导线长度分别为 L1 和 L2 ，横截面积为 S ，电阻 率为 ρ ，电流 1 I 和 2 I 的关系 1 2 1 2 1 2 2 1 L L S L S L R R I I = = = ρ ρ 即 1 1 2L2 I L = I r I L r 4 dl 4 I B 0 1 1 L 2 0 1 1 1 = = π μ π μ r I L r 4 dl 4 I B 0 2 2 L 2 0 2 2 2 = = π μ π μ 由于两段圆弧电流对 O 的磁感应强度方向相反，所以 B = 0 14-3. 无限长细导线弯成如图所示的形状，其中 c 部分是在 xoy 平面内 半径为 R 的半圆，试求通以电流 I 时 o 点的磁感应强度。 解： a 段 4 R I B 0 1 π μ = b 段 B2 = 0
c段P_Anl 4R O点的总场强B1:k 方向如图 4丌R4R 14-4.无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔(如图所示),空腔与导体的两 轴线平行,间距为a,若导体内的电流密度均匀为j,j的方向平行于轴线· 求腔内任意点的磁感应强度B。 解:采用补偿法,以导体的轴线为圆心,过空腔中任一点作闭合回路 fB,…dL=kir2B1=" 同理还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路 B,dL=Wo iz(a-r) B, -HoJa-r B=B+B2=方j×a 14-5在半径R=lcm的无限长半圆柱形金属片中,有电流 =5A自下而上通过,如图所示。试求圆柱轴线上一点P处的磁 感应强度的大小 解:将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl=RdO的长直电流 dI 在P点处的磁感应强度dB=Aod 2TR 2TR db =dBsin 0= Hl- sin ede 22R B,=dB Hol sinede 6.37×10-5T 022R 丌2R 14-6.如图所示的空心柱形导体,柱的半径分别为a和b,导体内载有 电流Ⅰ,设电流Ⅰ均匀分布在导体横截面上。证明导体内部各点(a<r<b) 的磁感应强度B由下式给出: B 试以a=0的极限情形来检验这个公式,P≥b时又如何? 解:可根据安培环路定理 b
172 c 段 4R I B 0 3 μ = O 点的总场强 0 0 4 4 I I B R R = − j + k 方向如图 14-4. 无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两 轴线平行，间距为 a ，若导体内的电流密度均匀为 j ，j 的方向平行于轴线。 求腔内任意点的磁感应强度 B 。 解：采用补偿法，以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路 2 0 • d = μ jπr B1 L 2 jr B 0 1 μ = 同理还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路 2 0 •d = j (a −r) B2 L μ π 2 j(a r) B 0 2 − = μ 1 2 0 1 2 B B B = + = j a 14-5.在半径 R =1cm 的无限长半圆柱形金属片中，有电流 I = 5A 自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点 P 处的磁 感应强度的大小。 解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为 dl = Rdθ 的长直电流 π θ π d R dl dI = = 在 P 点处的磁感应强度 2 R Id 2 R dI dB 2 0 0 π μ θ π μ = = θ θ π μ θ sin d 2 R I dB dBsin 2 0 x = = 0 0 5 2 2 0 sin 6.37 10 T 2 x x I I B dB d R R − = = = = 14-6. 如图所示的空心柱形导体，柱的半径分别为 a 和 b ，导体内载有 电流 I ，设电流 I 均匀分布在导体横截面上。证明导体内部各点（ a < r < b ） 的磁感应强度 B 由下式给出： r r a b a I B 2 2 2 2 0 2 ( ) − − = 试以 a = 0 的极限情形来检验这个公式， r b 时又如何？ 解：可根据安培环路定理 ( ) ( ) 2 2 2 2 r a b a I I − − =
173 o 2(b2-a2) =0 B=如b 实心圆柱载流导线内部的磁感应强度 2Tb ≥b B 相当于带电直导线 147.一橡皮传输带以速度ν匀速向右运动,如图所示,橡皮带上均匀带有电荷,电荷 面密度为σ (1)求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度B的大 .::::z (2)证明对非相对论情形,运动电荷的速度v及它所产生的磁 场B和电场E之间满足下述关系:B=v×E(式中c 解:(1)垂直于电荷运动方向作一个闭合回路 abcda,根据安培环路定理有 BL=B·+BaL+JB·+「B·=AL 其中i=av B o (2)匀速运动的点电荷产生的磁场和电场分别为 B- ogv( 4zr2(1 y2sin2为 E=4兀60(1 ×E|= Esin e 4 uov(l-)sin B B )x 所以 B=-v×E
