习题 9-1.在容积V=3L的容器中盛有理想气体,气体密度为p=1.38L。容器与大 气相通排出一部分气体后,气压下降了078atm。若温度不变,求排出气体的质量。 解:根据题意p=tRT,可得:p=Rr,1 RT=p==P 所以当温度不变时,气体的压强和密度成正比,初始密度为1.3g/L,后来的密度 P 则排除的气体的质量为: △m=(-)=(B-1/≈0.78x13×3 pl P 大气压为1atm,容器与大气相通即p2=1atm,也就是p1=1+0.78=1.78atm 0.78 △m= 178 g 92有一截面均匀的封闭圆筒,中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中 的一边装有0.1kg某一温度的氢气,为了使活塞停留在圆筒的正中央,则另一边 装入的同一温度的氧气质量为多少? 解:根据题意,温度相同的两个气体,活塞停留在圆筒的正中央,则两边的体积 和压强相同,又 pV=vRT 所以两个气体摩尔数相同, 可得:m=m2,代入数据:01=m2,所以: m2=1.6kg 93如图所示,两容器的体积相同,装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁 光滑的水平细玻璃管相通,管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中 间,并维持氧气温度比氮气温度高30°C,则氮气的温度应是多少? 解:根据题意,水银滴停留在管的正中央,则两边的体积和压强相同,又:
习题 9-1. 在容积 V=3L 的容器中盛有理想气体，气体密度为 =1.3g/L。容器与大 气相通排出一部分气体后，气压下降了 0.78atm。若温度不变，求排出气体的质量。 解：根据题意 pV =RT ，可得： RT M m pV = ， p m V RT p M = = 1 所以当温度不变时，气体的压强和密度成正比，初始密度为 1.3g/L，后来的密度 为： 1 1 2 2 p p = 则排除的气体的质量为： 1.3 3 0.78 ( ) ( 1) 1 1 1 2 = 2 − 1 = − = P V p p m V 大气压为 1atm，容器与大气相通即 2 p =1atm，也就是 1 p =1+0.78=1.78atm 0.78 1.3 3 1.7 1.78 = = m g 9-2.有一截面均匀的封闭圆筒，中间被一光滑的活塞分割成两边。如果其中 的一边装有 0.1kg 某一温度的氢气，为了使活塞停留在圆筒的正中央，则另一边 装入的同一温度的氧气质量为多少？ 解：根据题意，温度相同的两个气体，活塞停留在圆筒的正中央，则两边的体积 和压强相同，又： pV =RT ， 所以两个气体摩尔数相同， 可得： 2 2 1 1 M m M m = ，代入数据： 2 32 0.1 m2 = ，所以： m2 =1.6kg 9-3.如图所示，两容器的体积相同，装有相同质量的氮气和氧气。用一内壁 光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中 间，并维持氧气温度比氮气温度高 30oC，则氮气的温度应是多少？ 解：根据题意，水银滴停留在管的正中央，则两边的体积和压强相同，又：
p=RT,所以 72T1+30 MM 可得到:T:=210K 94.高压氧瓶:P=1.3×107Pa,V=30L,每天用P=1.0×103Pa V=400L,为保证瓶内P≥1.0×10°a,能用几天? 解:根据题意p=7,P11=vRT,可得 (1.3×107×30-10×106×30)/(10×105×400)=9 9-5.如图,长金属管下端封闭,上端开口,置于压强为P的大气中 在封闭端加热达T1=100K,另一端保持T2=200K,设温度沿管长 均匀变化。现封闭开口端,并使管子冷却到100K,求管内压强。 解:根据题意管子一端石1=1000K,另一端保持T2=200,所以函数 T=200+kx其中k=800 dl=ps 20行女=PS1200+800P2n5 k 200 800 当封闭开口端,并使管子冷却到100K时,B=如 两式相等,所以 P=0h5 8
