习题 21-1.测量星体表面温度的方法之一是将其看作黑体,测量它的峰值波长An,利用维 恩定律便可求出T。已知太阳、北极星和天狼星的n分别为0.50×10m,043×10°m 和0.29×10-6m,试计算它们的表面温度 解:维恩定律=b其中b=2898×10-3 太阳 b2898×10-3 5796K 0.5×10 北极星T b_2898×10 Zn043×10。=6740K 天狼星T=b 2.898×10 Z029x10-6=9993K 21-2.宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温度为3K的黑体辐射,试计 算 (1)此辐射的单色辐出度的峰值波长 (2)地球表面接收到此辐射的功率 b2.898×10-3 解:(1)m=bLm 966×10-4m (2)P=S74=4x×(6370×103)2×567×108×3+=2.34×10W 21-3.已知2000K时钨的辐出度与黑体的辐出度之比为0.259。设灯泡的钨丝面积为 l0cm2,其他能量损失不计,求维持灯丝温度所消耗的电功率。 解:消耗的功率等于幅出度 P=0.259S0T4=0.259×10×10+×567×10-8×20004=235W 21-4.天文学中常用热辐射定律估算恒星的半径。现观测到某恒星热辐射的峰值波长为 λ;辐射到地面上单位面积的功率为W。已测得该恒星与地球间的距离为l,若将恒星看 作黑体,试求该恒星的半径。(维恩常量b和斯特藩常量σ均为己知) 解:Tn=bM=07 4TroT4=w. 4x12
习题 21-1．测量星体表面温度的方法之一是将其看作黑体，测量它的峰值波长 m ，利用维 恩定律便可求出 T 。已知太阳、北极星和天狼星的 m 分别为 0.50 10 m −6 ，0.43 10 m −6 和 0.29 10 m −6 ，试计算它们的表面温度. 解： 维恩定律 Tλm = b 其中 3 2.898 10− b = 太阳 K λ b T m 5796 0.5 10 2.898 10 6 3 = = = − − 北极星 K λ b T m 6740 0.43 10 2.898 10 6 3 = = = − − 天狼星 K λ b T m 9993 0.29 10 2.898 10 6 3 = = = − − 21-2．宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于温度为 3K 的黑体辐射，试计 算： （1）此辐射的单色辐出度的峰值波长； （2）地球表面接收到此辐射的功率。 解: （1） Tλm = b m T b λm 4 3 9.66 10 3 2.898 10 − − = = = （2） 4 3 2 8 4 9 P S T W 4 (6370 10 ) 5.67 10 3 2.34 10 − = = = 21-3．已知 2000K 时钨的辐出度与黑体的辐出度之比为 0.259 。设灯泡的钨丝面积为 2 10cm ，其他能量损失不计，求维持灯丝温度所消耗的电功率。 解:消耗的功率等于幅出度 P 0.259SσT 0.259 10 10 5.67 10 2000 235W 4 4 8 4 = = = − − 21-4．天文学中常用热辐射定律估算恒星的半径。现观测到某恒星热辐射的峰值波长为 m ；辐射到地面上单位面积的功率为 W 。已测得该恒星与地球间的距离为 l ，若将恒星看 作黑体，试求该恒星的半径。（维恩常量 b 和斯特藩常量 均为己知） 解: Tλm = b 4 M = σT 2 4 2 4πr σT = W 4πl
2|W 由上得= 21-5.分别求出红光(A=7×103cm),X射线(2=0.25A),y射线 (A=1.24×10-2A)的光子的能量、动量和质量 解由公式Eshc h E 红光:Ehe_663×10-×3×10° 2.84×10-19J 7×10-7 h663×10-34 PA7×10-7=947×10-28kgm/s E2.84×10 3×10)=316×10-kg X射线:Ehc_663×10-×3x1=795610 0.25×10 h663×10 265×1023kg·m/s E7956×10 c2(3×10)=884×10-2kg y射线:E=1C=653×10×3×10=16×10J 124×10-12 h663×10 入-124×10-12=535×102kgm/s E16×10 (3×10°) 21-6.100W钨丝灯在1800K温度下工作。假定可视其为黑体,试计算每秒钟内,在 5000A到5001A波长间隔内发射多少个光子? 解:设钨丝灯的发射面积为S,由斯特藩-玻耳兹曼定律可得辐射总功率P=oT4·S =1.68×10 单位时间内从黑体辐射出的在∠范围内的能量为
