习题 6-1.直导线中通以交流电,如图所示,置于磁导率为的介质中 已知:I= I sin ot,其中l、@是大于零的常量求:与其共面的N匝矩 形回路中的感应电动势 d 2zr ull, d+a E=-Ndd Null d+acosot 16-2.如图所示,长直导线中通有电流I=50A,在与其相距 d=0.5cm处放有一矩形线圈,共1000匝,设线圈长l=40cm,宽1 a=20cm。不计线圈自感,若线圈以速度v=30cms沿垂直于长导线的 方向向右运动,线圈中的感生电动势多大? 解:cab=NB2hca=NBh =NB./v=HIN =192×10-4 2丌 2rd(d +a) 16-3.电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线,圆心角为 120°,几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长 直导线方向运动时,弧形导线中的动生电动势。 解:连接AO、OB,圆弧形导线与AO、OB形成闭合回 路,闭合回路的电动势为0,所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。 unlv C0=vX Bd= Holv in 2 v×Bd 2R Ao Wow,5 h15 AOOB 16-4.电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和2a的两个圆,如图所示,x
257 习题 16-1. 直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为 的介质中， 已知： I I sin t = 0 ，其中 I 0、 是大于零的常量.求：与其共面的 N 匝矩 形回路中的感应电动势. 解： 2 I B x = ln 2 2 d a d I I l d a ldx x d + + = = 0 ln cos 2 d d a N I l N t dt d + = − = − 16-2. 如图所示，长直 导线中 通有电流 I = 5.0A ，在与 其相距 d = 0.5cm 处放有一矩形线圈，共 1000 匝，设线圈长 l = 4.0cm ，宽 a = 2.0cm 。不计线圈自感，若线圈以速度 v = 3.0cm/s 沿垂直于长导线的 方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？ 解： ε NB lv ab = 2 ε NB lv dc = 1 dc ab ε = ε − ε 0 0 4 1 2 1 1 ( ) 1.92 10 2 2 ( ) IN IalvN NB lv NB lv lv d d a d d a − = − = − = = + + 16-3. 电流为 I 的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为 120 ，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度 v 平行于长 直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解：连接 AO、OB ，圆弧形导线与 AO、OB 形成闭合回 路，闭合回路的电动势为 0，所以圆弧形导线电动势与 AOB 直导线的电动势相等。 ln 2 2 2 0 2 0 π μ Iv dx πx μ Iv ε d R R AO = • = − = − v B l 4 5 ln 2 2 2 0 5 2 0 π μ Iv dx πx μ Iv ε d R R OB = • = − = − v B l 2 5 ln 2 0 π μ Iv ε ε ε AB = AO + OB = − 16-4. 电阻为 R 的闭合线圈折成半径分别为 a 和 2a 的两个圆，如图所示
将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内,磁感应强度按B= B. sin ot的规律变化。已知 a=10cm,B0=2×102T,O=50rads,R=102,求线圈中感应电流的最大值 =51c1 db 37a Bocos at rr dt R [-m2+r(2a)2] dt 2Bo3×0.12×2×10 =942×10-3A R dB 16-5.如图所示,半径为a的长直螺线管中,有一>0的磁场,一直 导线弯成等腰梯形的闭合回路 ABCDA,总电阻为R,上底为a,下底为 2a,求:(1)AD段、BC段和闭合回路中的感应电动势;(2)B、C两 点间的电势差U-Ul。。 E, ra dB E1·= Ecos edl dB a2-(% dt 同理E 整个闭合回路的电动势E=EBC-EAD=( 逆时针方向 dB 16-6.圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体,半径为R,高为h, dB 电阻率为p,如图所示。若匀强磁场以=k(k>0,k为恒量)的规律变化
258 将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按 B B sin t = 0 的规律变化。已知 a =10cm， 2 10 T 2 0 − B = ， = 50rad/s ， R =10 ，求线圈中感应电流的最大值。 R a B t dt dB a a dt R d R R I 3 cos [ (2 ) ] 1 1 0 2 2 2 = − + = = = A R a B I 3 2 2 0 2 max 9.42 10 10 3 3 0.1 2 10 50 − − = = = 16-5. 如图所示，半径为 a 的长直螺线管中，有 0 d d t B 的磁场，一直 导线弯成等腰梯形的闭合回路 ABCDA ，总电阻为 R ，上底为 a ，下底为 2a ，求：（1） AD 段、 BC 段和闭合回路中的感应电动势；（2） B 、C 两 点间的电势差 UB −UC 。 解： dt dΦ • d = − E l dt r dB E = − 2 1 r a dt dB r a E = − 2 2 2 r a ε = • d = E θdl AD E l cos 1 dl r a a dt r dB a a 2 2 2 2 ) 2 ( 2 − = − dt dB a 2 4 3 = 同理 dt πa dB εBC d = • = 6 2 E l 2 整个闭合回路的电动势 dt πa a dB ε ε ε BC AD ) 4 3 6 ( 2 2 = − = − 逆时针方向 3 2 ( ) 10 B C dB U U a dt + − = − 16-6. 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为 R ，高为 h ， 电阻率为 ，如图所示。若匀强磁场以 ( 0, ) d d k k k为恒量 t B = 的规律变化
