习题 13-1.如图为半径为R的介质球,试分别计算下列 两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的 总和已知极化强度为P(沿x轴) (1)P=B0;(2)P=P 解:(1)q=σh=∮Pcos 由于P=B介质被均匀极化,所以q′=0 (2)在球面上任取一个球带 ods=Pcos ads - 2 Sine. Rde -2PoR coS 2&d(cos 0) 4TPR2 13-2.平行板电容器,板面积为100cm2,带电量±8.9×10C,在两板间充满电介质 后,其场强为14×10°Vm,试求:(1)介质的相对介电常数E;(2)介质表面上的极化电 荷密度 解:(1)E 8.9×10-7 E0ES8.85×10 14×10°×100×10-7.18 (2)o'=P=D-5E=1=66×10C/m2 13-3.面积为S的平行板电容器,两板间距为d,求:(1)插入厚度为一,相对介电常 数为E.的电介质,其电容量变为原来的多少倍?(2)插入厚度为的导电板,其电容量又 变为原来的多少倍? 解:(1)Co=sS EL E, -d+ EoE,s 3
x y O 习题 13-1. 如图为半径为 R 的介质球，试分别计算下列 两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的 总和.已知极化强度为 P(沿 x 轴). （1） P = P0 ；（2） R x P = P0 . 解：（1） q = ds = Pcosds 由于 P = P0 介质被均匀极化，所以 q = 0 （2）在球面上任取一个球带 2 0 0 cos 2 2 sin x q ds P ds P R Rd R = = = 2 cos (cos ) 0 1 2 P0R d = − 2 0 4 3 PR = 13-2. 平行板电容器，板面积为 2 100cm ，带电量 8.9 10 C −7 ，在两板间充满电介质 后，其场强为 1.4 10 V/m 6 ，试求 ：（1）介质的相对介电常数 r (2)介质表面上的极化电 荷密度. 解：（1） S Q E r 0 = 7.18 8.85 10 1.4 10 100 10 8.9 10 12 6 4 7 0 = = = − − − ES Q r （2） 5 2 0 1 (1 ) 7.66 10 r Q P D E C m S − = = − = − = 13-3. 面积为 S 的平行板电容器，两板间距为 d ，求：（1）插入厚度为 3 d ，相对介电常 数为 r 的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为 3 d 的导电板，其电容量又 变为原来的多少倍？ 解：（1） d S C 0 0 = S Q E 0 1 = S Q E r 0 2 = 3 3 2 0 0 d S Q d S Q U r = +
Q_3805,S_3E U2dE.+d1+2 (2)插入厚度为一的导电板,可看成是两个电容的串联 3E。S C=CC2=35S=3 13-4.在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后,若已知自由电荷与极化 电荷的面电荷密度分别为ao与o(绝对值),试求:(1)电介质内的场强E;(2)相对介电 常数E 解:(1)∮E·dS= (σ0)S (2)E r E.==0.60=-0 E EoE 80 Oo-o Co 13-5.电学理论证明:一球形均匀电介质放在均匀外电场中会发生均匀极化若已知此极 化介质球的半径为R,极化强度为P求极化电荷在球心处产生的场强E 解:球面上极化电荷的面密度o=Pcos 球面上极化电荷元在球心处产生的场强dE= 由对称性可知只有场强的z分量对球心处的电场有贡献 dE =-dEcos 0 把球面分割成许多球带,它在球心处产生的场强 dE’=-dE'cosO=- o'(2xRsin A)RdB E2=-2oczkisn 2) kd cose= P
0 0 1 2 3 2 3 C d d S U Q C r r r r + = + = = （2）插入厚度为 3 d 的导电板，可看成是两个电容的串联 d S C C 0 1 2 3 = = 0 0 1 2 1 2 2 3 2 3 C d S C C C C C = = + = 13-4. 在两个带等量异号电荷的平行金属板间充满均匀介质后，若已知自由电荷与极化 电荷的面电荷密度分别为 0 与 (绝对值)，试求：（1）电介质内的场强 E ；（2）相对介电 常数 r . 解：（1） 0 0 ( )S d − • = E S ' 0 0 ( ) E − = （2） 0 0 r E = 0 0 0 0 0 0 0 0 r E = = = − − 13-5. 电学理论证明：一球形均匀电介质放在均匀外电场中会发生均匀极化.若已知此极 化介质球的半径为 R ，极化强度为 P .求极化电荷在球心处产生的场强 E . 解：球面上极化电荷的面密度 σ = Pcosθ 球面上极化电荷元在球心处产生的场强 2 4πε0R dq dE = 由对称性可知只有场强的 z 分量对球心处的电场有贡献 dE dE θ Z = − cos 把球面分割成许多球带，它在球心处产生的场强 θ πε R σ πR θ Rdθ dE dE θ Z cos 4 (2 sin ) cos 2 0 = − = − = − = − 2 0 0 2 0 3 cos 4 (2 sin ) 2 π Z ε P θ πε R σ πR θ Rdθ E
