习题 12-1.一半径为010米的孤立导体球,已知其电势为100V(以无穷远为零电势),计算 球表面的面电荷密度 解:U 4TeR UE_100×885×102 =8.85×10 R 0.1 122.两个相距很远的导体球,半径分别为r=60cm,n2=120cm,都带有3×10-8C 的电量,如果用一导线将两球连接起来,求最终每个球上的电量 解:半径分别为r1的电量为,n2电量为q2 4πeo14mE。l2 q1+q2=6×10-8 联立 q1=2×10-8C g2=4×10°C 12-3.有一外半径为R1,内半径R2的金属球壳,在壳内有一半径为R3的金属球,球壳 和内球均带电量q,求球心的电势 解: E1=0 R3 E, R3 <r<R, E3=0 R2<r<R E R E,·dr E,·dr E,·dr E,·dr 3 R3 4Ter 1 teAr q(1-1+2 4ITEo R, R2 R, 12-4.一电量为q的点电荷位于导体球壳中心,壳的内外半径分别为R1、R2·求球壳 内外和球壳上场强和电势的分布,并画出E~r和V~P曲线 解:E1 0<r<R1
91 习题 12-1. 一半径为 0.10 米的孤立导体球，已知其电势为 100V (以无穷远为零电势)，计算 球表面的面电荷密度． 解： 4 0 0 ε σR πε R Q U = = 9 2 12 0 8.85 10 0.1 100 8.85 10 C m R Uε σ − − = = = 12-2. 两个相距很远的导体球，半径分别为 r1 = 6.0cm，r2 =12.0cm ，都带有 3 10 C −8 的电量，如果用一导线将两球连接起来，求最终每个球上的电量． 解：半径分别为 1 r 的电量为， 2 r 电量为 2 q 0 2 2 0 1 1 4 4πε r q πε r q = （1） 8 1 2 6 10− q + q = （2） 联立 q C 8 1 2 10− = q C 8 2 4 10− = 12-3. 有一外半径为 R1 ，内半径 R2 的金属球壳，在壳内有一半径为 R3 的金属球，球壳 和内球均带电量 q ，求球心的电势． 解： E1 = 0 R3 r 2 0 2 4πε r q E = 3 R2 R r E3 = 0 2 R1 R r 2 0 4 4 2 πε r q E = R1 r = • + • + • + • 1 2 3 1 2 3 0 0 R R R R R R U E dr E dr E dr E dr 1 2 3 4 dr πε r q dr πε r q R R R = + 1 2 3 2 0 2 0 4 2 4 ) 1 1 2 ( 4πε0 R3 R2 R1 q = − + 12-4. 一电量为 q 的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为 R1、 R2 ．求球壳 内外和球壳上场强和电势的分布，并画出 E ~ r 和 V ~ r 曲线. 解： 2 0 1 4πε r q E = 0 R1 r
E2 R R E r>R 0R Q+q=9×103N E.24Q+4d=4x ∫E,d=」 q =900V (2)R<r<R2E2 =7.5×104N =1.64×103V 4 4Eo r R2 4TEoR3 (3)r<RE1=0 U q dr+ d u 1、2+4=2.54×10V R, 4T8 I R2 4TEoR
92 E2 = 0 1 R2 R r 2 0 3 4πε r q E = R2 r 0 R1 r = + 2 1 2 0 2 4 0 R 4 R r dr πε r q dr πε r q U ) 1 1 1 ( 4 0 R1 R2 πε r q = − + 1 R2 R r 0 2 2 0 2 4 4πε R q dr πε r q U R = = R2 r πε r q dr πε r q U r 0 2 0 4 4 = = 12-5. 半径 1 R m = 0.05 , ，带电量 8 q 3 10 C− = 的金属球，被一同心导体球壳包围，球 壳内半径 2 R m = 0.07 ，外半径 3 R m = 0.09 ，带电量 8 Q 2 10 C− = − 。试求距球心 r 处的 P 点的场强与电势。（1）r=0.10m（2）r=0.06m（3）r=0.03m 解： 1 E = 0 1 r R 2 2 0 4 q E r = R r R 1 2 3 E = 0 R r R 2 3 4 2 0 4 Q q E r + = 3 r R （1） 3 r R 3 4 2 0 9 10 N 4 Q q E r + = = 2 0 0 900V r r 4 4 Q q Q q U d d r r + + = • = = = E r r 4 （2） R r R 1 2 4 2 2 0 7.5 10 N 4 q E r = = 2 3 3 2 2 0 0 0 2 0 3 1 1 ( ) 1.64 10 V 4 4 4 4 R r R q Q q q Q q U dr dr r r r R R + + = + = − + = （3） 1 r R 1 E = 0 2 1 3 3 2 2 0 0 0 1 2 0 3 1 1 ( ) 2.54 10 V 4 4 4 4 R R R q Q q q Q q U dr dr r r R R R + + = + = − + =