求圆柱体内涡电流的热功率 解:在圆柱体内任取一个半径为r,厚度为d,高为h的小圆柱通壁 d④ 电阻R=p e- h dB 02p at)2.=?R4 8 16-7.将金属薄片弯成如图所示回路,两端为半径为a的圆柱面,中间是边长为l,间 隔为d的两正方形平面,且l>>a,a>d.(1)试求该回 路的自感系数:(2)若沿圆柱面的轴向加变化磁场 B=B0+k,试求回路中的电流/().(回路中的电阻很小, 可忽略不计) 解￥:(1)B=m=p7 B2 1 B 丌a2+2d 根据W=-Ll 20xa2 L +uod dr d (2)=L d=S·dB S 2Ta+ld kt=_lkt 210xa2 0 6-8.一螺绕环,每厘米绕40匝,铁心截面积30cm2,磁导率 H=200{0,绕组中通有电流50mA,环上绕有二匝次级线圈,求:(1) 两绕组间的互感系数:(2)若初级绕组中的电流在0.10s内由50A降低到0, 次级绕组中的互感电动势。 解:(1)B=m=NBS=Mum1S
259 求圆柱体内涡电流的热功率. 解：在圆柱体内任取一个半径为 r ，厚度为 dr ，高为 h 的小圆柱通壁 dt dB πr dt dΦ ε 2 = = 电阻 hdr πr R ρ 2 = rdr dt dB ρ h R ε dP = = 2 ρ πhk R r dr dt dB ρ πh P R 8 ( ) 2 2 4 0 2 3 = = 16-7. 将金属薄片弯成如图所示回路，两端为半径为 a 的圆柱面，中间是边长为 l ，间 隔为 d 的两正方形平面，且 l a，a d .（1）试求该回 路 的 自感 系 数；（2 ） 若沿 圆柱 面 的轴 向加 变 化磁 场 B = B + kt 0 ，试求回路中的电流 I(t) .（回路中的电阻很小， 可忽略不计） 解：（1） l I B = μ0 nI = μ0 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 2 B B W wV a l l d = = + 2 0 2 2 0 1 2 I a I d l = + 根据 2 2 1 W = LI 2 0 0 2 a L d l = + （2） dt dΦ dt dI ε = L = dΦ = S dB 2 2 0 0 0 2 2 S a ld lkt I kdt kt L a d l + = = = − + 16-8. 一螺绕环，每厘米绕 40 匝，铁心截面积 2 3.0cm ，磁导率 = 2000 ，绕组中通有电流 5.0mA ，环上绕有二匝次级线圈，求：（1） 两绕组间的互感系数；（2）若初级绕组中的电流在 0.10s 内由 5.0A 降低到 0， 次级绕组中的互感电动势。 解：（1） B = μnI Φ = NBS = NμnIS
4、=MS=2×200×4×107×40×102×3×10-4=603×10-H (2)E=M d 5-0 603×10-4× 3.02×10-2V 16-9.如图,半径分别为b和a的两圆形线圈(b>a),在t=0时共面放置,大圆形线 圈通有稳恒电流I,小圆形线圈以角速度O绕竖直轴转动,若小圆形线圈的电阻为R 求:(1)当小线圈转过90°时,小线圈所受的磁力矩的大小:(2)从初始时刻转到该位 置的过程中,磁力矩所做功的大小 解:B_A 任一时间穿过小线圈的磁通量Φ=Bma2 cos ot 26 的电2m bora sin (r R Bora 时 R M= Bp R 4 Rb w=(ima'Bd0=B-['sin20d0=-Bom a=Ho om a 16 Rb 16-10.一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成,两者半径分别 为R和R,导体圆柱的磁导率为A,简与圆柱之间充以磁导率为2的磁介 质。电流/可由中心圆柱流出,由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。 解:B=A1b <R 2 B R <r<R, Bdv=32u lr 7r )2·2rdh 11 2,R W=L2/2
260 NμnS π H I Φ M 7 2 4 4 2 200 4 10 40 10 3 10 6.03 10 − − − = = = = （2） V dt dI ε M 4 2 3.02 10 0.1 5 0 6.03 10− − = − = = 16-9. 如图，半径分别为 b 和 a 的两圆形线圈（ b >> a ），在 t = 0 时共面放置，大圆形线 圈通有稳恒电流 I，小圆形线圈以角速度 绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为 R ， 求：（1）当小线圈转过 90 时，小线圈所受的磁力矩的大小；（2）从初始时刻转到该位 置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解： b μ I B 2 0 = 任一时间穿过小线圈的磁通量 Φ Bπa cosωt 2 = 小线圈的感应电流 ωt R Bωπa dt dΦ R R ε i sin 1 2 = = = 当 2 π ωt = 时 R Bωπ a pm iπa 2 4 2 = = 2 2 2 2 4 0 2 2 4 4Rb μ I ωπ a R B ωπ a M = Bpm = = 2 2 2 3 4 0 2 2 4 2 0 2 2 2 2 16 sin Rb μ I ωπ a R B ωπ a θdθ R B ωπa W iπa Bdθ π = = = − = 16-10. 