习题 5-1.如图,一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的 两端分别挂着质量为2m和m的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两 个定滑轮的转动惯量均为mr2/2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物 组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力 解:受力分析如图 m2g-12=2mc T-mg=ma (2) (T2-T)r=JB (T-Dr=JB rB 联立 5-2.如图所示,一均匀细杆长为1,质量为m,平放在摩擦系数为的水平桌 面上设开始时杆以角速度O。绕过中心O且垂直与桌面的轴转动,试求:(1)作 用于杆的摩擦力矩;(2)经过多长时间杆才会停止转动。 (1)设杆的线=",在杆上取一小质元 df dmg= uagdx dM= uagxdx 考虑对称
习题 5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为 m 、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的 两端分别挂着质量为 2m 和 m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两 个定滑轮的转动惯量均为 / 2 2 mr ，将由两个定滑轮以及质量为 2m 和 m 的重物 组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图 2mg −T2 = 2ma （1） T1 − mg = ma （2） (T2 −T1 )r = J （3） (T −T1 )r = J （4） a = r (5) 联立 a g 4 1 = ， T mg 8 11 = 5-2. 如图所示,一均匀细杆长为 l ，质量为 m ，平放在摩擦系数为 的水平桌 面上,设开始时杆以角速度 0 绕过中心 O 且垂直与桌面的轴转动，试求:（1）作 用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 设杆的 线 l m = ，在杆上 取一小 质元 dm = dx df = dmg = gdx dM = gxdx 考虑对称
M=2 2ungxdx=amgl (2)根据转动定律M=JB=J d -Mdt= Jdo lt 所以t= g 5-3.如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子的质 量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动 惯量为MR2/2,试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系。 dv mg-T=ma=m dt = RB 整理(m+-M)"=mg cu gdr p=-h8
M gxdx mgl l = = 2 0 4 1 2 （2） 根据转动定律 d M J J dt = = − = t w Mdt Jd 0 0 0 0 2 12 1 4 1 − mglt = − ml 所以 g l t 3 0 = 5-3. 如图所示，一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质 量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 M 、半径为 R ,其转动 惯量为 / 2 2 MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 dt dv mg − T = ma = m TR = J R dt dv = 整理 mg dt dv m + M ) = 2 1 ( gdt m M m dv v t + = 0 0 2 1 2 M m mgt v + =
5-4.轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为M/4, 均匀分布在其边缘上,绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端, 而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物,如图。已知滑轮 对O轴的转动惯量J=MR2/4,设人从静止开始以相对绳匀速M5囡 向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度? 解:选人、滑轮与重物为系统,设u为人相对绳的速度,为重 物上升的速度,系统对轴的角动量 L=EvR-M(u-v)R+(R2)o Mvr-Mur 根据角动量定理 MgR=-(wvR-MuR) 3,d3 MgR=MR 所以 g a 5-5.计算质量为m半径为R的均质球体绕其 轴线的转动惯量 证明:设球的半径为R,总重量为m,体 3m 密度P=4R 将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘, 则盘的体积为x(√R2-22)2d J=2列(R-2)s8x2 15 PR==mR2
5-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为 M / 4， 均匀分布在其边缘上，绳子 A 端有一质量为 M 的人抓住了绳端， 而在绳的另一端 B 系了一质量为 M / 4 的重物，如图。已知滑轮 对 O 轴的转动惯量 / 4 2 J = MR ，设人从静止开始以相对绳匀速 向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 B 端重物上升的加速度？ 解：选人、滑轮与重物为系统，设 u 为人相对绳的速度， v 为重 物上升的速度，系统对轴的角动量 MvR MuR R M v R M u v R M L = − = − − + 2 3 ) 4 ( ) ( 4 2 根据角动量定理 dt dL M = ) 2 3 ( 4 3 MvR MuR dt d MgR = − = 0 dt du MRa dt dv MgR MR 2 3 2 3 4 3 = = 所以 2 g a = 5-5. 计算质量为 m 半径为 R 的均质球体绕其 轴线的转动惯量。 证明：设球的半径为 R ，总重量为 m ，体 密度 3 4 3 R m = ， 将球体划分为许多厚度为 dZ 的圆盘， 则盘的体积为 R Z dZ 2 2 2 ( − ) 2 1 8 2 2 2 5 2 ( ) 2 15 5 R R J R Z dZ R mR − = − = =