pV =RT ，所以 2 1 2 2 1 1 30 M T M T M T + = = ，可得到：T1=210K。 9-4. 高压氧瓶： 1.3 10 Pa 7 P = ，V = 30L ，每天用 1.0 10 Pa 5 P1 = ， V1 = 400L ，为保证瓶内 1.0 10 Pa 6 P ，能用几天？ 解：根据题意 pV =RT，p1V1 =1RT ，可得： 1.3 10 30 -1.0 10 30 / 1.0 10 400 9 7 6 5 （ ）（ ）= 9-5. 如图，长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为 P0 的大气中。 在封闭端加热达 T1 =1000K ，另一端保持 T2 = 200K ，设温度沿管长 均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到 100K ，求管内压强。 解：根据题意管子一端 T1 =1000K ，另一端保持 T2 = 200K ，所以函数 T = 200+ kx 其中 l k 800 = 。 ln 5 200 800 200 800 ln 200 1 0 0 0 0 0 p V k p S dx k x dl p S T pS R l l = + = + = = （ ） 当封闭开口端，并使管子冷却到 100K 时， 100 pV R = 两式相等，所以 ln 5 8 0 p P =
9-6.氢分子的质量为33×10-g,如果每秒有10个氢分子沿着与容器器 壁的法线成45°角的方向以105cms的速率撞击在20cm2面积上(碰撞是完全弹 性的),则器壁所承受的压强为多少? 解:根据气体压强公式 p=5=2m4-10×2×33010 =2.33×106 1×2×10 9-7.一容器内储有氧气,其压强p=1.0atm,温度T=300K,求容器内氧气的 (1)分子数密度; (2)分子间的平均距离; (3)分子的平均平动动能 (4)分子的方均根速度 解:(1)由气体状态方程p=nkT得 n=p/(kT)=(1×1.013×10°)(1.38×1023×300=45×1025 (2)分子间的平均距离可近似计算 e =3.44×10 Vn245×10 (3)分子的平均平动动能 E=(3/2)kT=(32)×1.38×1023×300=6,21×1021J (4)方均根速度 483ms 9-8.在标准状态下,若氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)和氦气的体积 比V1/V2=1/2,则其内能之比E1/E2为多少? 解:根据V/V2=1/2,可得:v1T1/vT2=1/2 i15
9-6. 氢分子的质量为 3.3 10 g −24 ，如果每秒有 23 10 个氢分子沿着与容器器 壁的法线成 45 角的方向以 10 cm/s 5 的速率撞击在 2 2.0cm 面积上(碰撞是完全弹 性的)，则器壁所承受的压强为多少？ 解：根据气体压强公式： 23 2 3 6 4 4 2 10 2 3.3 10 10 2 cos 45 2 2.33 10 1 2 10 F n mv p pa S tS − − = = = = 9-7.一容器内储有氧气，其压强 p=1.0atm，温度 T=300K，求容器内氧气的 （1）分子数密度； （2）分子间的平均距离； （3）分子的平均平动动能； （4）分子的方均根速度。 解：(1)由气体状态方程 p=nkT 得 n=p/(kT)=(1×1.013×10５ )/(1.38×10-23×300) =2.45×1025 (2) 分子间的平均距离可近似计算 m n e 9 3 3 25 3.44 10 2.45 10 1 1 − = = = (3) 分子的平均平动动能 =(3/2)kT=(3/2)×1.38×10-23×300=6.21×10-21 J (4) 方均根速度 2 1 1.73 483 − = ms M RT v mol 9-8. 在标准状态下，若氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)和氦气的体积 比 V1 /V2 =1/ 2 ，则其内能之比 1 2 E / E 为多少？ 解：根据 V1 /V2 =1/ 2 ，可得： 1T1 / 2T2 =1/ 2 ， 3 5 2 1 = i i