由上得 σ W b lλ r m 2 2 = 21-5 ． 分 别 求 出 红 光 （ 7 10 cm −5 = ）， X 射线（ = 0.25A ）， 射 线 （ λ A 2 1.24 10− = ）的光子的能量、动量和质量。 解:由公式 λ hc E = 2 E = mc λ h P = 红光： J λ hc E 19 7 34 8 2.84 10 7 10 6.63 10 3 10 − − − = = = k g m s λ h P = = = − − − 28 7 34 9.47 10 7 10 6.63 10 kg c E m 36 8 2 19 2 3.16 10 (3 10 ) 2.84 10 − − = = = X 射线： J λ hc E 15 10 34 8 7.956 10 0.25 10 6.63 10 3 10 − − − = = = k g m s λ h P = = = − − − 23 10 34 2.65 10 0.25 10 6.63 10 k g c E m 32 8 2 15 2 8.84 10 (3 10 ) 7.956 10 − − = = = γ 射线： J λ hc E 13 12 34 8 1.6 10 1.24 10 6.63 10 3 10 − − − = = = k g m s λ h P = = = − − − 22 12 34 5.35 10 1.24 10 6.63 10 k g c E m 30 8 2 13 2 1.78 10 (3 10 ) 1.6 10 − − = = = 21-6．100W 钨丝灯在 1800K 温度下工作。假定可视其为黑体，试计算每秒钟内，在 5000 A 到 5001A 波长间隔内发射多少个光子？ 解：设钨丝灯的发射面积为 S ，由斯特藩-玻耳兹曼定律可得辐射总功率 P = σT S 4 4 2 4 1.68 10 m σT P S − = = 单位时间内从黑体辐射出的在 Δλ 范围内的能量为
P=M(T),4·S=2mhc2x3 ·S 波长为500m的光子的能量为g=hc 设每秒发射出N个光子,则有P=Ne P 2Tc2SAZ =5.7×10 21-7.波长为1A的Ⅹ光在石墨上发生康普顿散射,如在θ=一处观察散射光。试求 (1)散射光的波长2 (2)反冲电子的运动方向和动能。 解(1)=1-1=2sn 而 h 0.024262A x’=1+2sm2()=1.024262A h (2)由动量守恒定律,在y轴方向上0=in6-PSin 由余弦定理得p2=()2+()2-2-cos0 (2) 由(2)式可得p=926×102“kg:m/s sn p-n2 663×10-3 sn-=0.699 9.26×10-24×1024262×10 Ek=mc2-moc2=hce )=29le 21-8.在氢原子被外来单色光激发后发出的巴尔末系中,仅观察到三条光谱线,试求这 三条谱线的波长以及外来光的频率 解:由于观察到三条谱线最高能级为n=5 RHo RH(
Δλ S e P M T Δλ S πhc λ λkT Δλ λ hc − = = − 1 1 ( ) 2 2 5 波长为 500nm 的光子的能量为 λ hc ε = 设每秒发射出 N 个光子，则有 P Nε Δλ = 4 2 13 5.7 10 1 hc kT P c S N e − = = = − 21-7．波长为 1A 的 X 光在石墨上发生康普顿散射，如在 2 = 处观察散射光。试求： （1）散射光的波长 ' ； （2）反冲电子的运动方向和动能。 解:(1) ) 2 2 sin ( 2 0 θ Δλ λ λ λ − = c = 而 A m c h λc 0.024262 0 = = A θ λ λ λc ) 1.024262 2 2 sin ( 2 = 0 + = (2)由动量守恒定律，在 y 轴方向上 θ p φ λ h e 0 sin − sin = （1） 由余弦定理得 θ λ λ h λ h λ h pe ( ) ( ) 2 cos 0 2 2 0 2 2 + − = （2） 由（2）式可得 p kg m s e = −24 9.26 10 0.699 2 sin 9.26 10 1.024262 10 6.63 10 sin sin 24 10 34 = = = − − − π θ p λ h φ e φ = 44.35 eV λ λ E mc m c hc k ) 291 1 1 ( 0 2 0 2 = = − = − 21-8．在氢原子被外来单色光激发后发出的巴尔末系中，仅观察到三条光谱线，试求这 三条谱线的波长以及外来光的频率。 解:由于观察到三条谱线,最高能级为 n = 5 5→2 ) 5 1 2 1 ( 1 2 2 1 = RH − λ 7 1 = 4.34 10− m 4→2 ) 4 1 2 1 ( 1 2 2 2 = RH − λ