173 r r a b a I B 2 2 2 2 0 2 ( ) − − = a = 0 2 0 2 b Ir B = 实心圆柱载流导线内部的磁感应强度 r b r I B 2 0 = 相当于带电直导线 14-7. 一橡皮传输带以速度 v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷 面密度为 。 （1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度 B 的大 小； （2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度 v 及它所产生的磁 场 B 和电场 E 之间满足下述关系： B = v E 2 1 c （式中 0 0 1 c = ） 解：（1）垂直于电荷运动方向作一个闭合回路 abcda,根据安培环路定理有 d d d d d Li = 0 • = • + • + • + • abcd a b b c cd d a B L B L B L B L B L 其中 i = v 2 0 v B = （2）匀速运动的点电荷产生的磁场和电场分别为 2 3 2 2 2 2 2 2 0 ) sin 4 (1 (1 )sin c v r c v qv B − − = 3 2 3 2 2 2 2 2 0 ) sin (1 1 4 r c v c v q r E − − = sin 1 ) sin (1 1 4 1 sin 2 2 3 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 − − = = r c v c v q v c v E c v E B c v r c v qv = − − = 2 3 2 2 2 2 2 2 0 ) sin 4 (1 (1 )sin 所以 B = v E 2 1 c
174 148.一均匀带电长直圆柱体,电荷体密度为p, 半径为R。若圆柱绕其轴线匀速旋转,角速度为O,求: (1)圆柱体内距轴线r处的磁感应强度的大小 (2)两端面中心的磁感应强度的大小 解:(1)过r点作一个闭合回路,此回路的电流 =」 operas1 根据安培环路定理「B B=22(R2-r2) (2)带电长直圆柱体旋转相当于螺线管,端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半, 所以端面的磁感应强度B=6R2 14-9.如图所示,两无限长平行放置的柱形导体内通过等值 反向电流Ⅰ,电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为S,两圆 柱轴线间的距离OO2=d.试求两导体中部真空部分的磁感应 强度 解:利用补偿法,在真空部分任取一点,真空部分在那一点产生 的磁感应强度为B,其中一个阴影在那一点产生的磁场为B1,另一个为B2 B1 2Tr Bo (d-r) 2(ad-r)-(-B) B Wold 4-10.无限长直线电流l1与直线电流/2共面,几何位置如图所示试 求直线电流l2受到电流l1磁场的作用力 解:在直线电流l2上任意取一个小电流元l2d,此电流元到长直线 的距离为x,无限长直线电流l1在小电流元处产生的磁感应强度
174 14-8. 一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为 ， 半径为 R 。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为 ，求： （1）圆柱体内距轴线 r 处的磁感应强度的大小； （2）两端面中心的磁感应强度的大小。 解：（1）过 r 点作一个闭合回路，此回路的电流 ( ) 2 1 2 2 I lrdr l R r R r = = − 根据安培环路定理 d I = 0 • B L ( ) 2 0 2 2 B = R − r （2）带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强度的一半， 所以端面的磁感应强度 2 0 4 R B = 14-9. 如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、 反向电流 I ，电流在两个阴影所示的横截面的面积皆为 S ，两圆 柱轴线间的距离 O1O2 = d .试求两导体中部真空部分的磁感应 强度. 解：利用补偿法，在真空部分任取一点，真空部分在那一点产生 的磁感应强度为 B0 ，其中一个阴影在那一点产生的磁场为 B1 ，另一个为 B2 0 2 0 1 2 B πr πr S I μ B = − ( ) 2 ( ) ( ) 0 2 0 2 B π d r π d r S I μ B − − − − = S μ Id B B B 2 0 = 1 + 2 = 14-10. 无限长直线电流 1 I 与直线电流 2 I 共面，几何位置如图所示.试 求直线电流 2 I 受到电流 1 I 磁场的作用力. 解：在直线电流 2 I 上任意取一个小电流元 I dl 2 ，此电流元到长直线 的距离为 x ，无限长直线电流 1 I 在小电流元处产生的磁感应强度 x I B 2 0 1 =
dE d l 012 2 2Ax F 0s60 14-11.在电视显象管的电子束中,电子能量为12000eV,这个显像管的取向使电子沿 水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下,大小为B=55×10-5T,问:(1) 电子束将偏向什么方向?(2)电子的加速度是多少?(3)电子束在显象管内在南北方向上 通过20cm时将偏转多远? 解:(1)根据∫=qνxB可判断出电子束将偏向东 (2)E=-mv 2E/ B gvB 6.28×10 (3)y=5ar2=a(2)2=3mm 14-12.一半径为R的无限长半圆柱面导体,载有与轴线上的长直导线的电 流Ⅰ等值反向的电流如图1452所示。试求轴线上长直导线单位长度所受 磁力 解:IF=l×B而B 0l1 2TR Blade 012 dl df,=dF cose F,=]o 22 cos ORd8=0 F=「 1l2 022R ZR 1=l2 所以F 14-13.截面积为S、密度为p的铜导线被弯成正方形的三边,可以绕 水平轴OO转动,如图1453所示。导线放在方向竖直向上的匀强 磁场中,当导线中的电流为时,导线离开原来的竖直位置偏转一个O 角度θ而平衡。求磁感应强度