5-6.一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧 的劲度系数k=40N/m,当θ=0时弹簧无形变,细棒的质量 m=50kg,求在O=0的位置上细棒至少应具有多大的角速度15 O,才能转动到水平位置? 解:机械能守恒 mg+-J02=-k 根据几何关系(x+0.5)2=152+12=3.28nuds-1 5-7.如图所示,一质量为m、半径为R的圆盘,可绕O轴 在铅直面内转动。若盘自静止下落,略去轴承的摩擦,求 (1)盘到虚线所示的铅直位置时,质心C和盘缘A点的速率 (2)在虚线位置轴对圆盘的作用力 解:在虚线位置的C点设为重力势能的零点,下降过程 机械能守恒 R 0- J=-mR+mR N3Rv。=Ro=|4Rg 16Rg V 3 v=2Ro Fr=g +mRo2= 方向向上 5-8.如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和 2m的小球,杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O 两端分别为l和=l.轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量 为m的小球,以水平速度ν与杆下端小球m作对心碰撞,碰后 以v0的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 2 解:根据角动量守衡有
5-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧 的劲度系数 k = 40N/m ，当 = 0 时弹簧无形变，细棒的质量 m = 5.0kg ，求在 = 0 的位置上细棒至少应具有多大的角速度 ，才能转动到水平位置？ 解：机械能守恒 2 2 2 1 2 1 2 1 mg + J = kx 根据几何关系 2 2 2 (x + 0.5) =1.5 +1 1 3.28 − = rad s 5-7. 如图所示，一质量为 m 、半径为 R 的圆盘，可绕 O 轴 在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求： （1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心 C 和盘缘 A 点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：在虚线位置的 C 点设为重力势能的零点，下降过程 机械能守恒 2 2 1 mgR = J 2 2 2 1 J = mR + mR R g 3 4 = 3 4Rg vc = R = 16 2 3 A Rg v R = = 2 7 3 F mg mR mg y = + = 方向向上 5-8. 如图所示，长为 l 的轻杆，两端各固定质量分别为 m 和 2m 的小球，杆可绕水平光滑固定轴 O 在竖直面内转动，转轴 O 距两端分别为 l 3 1 和 l 3 2 ．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量 为 m 的小球，以水平速度 0 v 与杆下端小球 m 作对心碰撞，碰后 以 0 2 1 v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守衡 有
3mny=(3)m0+(3):2m0-m2" 3v 5-9.一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上(圆 盘与水平面之间的摩擦系数为),圆盘可绕通过其 中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时,圆盘静止, 质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打 入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:(1)子弹击中圆盘后, 盘所获得的角速度:(2)经过多少时间后,圆盘停止/m 转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为 MR2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解(1)角动量守恒 myr=Mro+mro 2 (2m+ MR (2)M=dM=udmgr=Lugr R 2Trdr=-uMgR 2(M+2m 山MgRM=(MR2+mR2)o-0,∴M 4uMg 由(1)已得:O 代入即得=-3m M+2mr 2uMg 5-10.有一质量为m、长为的均匀细棒,静止 平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上,它可绕通过 其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水 平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒 的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。已知小滑块在 碰撞前后的速度分别为v和v2,如图所示。求碰撞后 从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间
0 2 2 0 2 1 3 2 ) 2 3 ) ( 3 2 ( 3 2 m ml v l m l mv l = + − l v 2 3 0 = 5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为 M ，半径为 R ，放在一粗糙水平面上(圆 盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其 中心 O 的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止， 一质量为 m 的子弹以水平速度 v 垂直于圆盘半径打 入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：(1)子弹击中圆盘后， 盘所获得的角速度；(2)经过多少时间后，圆盘停止 转动。( 圆盘绕通 过 O 的竖直轴的转动 惯量为 2 2 1 MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解（1）角动量守恒 2 2 2 1 mvR = MR + mR 2 (2 ) mv m M R = + （2） 2 0 2 2π 3 R M M dM dmgr gr rdr MgR R = = = = 2 1 2 2 ( ) 0 3 2 MgR t MR mR = + − ， 2 2 ( ) 4 M m t R Mg + = 由（1）已得： ( ) 2 2 m M m R = + v ，代入即得 3 2 m t Mg = v 5-10. 