RH( 3=6.563×10-7m E5-E1_-0.544-(-136) ×16×10-9=3.15×105H 6.63×10 21-9.一个氢原子从n=1的基态激发到n=4的能态。 (1)计算原子所吸收的能量 (2)若原子回到基态,可能发射哪些不同能量的光子? (3)若氢原子原来静止,则从n=4直接跃回到基态时,计算原子的反冲速率 4-4=-136 E 解:(1)AE= 16-(-136)=1275e (2)E1=-13.6eE2=-34eE3=-1.5eE4=-085e 414E=E4-E1=1275e 4-24E=E4-E2=2.55e 4-3AE=E4-E3=0.65e1 3-2AE=E3-E2=19e 3-1AE=E3-E1=12.le 21AE=E2-E1=10.2e (3)h=E5-E1v= PhE4-E11275×1.6×10 167×10-27×3×108 =407m/s mE 21-10.砷化镓半导体激光器( GaAlAs),发射2=8.0×10°m红外光,功率为50mW, 计算光子的产生率 解:设每秒钟发射的光子数为n P=nh n=P=P2=5×10×80×10×10=201×10 hc663×10-34
λ m 7 2 4.86 10− = 3→2 ) 3 1 2 1 ( 1 2 2 3 = RH − λ 7 3 = 6.563 10− m Hz h E E γ 19 15 34 5 1 1.6 10 3.15 10 6.63 10 0.544 ( 13.6) = − − − = − = − − 21-9．一个氢原子从 n =1 的基态激发到 n = 4 的能态。 （1）计算原子所吸收的能量； （2）若原子回到基态，可能发射哪些不同能量的光子？ （3）若氢原子原来静止，则从 n = 4 直接跃回到基态时，计算原子的反冲速率。 解：（1） E eV E ΔE ( 13.6) 12.75 16 13.6 4 2 1 1 − − = − = − = （2） E1 = −13.6eV E2 = −3.4eV E3 = −1.5eV E4 = −0.85eV 4-1 ΔE = E4 − E1 =12.75eV 4-2 ΔE = E4 − E2 = 2.55eV 4-3 ΔE = E4 − E3 = 0.65eV 3-2 ΔE = E3 − E2 =1.9eV 3-1 ΔE = E3 − E1 =12.1eV 2-1 ΔE = E2 − E1 =10.2eV （3） E5 E1 hν = − λ c ν = m s m c E E λ h m P u H H 4.07 1.67 10 3 10 12.75 1.6 10 27 8 19 4 1 = = − = = = − − 21-10．砷化镓半导体激光器（GaAlAs），发射 8.0 10 nm3 = 红外光，功率为 5.0mW ， 计算光子的产生率. 解：设每秒钟发射的光子数为 n P = nhν 17 34 8 3 3 9 2.01 10 6.63 10 3 10 5 10 8.0 10 10 = = = = − − − hc Pλ hν P n
思考题 21-1.在光电效应实验中,用光强相同、频率分别为v和v的光做伏安特性曲线。已 知v>v,那么它们的伏安特性曲线应该是图? (a) (b) 答:图(C) 21-2.试比较光电效应与康普顿效应之间的异同。 答:光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的 面。光电效应揭示了光子能量与频率的关系,康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的 光系。两者区别源于产生这两效应的能量范围大不相同,光电效应中光子的波长在光学范围, 能量的数量级是几个eV,金属中电子逸出功的数量级是leV。在线性光学范围内的光电效应 中,入射光子能量大于或等于逸出功时,一个电子吸收一个光子,电子和光子系统的能量守 恒,而因电子受束缚,系统的动量不守恒;康普顿效应中的光子在X射线波段,具有10eV 数量级的能量,相对来说电子逸出功和电子热运动的能量都可以忽略,原子的外层电子可看 作是自由的、静止的。所以康普顿效应反映的是高能光子和低能自由态电子间的弹性碰撞问 题,系统的能量和动量都守恒。 21-3.用可见光照射能否使基态氢原子受到激发?为什么? 答:使基态氢原子受到激发所需要的最小能量为 E2-E1=-13 6 ME= 4-(-13.6)=10.2e