那么内能之比为E,R X一〓 E22 326 9-9水蒸气分解为同温度的氢气和氧气,即HO→H2→+0.502,内能增加了 多少? 解:水蒸气分解后,一份的三原子的内能变成了1.5份的双原子的内能,所 以内能的变化为:E 二RT+0.5×-R7 RT15=25% 9-10体积为20L的钢瓶中盛有氧气(视为刚性双原子气体),使用一段时间 后,测得瓶中气体的压强为2atm,此时氧气的内能为多少? 解:由理想气体状态方程:pV=T,以及双原子气体内能公式:E=vRT 可得到:E=VRT=P=2×2×1013×x103×20×103=10·J 9-11已知某种理想气体,其分子方均根率为400m/s,当起压强为1atm时, 求气体的密度。 解:由气体方程:p=M,P=MRr=M=P=p=R=P 可得到 3kT 3RT 3P 所以:p=-3P-=3×101×10=19kg/m2 9-12容器的体积为2V0,绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个部分,A 内储有1mol单原子理想气体,B内储有2mo双原子理想气体,A、B两部分的
那么内能之比为： 6 5 2 1 3 5 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 = = = RT i RT i E E 9-9.水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，即 H2O→H2→+0.5O2，内能增加了 多少？ 解：水蒸气分解后，一份的三原子的内能变成了 1.5 份的双原子的内能，所 以内能的变化为： 25% 6 1.5 2 6 2 6 2 5 0.5 2 5 0 1 = = + − = RT RT RT RT E E 9-10.体积为 20L 的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间 后，测得瓶中气体的压强为 2atm，此时氧气的内能为多少？ 解：由理想气体状态方程： pV =RT ，以及双原子气体内能公式： E RT 2 5 = 可得到： 5 5 5 5 3 4 2 1.013 10 20 10 10 2 2 2 E RT pV J − = = = = 9-11.已知某种理想气体，其分子方均根率为 400m/s，当起压强为 1atm 时， 求气体的密度。 解：由气体方程： RT P RT P V M RT M PV V M = ， = = = = 可得到： RT P m kT v 2 3 3 3 = = = 所以： 3 2 5 2 2 1.9 / 400 3 1.01 10 ( ) 3 k g m v p = = = 9-12.容器的体积为 2V0，绝热板 C 将其隔为体积相等的 A、B 两个部分，A 内储有 1mol 单原子理想气体，B 内储有 2mol 双原子理想气体，A、B 两部分的
压强均为p。 (1)求A、B两部分气体各自的内能: (2)现抽出绝热板C,求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。 解:(1)由理想气体内能公式:E=v-RT A中气体为1mol单原子理想气体:E=vRT=RT==P010 B中气体为2m1l双原子理想气体:E=V5R=5RT=Pb (2)混合前总内能39+SRI2 由于Pl0=R1p0o=2R72 所以7=272E0=4RT1 混合后,温度为T,内能不变 E=-RT+sRT=4RT 7=8r=8p 13R 3N RT=-RX poo 13R=13P 9-13.金属导体中的电子,在金属内部作无规则运动(与容器中的气体分子 类似),设金属中共有N个自由电子,其中电子的最大速率为vn,电子速率在 v~+dv之间的概率为 dN dv 式中A为常数.则电子的平均速率为多少?