175 0 0 1 2 0 1 2 2 2 cos60 dx x I I dl x I I dF = = a dx I I b x I I F b a ln 2 cos60 0 1 2 0 0 1 2 = = 14-11. 在电视显象管的电子束中，电子能量为 12000eV ，这个显像管的取向使电子沿 水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为 5 B 5.5 10 T− = ，问：（1） 电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上 通过 20cm 时将偏转多远？ 解：（1）根据 f = qv B 可判断出电子束将偏向东 （2） 2 2 1 E = mv m v = 2E f = qvB = ma 14 1 2 6.28 10 − = = = m s m E m qB m qvB a （3） 1 1 2 2 ( ) 3 2 2 L y at a mm v = = = 14-12.一半径为 R 的无限长半圆柱面导体,载有与轴线上的长直导线的电 流 I 等值反向的电流,如图 14-52 所示。试求轴线上长直导线单位长度所受的 磁力。 解： dF = Idl B 而 R I B 2 0 1 = 故 dl R I I dF BI dl 2 2 0 1 2 2 2 = = dFx = dF cos cos 0 2 0 2 2 0 1 2 = = Rd R I I Fx dFy = dF sin R I I Rd R I I Fy 2 0 1 2 0 2 2 0 1 2 sin 2 = = 1 2 I = I 所以 R I Fy 2 2 0 = 14-13.截面积为 S 、密度为 的铜导线被弯成正方形的三边，可以绕 水平轴 OO 转动，如图 14-53 所示。导线放在方向竖直向上的匀强 磁场中，当导线中的电流为 I 时，导线离开原来的竖直位置偏转一个 角度 而平衡。求磁感应强度
解:设正方形的边长为a,质量为m,m=paS。平衡时重力矩等于磁力矩 M=pnm×B磁力矩的大小M=Bla2sn(900-O)=Ba2cosO 重力矩为M= mgasin0+2ng20=2 mgasin 6 平衡时2 gasing=Blar2cos6 2mg B psg an e l 14-14.有一个U形导线,质量为m,两端浸没在水银槽中,导线水平部 分的长度为l,处在磁感应强度大小为B的均匀磁场中,如图1454所x 时间与导线上开时间相比可忽略试导线起所达到的高度方计算电: 流脉冲的电荷量q。 解:跳起来达到最大高度这个过程机械能守恒 =mghp=√2gh 接通电流时有BM=mh d q dt Bldq=l mdv q 8/ B v2gh mv m 14-15半径为R的半圆形闭合线圈,载有电流I,放在均匀磁场中,磁场方向与线圈平面平 行,如图1455所示。求 (1)线圈所受力矩的大小和方向(以直径为转轴) (2)若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置,则力矩做功为多少? 解:(1)Pm=SH P M=mbx1nR2B方向为垂直于B的方向向上 (2)W=1p=1(B·mR2-0)=IBmR2 思考题 14-1.在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L1、L2,圆周内有电流l1、l2 其分布相同,且均在真空中,但在(b)图中L2回路外有电流/3,B、P2为两圆形回路 上的对应点 (Af-/=B dl, B, =B, :(B)B d/+fB. dI,B,=Bp (C)Bd=5Bd,B1=B:(D)于Bd≠5Bd,Bn≠B2
176 解：设正方形的边长为 a ，质量为 m ， m = aS 。平衡时重力矩等于磁力矩 M = pm B 磁力矩的大小 sin(90 ) cos 2 0 2 M = BIa − = BIa 重力矩为 sin 2 sin 2 sin 2 mga a M = mga + mg = 平衡时 2 2 sin cos mga BIa = tan 2 tan 2 I Sg Ia mg B = = 14-14.有一个 U 形导线，质量为 m ，两端浸没在水银槽中，导线水平部 分的长度为 l ，处在磁感应强度大小为 B 的均匀磁场中，如图 14-54 所 示。当接通电源时， U 导线就会从水银槽中跳起来。假定电流脉冲的 时间与导线上升时间相比可忽略。试由导线跳起所达到的高度 h 计算电 流脉冲的电荷量 q 。 解：跳起来达到最大高度这个过程机械能守恒 mv = mgh 2 2 1 v = 2gh 接通电流时有 dt dv BIl = m 而 dt dq I = = q v Bldq mdv 0 0 gh Bl m Bl mv q = = 2 14-15.半径为 R 的半圆形闭合线圈，载有电流 I ，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平 行，如图 14-55 所示。求 （1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）； （2）若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置 ，则力矩做功为多少？ 解：（1） pm = ISn M = pm B M pm B R IB2 2 1 2 sin = = 方向为垂直于 B 的方向向上 （2） 2 2 2 1 0) 2 1 W = I = I(B R − = IBR 思考题 14-1．在图（ a ）和（ b ）中各有一半径相同的圆形回路 L1、L2 ，圆周内有电流 1 I 、 2 I ， 其分布相同，且均在真空中，但在（ b ）图中 L2 回路外有电流 3 I ， P1 、 P2 为两圆形回路 上的对应点，则： 1 2 1 2 ( ) d d , P P L L A B l = B l B = B ； 1 2 1 2 ( ) d d , P P L L B B l B l B = B ； 1 2 1 2 ( ) d d , P P L L C B l = B l B B ； 1 2 1 2 ( ) d d , P P L L D B l B l B B