思考题 21-1．在光电效应实验中，用光强相同、频率分别为 1 和 2 的光做伏安特性曲线。已 知 2 ＞ 1 ,那么它们的伏安特性曲线应该是图？ 答：图（C） 21-2．试比较光电效应与康普顿效应之间的异同。 答：光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的一 面。光电效应揭示了光子能量与频率的关系，康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的 光系。两者区别源于产生这两效应的能量范围大不相同，光电效应中光子的波长在光学范围， 能量的数量级是几个eV，金属中电子逸出功的数量级是1eV。在线性光学范围内的光电效应 中，入射光子能量大于或等于逸出功时，一个电子吸收一个光子，电子和光子系统的能量守 恒，而因电子受束缚，系统的动量不守恒；康普顿效应中的光子在X射线波段，具有104 eV 数量级的能量，相对来说电子逸出功和电子热运动的能量都可以忽略，原子的外层电子可看 作是自由的、静止的。所以康普顿效应反映的是高能光子和低能自由态电子间的弹性碰撞问 题，系统的能量和动量都守恒。 21-3．用可见光照射能否使基态氢原子受到激发？为什么？ 答：使基态氢原子受到激发所需要的最小能量为 ΔE E E ( 13.6) 10.2eV 4 13.6 = 2 − 1 = − − − =
而可见光的最大能量为E=hy=== hc6.63×10-34×3×10 λ4000×10-10×16×10-93.le 所以用可见光照射不能使基态氢原子受到激发 21-4.氢原子的赖曼系是原子由激发态跃迁至基态而发射的谱线系,为使处于基态的氢 原子发射此线系中最大波长的谱线,则向该原子提供的能量至少应为多少? 答:氢原子的赖曼系是从受激态往激态发射光子,此线系中最大波长是从n=2向基态 发射的,故AE=E2-E1 13.6 (-13.6)=10.2 21-5.用玻尔氢原子理论判断,氢原子巴尔末系(向第1激发态跃迁而发射的谱线系) 中最小波长与最大波长之比为多少 R n=∞时波长最小用表示,n=3时波长最大用表示 2R369 21-6.根据氢原子理论推导类氢离子(核电荷数为Ze,核外只剩最后一个电子)轨道 半径,电子绕核运动的线速度及原子的能级和电子跃迁时所发射单色光的频率公式。 答:应用牛顿定律和库仑定律得 根据量子化条件L=mF=,h n=1,2,3, ImE mZe 8e h =2 n=k+1
而可见光的最大能量为 eV λ hc E hγ 3.1 4000 10 1.6 10 6.63 10 3 10 10 19 34 8 = = = = − − − 所以用可见光照射不能使基态氢原子受到激发 21-4．氢原子的赖曼系是原子由激发态跃迁至基态而发射的谱线系，为使处于基态的氢 原子发射此线系中最大波长的谱线，则向该原子提供的能量至少应为多少？ 答：氢原子的赖曼系是从受激态往激态发射光子，此线系中最大波长是从 n = 2 向基态 发射的，故 ΔE E E ( 13.6) 10.2eV 4 13.6 = 2 − 1 = − − − = 21-5．用玻尔氢原子理论判断，氢原子巴尔末系（向第 1 激发态跃迁而发射的谱线系） 中最小波长与最大波长之比为多少？ 答： ) 1 2 1 ( 1 2 2 n R λ = c − n = 时波长最小用 1 λ 表示， n = 3 时波长最大用 2 λ 表示 9 5 36 4 5 2 1 = = c c R λ R λ 21-6．根据氢原子理论推导类氢离子（核电荷数为 Ze ，核外只剩最后一个电子）轨道 半径，电子绕核运动的线速度及原子的能级和电子跃迁时所发射单色光的频率公式。 答：应用牛顿定律和库仑定律得： r v m πε r Ze 2 2 0 2 4 = 根据量子化条件 π h L mvr n 2 = = n = 1,2,3, = 2 2 2 0 πmZe ε h rn n n = 1,2,3, = − = − 2 2 0 2 4 2 0 2 8 1 8 ε h mZ e πε r n Ze E n n = − 2 2 ~ 2 1 1 k n γnk Z R n = k +1