压强均为 p0。 （1）求 A、B 两部分气体各自的内能； （2）现抽出绝热板 C，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。 解：（1）由理想气体内能公式： RT i E 2 = A 中气体为 1mol 单原子理想气体： 0 0 2 3 2 3 2 3 E = RT = RT = p V B 中气体为 2mol 双原子理想气体： 0 0 5 2 5 222 E RT RT p V = = = （2）混合前总内能 0 1 5 2 2 3 E = RT + RT 由于 p0V0 = RT1 p0V0 = 2RT2 所以 T1 = 2T2 E0 = 4RT1 混合后，温度为 T ，内能不变 5 4 1 2 3 E = RT + RT = RT R p V T T 13 8 13 8 0 0 = 1 = 0 0 0 0 0 0 0 3 8 3 3 12 2 2 2 13 13 N p V p nkT kT RT R p V V V R = = = = = 9-13. 金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子 类似），设金属中共有 N 个自由电子，其中电子的最大速率为 m v ，电子速率在 v ~ v + dv 之间的概率为： = m 2 0 d d v v Av v N N 式中 A 为常数．则电子的平均速率为多少？
答:=vf(v)h vdN= vAv2dv=A 9-14大量粒子(N0=72×100个)的速率分布函数图象如图所示,试求: (1)速率小于30ms的分子数约为多少? (2)速率处在99ms到10lms之间的分子数约为多少? (3)所有N0个粒子的平均速率为多少? (4)速率大于60ms的那些分子的平均速率为多少? 306090120 解:根据题意:N0=72×1010=(30+120)×a 144 所以a= 15 (1)速率小于30ms的分子数: N=-×30×a=144×100 (2)速率处在99ms到l0lms之间的分子数: wN="/( dv=N[C2a-600Md =64x107 (3)所有N个粒子的平均速率:先写出这个分段函数的表达式 (0≤v≤30) f(v)=a(30≤v≤60)
答： 4 0 2 0 0 4 1 1 ( ) m v vdN vAv dv Av N v v f v dv m = = = = 9-14. 大量粒子（ 10 N0 = 7.210 个）的速率分布函数图象如图所示，试求： （1）速率小于 30m/s 的分子数约为多少？ （2）速率处在 99m/s 到 101m/s 之间的分子数约为多少？ （3）所有 N0 个粒子的平均速率为多少？ （4）速率大于 60m/s 的那些分子的平均速率为多少？ 解：根据题意： N = = （30 +120） a 2 1 7.2 1010 0 所以 9 10 15 14.4 a = （1） 速率小于 30m/s 的分子数： 10 30 1.44 10 2 1 N = a = （2）速率处在 99m/s 到 101m/s 之间的分子数： 7 101 99 101 99 6.4 10 60 = = 2 − = a dv v N N f（v）dv N（ （ a ） （3）所有 N0 个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式： v a 30 （ 0 v 30 ） f（v）= a （ 30 v 60 ）
2 a(60≤y≤120) (va>120) wf(v)dv N adv+ a)d]=54m/ (4)速率大于60ms的那些分子的平均速率 f(v)di a)dv] 80m/s 。fmhC(20-a)的 915理想气体分子沿x方向的速度分布函数:f(v,)=(、4)2e2,试 2nT 据此推导压强公式P=nkT(已知:「x2edx 4BVB Vix 解压强的计算式为:P== 所以关键在求出N个分子在x方向上速度分量平方的平均值 ,=v2,根据速度分布函数f(v2)=()2e,可得 2nkT v f(v, )dv ()2 d KT tKt 那么利用=n,可得:p=∑va2=-m=nKT 9-16.在麦克斯韦分布下,(1)计算温度T=300k和72=600k时氧气分 子最可几速率v和ν,;(2)计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间