9)(9)9 答:B的环流只与回路中所包围的电流有关,与外面的电流无关,但是回路上的磁感应强 度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以C对 14-2.哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关 系?(x坐标轴垂直于圆线圈平面,原点在圆线圈中心O) 电流 (a) 答:载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度B=—尔小 x=0 B=ol xar B 2R 根据上述两式可判断C图对 14-3.取一闭合积分回路L,使三根载流导线穿过它所围成的面.现改变三根导线之间 的相互间隔,但不越出积分回路,则: (A回路L内的∑/不变,L上各点的B不变 (B回路L内的∑不变,L上各点的B改变 (C回路L内的∑/改变,L上各点的B不变 (D)回路L内的∑/改变,L上各点的B改变 答:B对 14-4.一载有电流的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线 管(R=2r,两螺线管单位长度上的匝数相等.两螺线管中的磁感应强度大小B和B,应 满足 (A)BR=2B :(B)B=B:(C)2B =B :(D)B =4B
177 答： B 的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强 度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以 C 对。 14-2． 哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的 B 随 x 的变化关 系？（ x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心 O ） 答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度 2 3 2 2 2 0 2(R x ) IR B + = x = 0 R I B 2 0 = x R 3 2 0 2x IR B 根据上述两式可判断 C 图对 14-3. 取一闭合积分回路 L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间 的相互间隔，但不越出积分回路，则： (A)回路 L 内的 I 不变， L 上各点的 B 不变； (B)回路 L 内的 I 不变， L 上各点的 B 改变； (C)回路 L 内的 I 改变， L 上各点的 B 不变； (D)回路 L 内的 I 改变， L 上各点的 B 改变. 答：B 对 14-4. 一载有电流 I 的细导线分别均匀密绕在半径为 R 和 r 的长直圆筒上形成两个螺线 管 ( R = 2r )，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小 BR 和 Br 应 满足： A BR 2Br ( ) = ； B BR = Br ( ) ； C 2BR = Br ( ) ； D BR 4Br ( ) =
178 答:对于长直螺线管B=μn,由于两螺线管单位长度上的匝数相等,所以两螺线管磁 感应强度相等 14-5.均匀磁场的磁感应强度B垂直于半径为r的圆面。今以该圆周为边线,作一半球 面S,则通过S面的磁通量的大小为多 答:p=Br 14-6.如图,匀强磁场中有一矩形通电线圈,它的平面与磁场 平行,在磁场作用下,线圈向什么方向转动? 答:ab受力方向垂直纸面向里,cd受力外,在力偶矩的作用下,方 ab垂直纸面向里运动,cd垂直纸面向外运动,从上往下看,顺时 针旋转。 14-7.一均匀磁场,其磁感应强度方向垂直于纸面,两带电粒子在 磁场中的运动轨迹如图所示,则 (A)两粒子的电荷必然同号 (B)粒子的电荷可以同号也可以异号: (C)两粒子的动量大小必然不同: (D)两粒子的运动周期必然不同 答:应该选B
178 答：对于长直螺线管 B nI = 0 ，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁 感应强度相等。 14-5. 均匀磁场的磁感应强度 B 垂直于半径为 r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球 面 S ，则通过 S 面的磁通量的大小为多少？ 答： 2 = B r 14-6. 如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场 平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？ 答： ab 受力方向垂直纸面向里， cd 受力外，在力偶矩的作 用下， ab 垂直纸面向里运动， cd 垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时 针旋转。 14-7. 一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在 磁场中的运动轨迹如图所示，则 (A) 两粒子的电荷必然同号； (B) 粒子的电荷可以同号也可以异号； (C) 两粒子的动量大小必然不同； (D) 两粒子的运动周期必然不同. 答： 应该选 B