有一质量为 m1 、长为 l 的均匀细棒，静止 平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过 其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水 平运动的质量为 m2 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒 的另一端 A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在 碰撞前后的速度分别为 1 v 和 2 v ，如图所示。求碰撞后 从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间
(已知棒绕O点的转动惯量J=m12) 碰撞时角动量守恒 m217=m1P2-m22 3m2(v1+v2) 细棒运动起来所受到的摩擦力矩 M dx d m, dt amig 202m2(v1+v2) 3ug m18 5-11.如图所示,滑轮转动惯量为00lkg·m2,半径为7cm:物体的质量为 skg,用一细绳与劲度系数k=20Nm的弹簧相连,若N 绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽略不计。求: (1)当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大 距离。(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 (1)机械能守恒。设下落最大距离为h okh = mgh
(已知棒绕 O 点的转动惯量 2 1 3 1 J = m l ) 碰撞时角动量守恒 2 2 1 1 2 2 1 3 m v l m l m v l = − m l m v v 1 2 1 2 3 ( + ) = 细棒运动起来所受到的摩擦力矩 gxdx m gl l m M l 1 0 1 2 1 = = dt d M J − = = − t m gl m l d dt 0 1 2 1 2 1 3 1 m g m v v g l t 1 2 1 2 2 ( ) 3 2 + = = 5-11. 如图所示，滑轮转动惯量为 2 0.01kg m ，半径为 7cm ；物体的质量为 5kg ，用一细绳与劲度系数 k = 200N/m 的弹簧相连，若 绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求： （1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大 距离。(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 （1）机械能守恒。 设下落最大距离为 h kh = mgh 2 2 1
h 2mg_0 49m k 若速度达最大值,d=0 dx mg=0.245(m) 2×5×9.8×0.245-200×0.2452 5+001 =1.31m/s 5-12.设电风扇的功率恒定不变为P,叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的 角速度O成正比,比例系数的k,并已知叶片转子的总转动惯量为J。(1)原来 静止的电扇通电后t秒时刻的角速度:(2)电扇稳定转动时的转速为多大?(3) 电扇以稳定转速旋转时,断开电源后风叶还能继续转多少角度? 解:(1)通电时根据转动定律有M-M1=J - KO 代入两边积分dt= Ja-da P-ko
m k mg h 0.49 2 = = （2） kx + mv + J = mgx 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2mgx kx v J m r − = + 若速度达最大值， = 0 dx dv 0.245(m) k mg x = = 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 9.8 0.245 200 0.245 1.31 / 0.01 5 (7 10 ) mgx kx v m s J m r − − − = = = + + 5-12. 设电风扇的功率恒定不变为 P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的 角速度 成正比，比例系数的 k ，并已知叶片转子的总转动惯量为 J 。（1）原来 静止的电扇通电后 t 秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3） 电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ 解：（1）通电时根据转动定律有 dt d M M J r − = M = P Mr = k 代入两边积分 d P k J dt t − = 0 2 0 (1 ) 2 t J k e k P − = −
(2)电扇稳定转动时的转速On (3) ko=Jc d kVk 5-13.如图所示,物体A放在粗糙的水平面上,与水平桌面之间的摩擦系数 为μ,细绳的一端系住物体A,另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上,物 体与转轮的质量相同。开始时,物体与转轮皆静止,细 绳松弛,若转轮以ω绕其转轴转动。试问:细绳刚绷 紧的瞬时,物体A的速度多大?物体A运动后,细绳的 张力多大? 解:细绳刚绷紧时系统机械能守恒 Ro T-Lmg=ma -TR=JB ng a=RB 5-14.质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平 平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均 静止。当小孩突然一相对地面为ν的速率沿台边缘逆时针走动时,此平台相对地 面旋转的角速度O为多少? 解:此过程角动量守恒0=m-J