a v a 60 2 − （ 60 v 120 ） 0 （ 120 v0 ） a dv m s v vdv vadv v a a v N v v f v dv ] 54 / 60 2 30 [ 1 ( ) 120 6 0 6 0 3 0 3 0 0 0 = = + + − = （ ） （4）速率大于 60m/s 的那些分子的平均速率 m s a dv v a a dv v v a f v dv v f v dv v 80 / ] 60 2 ] 60 2 ( ) ( ) 120 60 120 60 60 60 = − − = = （ ） （ ） 9-15. 理想气体分子沿 x 方向的速度分布函数： kT v x x e kT f v 2 2 1 2 ) 2 ( ) ( − = ，试 据此推导压强公式 P = nkT （已知： 4 1 d 0 2 2 = − x e x x ）. 解：压强的计算式为： VN N v v V p N i N ix i ix = = = = 1 2 1 2 所以关键在求出 N 个分子在 x 方向上速度分量平方的平均值： 1 2 2 ix N i ix v N v = = ，根据速度分布函数 kT v x x e kT f v 2 2 1 2 ) 2 ( ) ( − = ，可得： KT e dv k T v v f v dv v x kT v x x i x x x x = = = − 0 2 2 1 2 0 2 2 2 ) 2 ( ) ( 那么利用 n V N = ，可得： nKT VN N v v V p N i N ix i = ix = = = = 1 2 1 2 9-16. 在麦克斯韦分布下，（1）计算温度 T1 = 300K 和 T2 = 600K 时氧气分 子最可几速率 p1 v 和 p2 v ；（2）计算在这两温度下的最可几速率附近单位速率区间
内的分子数占总分子数的比率;(3)计算300K时氧分子在2v处单位速率区间 内分子数占总分子的比率 2kT 2RT 解:根据最可几速率的定义:vp=Vm 1414 2RT2×8.31×300 (1)温度7=300K:p 394m/s 32×10-3 ERT T2=600K:Vn2 ÷,/2×831×60058m/s 32×10-3 (2)在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦 克斯韦分布函数:f(v e 2k7 T=300K,V=394m/s代入:f(v)=0.21% T=600K,V=558m/s代入:f(v)=0.15% (3)计算300K时氧分子在2v处单位速率区间内分子数占总分子的比率。 即将T=300K,v=788m/s代入: 得:f()=(m)2, Vz24)e2"n2=0042 9-17.试将质量为μ的单原子理想气体速率分布函数 4(x,)2 dv改写成按动能E=2分布的函数形式f(E)dE,然后 2水T 求出其最可几动能及平均动能
内的分子数占总分子数的比率；（3）计算 300K 时氧分子在 p 2v 处单位速率区间 内分子数占总分子的比率。 解：根据最可几速率的定义： RT RT m k T v p 1.414 2 2 = = = （1）温度 T1 = 300K ： 1 3 2 2 8.31 300 394 / 32 10 p RT v m s − = = = T2 = 600K ： 2 3 2 2 8.31 600 558 / 32 10 p RT v m s − = = = （2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦 克斯韦分布函数： 2 2 2 3 2 2 4 ) e v kT m f ( v ) ( v kT m − = T=300K，V=394m/s 代入： f v( ) 0.21% = T=600K, V=558m/s 代入： f v( ) 0.15% = （3）计算 300K 时氧分子在 p 2v 处单位速率区间内分子数占总分子的比率。 即将 T=300K，v=788m/s 代入： 得： ) 0.042% 2 ( 4 ( ) 2 2 2 3 2 = = − e v k T m f v v kT m 9-17. 试将质量为 的 单 原 子 理 想 气 体 速 率 分 布 函 数 e v v kT kT ) d 2 4 ( 2 2 2 3 2 − 改写成按动能 2 2 1 = v 分布的函数形式 f ( )d ，然后 求出其最可几动能及平均动能
解:根据题意将4m( )2e2Kv2dv中所有的速度用 来代替 tKt 则得到:f(c)dE=4x(-,)2e da 2TkT 其最可几动能也就是a[∫(E)dε]de=0所对应的动能,为KT; 平均动能E=6/(08=KT 9-18.一容器体积为2V,一导热隔板把它分成相等的两半,开始时左边盛有 压强为P的理想气体,右边为真空。在隔板上有一面 积为S的小孔,求打开小孔后左右两边压强P和P 与时间t的关系(已知单位时间与器壁单位面积相撞 的分子数为-n) 解:设某时刻左、右分子数分别为N、N0-N,则在d内左面分子数变化为 dw= 44S N+Mn-N)d=0(N-2N)d由 P=MT/得:中=(p2-2DSM,由此解得 Po pI 1+e 由M+N2=M可得+p=m,…PR=P0B≈ 9-19.试求升高到什么高度时大气压强将减至地面的75%。设空气的温度为 0°C,空气的摩尔质量为0.0289 kg/mol g Po 解:根据题意:p=P0e 由P求h:h=7h kT p