13-6.一圆柱形电容器,外柱的直径为4cm,内柱的直径可以适当选择,若其间充满各 向同性的均匀电介质,该介质的击穿电场强度大小为E=200kV/cm·试求该电容器可能 承受的最高电压 解:E=_2 λ=2zrE ∫Ed=∫ 2redr=rto h. d=0oh-E0=06= R dr Umx =roEo -=-=147Kv 13-7.一平行板电容器,中间有两层厚度分别为d和d2的电介质,它们的相对介电常 数为E和E,极板面积为S,求电容量 解:D=D2 Q EL E2 U=Ed,+E,d2= s 88 s c=2= Eos d. d 13-8.计算均匀带电球体的静电能,设球体半径为R,带电量为Q 解:E1=g rR PEdv=o -4m-dr )24 4丌ER R 200 13-9.半径为20cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳,球壳的内外半径分别为
13-6. 一圆柱形电容器，外柱的直径为 4cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各 向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度大小为 E0 = 200kV/cm ．试求该电容器可能 承受的最高电压． 解： πεr λ E 2 = 2 0 λ = πεrE r R dr rE πεr λ U d R r R r ln 2 = = 0 = • E r = 0 dr dU 0 ln − E0 = 0 r R E e R r0 = KV e RE r R U r E ln 147 0 0 max = 0 0 = = 13-7. 一平行板电容器，中间有两层厚度分别为 1 d 和 2 d 的电介质，它们的相对介电常 数为 1 r .和 2 r ，极板面积为 S ，求电容量. 解： S Q D1 = D2 = = S Q E r 0 1 1 = S Q E r 0 2 2 = S Qd S Qd U E d E d r r 1 0 2 2 0 1 1 1 2 2 = + = + 1 2 1 2 0 r r d d S U Q C + = = 13-8. 计算均匀带电球体的静电能，设球体半径为 R , 带电量为 Q . 解： 3 0 1 4 R Qr E = r R 2 0 2 4 r Q E = r R r dr r Q r dr R Qr W E dV R R 2 2 2 0 2 2 0 0 3 0 0 2 0 ) 4 4 ( 2 ) 4 4 ( 2 2 = = + R Q 0 2 20 3 = 13-9. 半径为 2.0cm 的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为
40cm和50cm当内球带电量为30×108C时,求:(1)系统储存了多少电能?(2)用导 线把壳与球连在一起后电能变化了多少? 解:(1)E1=0 E, 4丌Er (r>R2,R<P<R1) 球与球壳之间的电能 H2n=51,Q,)4个8“” Eo/ 球壳外部空间的电能 W,=IJ E2d==0 Q-)24mb=Q2 8丌0R2 系统储存的电能W=W1+W=18.2×10-3J (2)球与球壳内表面所带电荷为0W1=0 外表面所带电荷不变W=W=8.1×10-J 13-10.球形电容器内外半径分别为R1和R2,充有电量Q.(1)求电容器内电场的总能 量:(2)证明此结果与按W。?C算得的电容器所储电能值相等 解:(1)E=_Q R <r<R H2E=2(C=)4m 1、g(R2-R) 8TEo R2 R 8TEoRR2 (2)球形电容器的电容C=45 R2-R1 W=199(R2-R) 结果一样 8TEORR 13-11.一平行板电容器的板面积为S,两板间距离为d,板间充满相对介电常数为E1的 均匀介质分别求出下述两种情况下外力所做的功:(1)维持两板上面电荷密度G不变而把