（2）电扇稳定转动时的转速 k P m = （3） d d − k = J − = 0 0 m d d J k k P k J = 5-13. 如图所示，物体 A 放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数 为 ，细绳的一端系住物体 A ，另一端缠绕在半径为 R 的圆柱形转轮 B 上，物 体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细 绳松弛，若转轮以 0 绕其转轴转动。试问：细绳刚绷 紧的瞬时，物体 A 的速度多大？物体 A 运动后，细绳的 张力多大？ 解：细绳刚绷紧时系统机械能守恒 2 2 2 0 2 1 2 1 2 1 J = J + mv v = R 0 1 3 v R = T − mg = ma − TR = J 3 mg T = a = R 5-14. 质量为 m 的小孩站在半径为 R 、转动惯量为 J 的可以自由转动的水平 平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均 静止。当小孩突然一相对地面为 v 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地 面旋转的角速度 为多少？ 解：此过程角动量守恒 0 = mrv − J
mRy 5-15.以速度v作匀速运动的汽车上,有一质量为m(m较小),边长为l的 立方形货物箱,如图所示。当汽车遇到前方障碍物急 刹车停止时,货物箱绕其底面A边翻转。试求:(1) 汽车刹车停止瞬时,货物箱翻转的角速度及角加速度 ●● (2)此时,货物箱A边所受的支反力 解:(1)角动量守恒mnvo2-3 2mf2β 根据转动定律m82-3 3g (2)N.=ma=ma_cos45°- ma cos45° 思考题 5-1.一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮, 绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体(m1<m2),如图所示绳 与轮之间无相对滑动,某时刻滑轮沿逆时针方向转动,则绳的张 力多大? m,g-T -=n, (1) T2-m,g=m,a (2)插入图5-29 (T1-2)r=JB
J mRv = 5-15. 以速度 0 v 作匀速运动的汽车上，有一质量为 m （ m 较小），边长为 l 的 立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急 刹车停止时，货物箱绕其底面 A 边翻转。试求：（1） 汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度； （2）此时，货物箱 A 边所受的支反力。 解：（1）角动量守恒 2 0 3 2 2 ml l mv = l v 4 3 0 = 根据转动定律 2 3 2 2 ml l mg = l g 4 3 = （2） 0 ct 0 Nx = ma cx = ma cn cos 45 − ma cos 45 思考题 5-1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为 M 的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量 m1 和 m2 的物体 ( m1 < m2 )，如图所示.绳 与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张 力多大？ m1g −T1 = m1a （1） T2 − m2 g = m2a （2） 插入图 5-29 (T1 −T2 )r = J （3）
联立方程可得T1、72。T2>T1 5-2.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速 度⑨按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个 大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方 向同时作用到盘上,则盘的角速度O怎样变化? 答:增大 5-3.个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃在 该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的 (A)机械能守恒,角动量守恒;(B)机械能守恒角动量不守恒, (C)机械能不守恒,角动量守恒;(D)机械能不守恒,角动量不守恒 5-4.在边长为a的六边形顶点上,分别固定有质 转轴的转动惯量:(1)设转轴1、Ⅱ在质点所在的平)人 量都是m的6个质点,如图所示。试求此系统绕下列 面内,如图a所示:(2)设转轴Ⅲ垂直于质点所在的 平面,如图b所示。 以Ⅰ为轴转动惯量J=9ma 以Ⅱ为轴转动惯量J=3ma 以Ⅲ为轴转动惯量J=7.5ma 5-5.如图a所示,半径分别是R和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱 体,可绕垂直于图面的轴转动,最初大圆柱体的角速 度为Oo,现在将小圆柱体向左靠近,直到它碰到大
a = r (4) 联立方程可得 T1、T2 。 T2 T1 5-2. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 O 以角速 度 按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个 大小相等方向相反但不在同一条直线的力 F 沿盘面方 向同时作用到盘上，则盘的角速度 怎样变化？ 答：增大 5-3. 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在 该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒, （C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒. 答：（C） 5-4. 在边长为 a 的六边形顶点上，分别固定有质 量都是 m 的 6 个质点，如图所示。试求此系统绕下列 转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平 面内，如图 a 所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的 平面，如图 b 所示。 以Ⅰ为轴转动惯量 2 J = 9ma 以Ⅱ为轴转动惯量 2 J = 3ma 以Ⅲ为轴转动惯量 2 J = 7.5ma 5-5. 如图 a 所示，半径分别是 R1 和 R2 、转动惯量分别是 1 J 和 2 J 的两个圆柱 体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速 度为 0 ，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大