解：根据题意将 e v v kT kT ) d 2 4 ( 2 2 2 3 2 − 中所有的速度用 2 v = 来代替， 则得到： f ( )d = ) d 2 1 4 ( 2 3 − kT e kT 。 其最可几动能也就是 d[ f ( )d ]/ d = 0 所对应的动能，为 KT； 2 1 平均动能 f KT 2 3 ( )d 0 = = 9-18. 一容器体积为 2V ，一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛有 压强为 P0 的理想气体，右边为真空。在隔板上有一面 积为 S 的小孔，求打开小孔后左右两边压强 P1 和 P2 与时间 t 的关系（已知单位时间与器壁单位面积相撞 的分子数为 nv 4 1 ）。 解：设某时刻左、右分子数分别为 N、N0-N，则在 dt 内左面分子数变化为 ( ) 0 1 2 0 1 1 1 d d d d 2 d 4 4 4 4 N S N N N n S t n S t S t N N t V V V − = − + = − + = − v v v v 由 P=NkT/V 得： d 2 d ( 0 ) 4 S p p p t V = − v ,由此解得 = + − t V vS p p 0 4 L 1 e 2 由 N1+N2=N0 可得 p1+p2=p0， 0 4 R 0 1 1 e 2 vS t V p p p p − = − = − 9-19. 试求升高到什么高度时大气压强将减至地面的 75%。设空气的温度为 C 0 0 ，空气的摩尔质量为 0.0289kg/mol 。 解：根据题意 ： kT mgh p p e − = 0 ， 由 p 求 h ： p p ln kT mg h 0 =
P 已知T=273k;H=0.0289 kg/mol,则m= 4p4把这些值代入, 则可得:压强随高度变化的规律z=(RD∥(μg)ln(po/p) z=(831×2730.0289×9.8)n(1/0.75)=23×10m 9-20.气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体),当温度不变而压强增大一 倍时,氢气分子的平均碰撞频率Z和平均自由程λ的变化情况怎样? 解:根据平均碰撞频率的定义: z=√2rdm以及p=mkT,下=160 可得到2165(=165m 所以当温度不变而压强增大一倍时,氢气分子的平均碰撞频率Z也将增大一倍。 而平均自由程的概念为:A kT 所以当温度不变而压强增大一倍时,氢气分子的平均自由程A将减小一倍 9-21.(1)分子的有效直径的数量级是多少?(2)在常温下,气体分子的 平均速率的数量级是多少?(3)在标准状态下气体分子的碰撞频率的数量级是多 少? 解:(1)由pV=RT,假设标准状态下一摩尔的气体,其体积为 V=RI/P,有效直径为:d 大约为10m VN
已知 T=273k； = 0.0289kg/mol ，则 NA m = ； 4 0 3 = p p 。把这些值代入， 则可得：压强随高度变化的规律 z=(RT)/(μg)ln(p０/p) z=(8.31×273/0.0289×9.8)ln(1/0.75)=2.3×10３ m 9-20. 气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一 倍时，氢气分子的平均碰撞频率 Z 和平均自由程 的变化情况怎样？ 解：根据平均碰撞频率的定义： Z d nv 2 = 2 以及 p = nkT ， m KT v =1.60 ， 可得到 KT p m d m KT KT p Z d 2 2 =1.6 2 =1.6 2 ， 所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率 Z 也将增大一倍。 而平均自由程的概念为： d p kT d n 2 2 2 2 1 = = 所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均自由程 将减小一倍。 9-21. （1）分子的有效直径的数量级是多少？（2）在常温下，气体分子的 平均速率的数量级是多少？（3）在标准状态下气体分子的碰撞频率的数量级是多 少？ 解：（1）由 pV =RT ，假设标准状态下一摩尔的气体，其体积为 V = RT /P ，有效直径为： 3 NA V d = ，大约为 10-10 m