4.0cm 和 5.0cm.当内球带电量为 3.0 10 C −8 时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用导 线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1） E1 = 0 2 0 2 4 r Q E = ( , ) 2 R1 r R R r 球与球壳之间的电能 ) 1 1 ( 8 ) 4 4 ( 2 2 0 1 2 2 2 2 0 0 2 0 1 1 R R Q r dr r Q W E dV R R = = = − 球壳外部空间的电能 0 2 2 2 2 2 0 0 2 0 2 8 ) 4 4 ( 2 2 2 R Q r dr r Q W E dV R = = = 系统储存的电能 5 1 2 W W W J 18.2 10− = + = （2）球与球壳内表面所带电荷为 0 W1 = 0 外表面所带电荷不变 W W J 5 2 8.1 10− = = 13-10. 球形电容器内外半径分别为 R1 和 R2 ，充有电量 Q .（1）求电容器内电场的总能 量；（2）证明此结果与按 C Q W 2 e 2 1 = 算得的电容器所储电能值相等。 解：（1） 2 4 0 r Q E = 1 R2 R r 0 1 2 2 1 2 0 2 1 2 2 2 2 0 0 2 0 8 ( ) ) 1 1 ( 8 ) 4 4 ( 2 2 2 1 R R Q R R R R Q r dr r Q W E dV R R − = = = − = （2）球形电容器的电容 2 1 1 2 4 0 R R R R C − = 0 1 2 2 1 2 2 e 8 ( ) 2 1 R R Q R R C Q W − = = 结果一样 13-11. 一平行板电容器的板面积为 S ，两板间距离为 d ，板间充满相对介电常数为 r 的 均匀介质.分别求出下述两种情况下外力所做的功：（1）维持两板上面电荷密度 0 不变而把
介质取出:(2)维持两板上电压U不变而把介质取出 解:(1)板间充满均匀介质时W=505,ESd=1oaSd 取出介质后W2=E0E2Sd= 外力所做的功等于静电场能量的增加△W=W2-W=1cS (1--) E (2)板间充满均匀介质时W1=C2、1505U 1E。S 取出介质后W2=CU2= △W=H2-W 思考题 3-1.介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系? 答 Pcos 0 13-2.不同介质交界面处的极化电荷分布如何? 答 p=(P-P2)·En即在两种介质的交界面上,极化电荷的面密度等于两种介质的 极化强度的法向分量之差。 3-3.介质边界两侧的静电场中D及E的关系如何? 答:在两种介质的交界面上,若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的,平 行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的,有突变 13-4.真空中两点电荷qA、qB在空间产生的合场强为E=EA+E3系统的电场能为 「EnE2d E0E·Edr ⅡEdr+2Edr+5E、,Eadn (1)说明等式后面三项能量的意义 (2)A、B两电荷之间的相互作用能是指哪些项 (3)将A、B两电荷从给定位置移至无穷远,电场力做功又是哪些项? 答:第一项表示点电荷A所形成的电场的能量,第二项是点电荷B所形成的电场的能量, 第三项是两个点电荷的相互作用能
介质取出；（2）维持两板上电压 U 不变而把介质取出. 解：（1）板间充满均匀介质时 r r Sd W E Sd 0 2 2 0 1 0 2 1 2 1 = = 取出介质后 0 2 2 0 2 0 2 1 2 1 Sd W = E Sd = 外力所做的功等于静电场能量的增加 ) 1 (1 2 1 0 2 0 2 1 r Sd W W W = − = − （2）板间充满均匀介质时 2 0 2 1 2 1 2 1 U d S W CU r = = 取出介质后 2 0 2 2 2 1 2 1 U d S W CU = = 0 2 2 1 1 (1 ) 2 r S W W W U d = − = − 思考题 13-1. 介质的极化强度与介质表面的极化面电荷是什么关系？ 答： σ = Pcosθ 13-2. 不同介质交界面处的极化电荷分布如何？ 答： 1 n1 = P • e 1 σ 2 n2 = P • e 2 σ 1 2 n = (P − P ) • e P 即在两种介质的交界面上，极化电荷的面密度等于两种介质的 极化强度的法向分量之差。 13-3. 介质边界两侧的静电场中 D 及 E 的关系如何？ 答：在两种介质的交界面上，若无自由电荷电位移矢量在垂直界面的分量是连续的，平 行于界面的分量发生突变。电场强度在垂直界面的分量是不连续的，有突变。 13-4. 真空中两点电荷 A q 、 B q 在空间产生的合场强为 E = EA + EB .系统的电场能为 d 2 1 d 2 1 0 2 e 0 0 0 = = E E V V W E = + + 0 0 0 d d 2 1 d 2 1 0 A B 2 0 B 2 0 A V V V E E E E . （1）说明等式后面三项能量的意义； （2） A、B 两电荷之间的相互作用能是指哪些项？ （3）将 A、B 两电荷从给定位置移至无穷远，电场力做功又是哪些项？ 答：第一项表示点电荷 A 所形成的电场的能量，第二项是点电荷 B 所形成的电场的能量， 第三项是两个点电荷的相互作用能