12-6.两块带有异号电荷的金属板A和B,相距50mm,两板面积都是150cm2,电 量分别为±266×10C,A板接地,略去边缘效应,求:(1)B板的电势;(2)AB间 离A板l0mm处的电势 2.66×10 =2×105V 885×10-2×150×10 UB=-Ed=2×10-3×5×103=-1000V 离A板l0mm处的电势U=-Ed=2×10-°×1×10-=-200 12-7.实验表明,在靠近地面处有相当强的电场E垂直于地面向下,大小约为130Vm 在离地面15km的高空的场强也是垂直向下,大小约为25Vm (1)试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面) (2)计算从地面到1.5km高空的空气中的平均电荷密度 解:(1)E 考虑到电场E垂直于地面向下,故E=130V/m EE=-885×1012×130=-1.15×10°C/m (2)△E Pmdr ph 4 E0 4 E△E8.85×10 12×(130-25) 1.5×103 =62×103C/m3 12-8.同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成,设内圆 柱半径为R1,电势为V,外圆筒的内半径为R2,电势为V2求其离轴为r处(R1<r<R2) 的电势 解:E V1-V2= d 2xe0(V1-V2) h(R2/R1)
93 12-6. 两块带有异号电荷的金属板 A 和 B ，相距 5.0mm ，两板面积都是 2 150cm ，电 量分别为 2.66 10 C −8 ， A 板接地，略去边缘效应，求：（1） B 板的电势；（2） AB 间 离 A 板 1.0mm 处的电势. 解： V m ε σ E 5 12 4 8 0 2 10 8.85 10 150 10 2.66 10 = = = − − − UB Ed 2 10 5 10 1000V 5 3 = − = = − − − 离 A 板 1.0mm 处的电势 U Ed 2 10 1 10 200V 5 3 = − = = − − − 12-7. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场 E 垂直于地面向下，大小约为 130V/m . 在离地面 1.5km 的高空的场强也是垂直向下，大小约为 25V/m . （1）试估算地面上的面电荷密度(设地面为无限大导体平面)； （2）计算从地面到 1.5km 高空的空气中的平均电荷密度． 解：（1） 0 ε σ E = 考虑到电场 E 垂直于地面向下，故 E=-130V/m 12 9 2 0 E C m 8.85 10 130 1.15 10 − − = = − = − （2） 0 2 0 2 2 0 4 4 4 h r r dr r dV E R h R R h R = = = + + 13 3 3 12 0 6.2 10 1.5 10 8.85 10 (130 25) C m h E − − = − = = 12-8. 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱(内)和圆筒(外)构成，设内圆 柱半径为 R1 ，电势为 V1 ，外圆筒的内半径为 R2 ，电势为 V2 .求其离轴为 r 处( R1 < r < R2 ) 的电势． 解： πε r λ E 2 0 = 1 2 0 0 1 2 ln 2 2 2 1 R R πε λ dr πε r λ V V R R − = = ln( ) 2 ( ) 2 1 0 1 2 R R πε V V λ − =
R1 =H-(-12)(rR) h(R2/R1) 129.半径分别为a和b的两个金属球,它们的间距比本身线度大得多,今用一细导线 将两者相连接,并给系统带上电荷Q,求: (1)每个求上分配到的电荷是多少?(2)按电容定义式,计算此系统的电容 解:(1),qn qb 4mEn4εo qa+q=Q a+6 g=gl a+b (2)根据电容的定义:c===4ms0(a+b) q2 12-10.图示一球形电容器,在外球壳的半径b及内外导体间的电势差 U维持恒定的条件下,内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场 强度最小?求这个最小电场强度的大小 U=rE.dr=gdr=gb-a E b 4丌Uab 所以E Uab dE 要使内球表面附近的电场强度最小(r=a),必须满足 a?此时E=4U 12-11.一空气平板电容器,极板A、B的面积都是S,极板间距离为d.接上电源后, A板电势UA=,B板电势UB=0.现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导
94 0 1 1 0 1 ln 1 2 2 R r πε λ dr V πε r λ V V r R = − = − ln( ) ln( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 R R r R =V − V −V 12-9. 半径分别为 a 和 b 的两个金属球，它们的间距比本身线度大得多，今用一细导线 将两者相连接，并给系统带上电荷 Q，求： （1） 每个求上分配到的电荷是多少？（2）按电容定义式，计算此系统的电容. 解：（1） 0 0 4 4 a b a b q q r r = ① a b q q Q + = ② a Qa q a b = + b Qb q a b = + （2）根据电容的定义： 0 2 0 4 ( ) 4 Q Q c a b U q b = = = + 12-10. 图示一球形电容器，在外球壳的半径 b 及内外导体间的电势差 U 维持恒定的条件下，内球半径 a 为多大时才能使内球表面附近的电场 强度最小？求这个最小电场强度的大小． 解： 2 4 0 πε r Q E = ab b a πε Q dr πε r Q U d b a b a − = • = = 0 2 0 4 4 E r b a πε Uab Q − = 4 0 所以 2 (b a)r Uab E − = 要使内球表面附近的电场强度最小 （ r = a ），必须满足 = 0 da dE 2 b a = 此时 b U E 4 = 12-11. 一空气平板电容器，极板 A、 B 的面积都是 S ，极板间距离为 d ．接上电源后， A 板电势 UA =V ，B 板电势 UB = 0 ．现将一带有电荷 q 、面积也是 S 而厚度可忽略的导
体片C平行插在两极板的中间位置,如图所示,试求导体片C的电势 解:EA fos E=94+q=9+0 Eact+ Ec 而VC=EC 所以=1(+a 12-12.两金属球的半径之比为1:4,带等量的同号电荷.当两者的距离远大于两球半 径时,有一定的电势能.若将两球接触一下再移回原处,则电势能变为原来的多少倍? 解:接触之前的电势能W=Q2 Q 4Ter aTe L 接触之后两球电势相等电荷重新分布,设小金属球带电为q,大金属球带电为q g+q=20 4ICoR 4ICo R2 解得q=-Q d 4TE.L 254IeL 25 思考题 12-1.一平行板电容器,两导体板不平行,今使两板分别带有+q和-q的 电荷,有人将两板的电场线画成如图所示,试指出这种画法的错误,你认为电 场线应如何分布 答:应该垂直板面 12-2.在“无限大”均匀带电平面A附近放一与它平行,且有一定厚度的“无tm2 限大”平面导体板B,如图所示.已知A上的电荷面密度为+G,则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为多少? 答:G 12-3.充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F与两极板间的 电压U之间的关系是怎样的? 答:对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力
95 体片 C 平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片 C 的电势． 解： 0 0 ε σ ε S q E A A AC = = 0 0 ε σ σ ε S q q E A A CB + = + = 2 2 d E d V = EAC + CB 而 2 d VC = ECB 所以 ) 2 ( 2 1 0 d ε S q VC = V + 12-12. 两金属球的半径之比为 1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半 径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：接触之前的电势能 πε L Q dr πε r W Q L 0 2 2 0 2 0 4 4 1 = = 接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小金属球带电为 q ，大金属球带电为 q 4 0 1 4πε0R2 q πε R q = q + q = 2Q 解得 q Q 5 2 = q Q 5 8 = 0 0 2 0 2 0 25 16 25 4 16 4 4 1 W πε L Q πε L qq dr πε r W qq L = = = = 思考题 12-1. 一平行板电容器，两导体板不平行，今使两板分别带有 + q 和− q 的 电荷，有人将两板的电场线画成如图所示，试指出这种画法的错误，你认为电 场线应如何分布. 答：应该垂直板面 12-2. 在“无限大”均匀带电平面 A 附近放一与它平行，且有一定厚度的“无 限大”平面导体板 B ，如图所示．已知 A 上的电荷面密度为 + ，则在导体板 B 的两个表面 1 和 2 上的感生电荷面密度为多少？ 答： 2 1 = − 2 2 = 12-3．充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力 F 与两极板间的 电压 U 之间的关系是怎样的？ 答：对静电能的求导可以求得电场作用于导体上的力
12-4.一个未带电的空腔导体球壳,内半径为R.在腔内离球心的距离 为d处(d<R),固定一点电荷+q,如图所示.用导线把球壳接地后,再 把地线撤去.选无穷远处为电势零点,则球心O处的电势为多少? 4丌ead4xeR 12-5.在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体A内,放一带有电 荷为+Q的带电导体B,如图所示则比较空腔导体A的电势UA和导体B 的电势UB时,可得什么结论? 答:UA和U都是等势体UA=4x53 4z5R34z5(R1R2
96 12-4．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 R ．在腔内离球心的距离 为 d 处( d < R )，固定一点电荷 + q ，如图所示. 用导线把球壳接地后，再 把地线撤去．选无穷远处为电势零点，则球心 O 处的电势为多少？ 答： πε R q πε d q U 0 0 0 4 4 − = + 12-5. 在一个原来不带电的外表面为球形的空腔导体 A 内，放一带有电 荷为 + Q 的带电导体 B ，如图所示．则比较空腔导体 A 的电势 UA 和导体 B 的电势 UB 时，可得什么结论？ 答： UA 和 UB 都是等势体 4 0R3 Q U A = = + − 0 3 0 1 2 1 1 4 4 R R Q R Q UB