一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别 为 R1 和 R2 ，导体圆柱的磁导率为 1 ，筒与圆柱之间充以磁导率为 2 的磁介 质。电流 I 可由中心圆柱流出，由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。 解： 2 1 1 1 2πR μ Ir B = R1 r πr μ I B 2 2 2 = 1 R2 R r 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 m B B B W dV dV dV = = + 1 2 1 1 2 2 2 2 0 1 1 2 1 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 2 R R R Ir I rdr rdr R r = + 2 2 1 2 2 1 ln 16 4 I I R R = +2 / 2 W LI m =
单位长度自感L=+mnR r 6-11.一电感为2OH,电阻为10g的线圈突然接到电动势E=100V,内阻不计的电 源上,在接通0.s时,求:(1)磁场总储存能量的增加率;(2)线圈中产生焦耳热的速率 (3)电池组放出能量的速率。 解:(1)I(1)=(1-e)=3.9A W()=L2 dW(1) =LI (1-e)e=238J/s (2)P=2R=392×10=152J/s (3)电池组放出能量的速率P=lE=390J/s 16-12.在一对巨大的圆形极板(电容C=1.0×10-F)上,加上频率为50Hz,峰值 为1.74×105V的交变电压,计算极板间位移电流的最大值。 mn=OCUm=2xfUm=2n×50×10×10-1×1.74×105=546×10-5A 思考题 16-1.图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接,线圈面积 为A,匝数为N,电阻为R,其法向n与该处磁场方向相同,将小线圈迅速取出磁场时, 冲击电流计测得感应电量为q,试求小线圈所在位置的磁感应强度 解:q=」t=[a4NBA R R R NA 接冲击电流计 16-2.图中abcl电路有电阻R,其中bc段的一部分绕成圆形,圆形区域有一与回路 平面垂直的均匀磁场B,在圆形导线的一边施加恒力F,由于a端 固定,假定该圆开始的半径为r,并维持以圆形的方式收缩,设导aR 线非常柔软,忽略导线的质量,问需要多长的时间圆形部分完全闭 合?
261 单位长度自感 1 2 2 1 ln 8 2 R L R = + 16-11. 一电感为 2.0H ，电阻为 10Ω 的线圈突然接到电动势 =100V ，内阻不计的电 源上，在接通 0.1s 时，求：（1）磁场总储存能量的增加率；（2）线圈中产生焦耳热的速率； （3）电池组放出能量的速率。 解：（1） e A R ε I t t L R ( ) = (1− ) = 3.9 − 2 2 1 W (t) = LI e e J s R ε εIe dt dI LI dt dW t t L R t L R t L R (1 ) 238 ( ) 2 = = = − = − − − （2） P I R 3.9 10 152 J s 2 2 = = = （3）电池组放出能量的速率 P = Iε = 390 J s 16-12. 在一对巨大的圆形极板（电容 1.0 10 F −12 C = ）上，加上频率为 50Hz ，峰值 为 1.74 10 V 5 的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。 解： ωCU ωt dt dU I D C m = = − sin ω = 2πf 12 5 5 2 2 50 1.0 10 1.74 10 5.46 10 Dm m m I CU fCU A − − = = = = 思考题 16-1. 图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积 为 A ，匝数为 N ，电阻为 R ，其法向 n 与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时， 冲击电流计测得感应电量为 q ，试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解： R NBA R ΔΦ εdt R q = Idt = = = 1 NA Rq B = 16-2. 图中 abcda 电路有电阻 R ，其中 bc 段的一部分绕成圆形，圆形区域有一与回路 平面垂直的均匀磁场 B ，在圆形导线的一边施加恒力 F ，由于 a 端 固定，假定该圆开始的半径为 0 r ，并维持以圆形的方式收缩，设导 线非常柔软，忽略导线的质量，问需要多长的时间圆形部分完全闭 合？
3RF 16-3.在磁感应强度为B的均匀磁场内,有一面积为S的矩形线框,线框回路的电阻为 R(忽略自感),线框绕其对称轴以匀角速度O旋转(如图所示)。 (1)求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大? (2)为维持线框匀角速度转动,外力矩对线框每转一周需作的功为多少? (a) 答:d= BS cos= BS cos ot BSosin ot =/=RBS Sin or M=Bp w=Mde=DB2S2osin20d=DB2S2or 16-4.一平板电容器充电以后断开电源,然后缓慢拉开电容器两极板的间距,则拉开过 程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压,则在缓慢拉开电容器两 极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流,则它的方向怎样? dt 16-5.图a为一量值随时间减小,方向垂直纸面向内的变化电场, 均匀分布在圆柱形区域内试在图b中画出: (1)位移电流的大致分布和方向 (2)磁场的大致分布和方向。 16-6.试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式: (1)电力线起始于正电荷终止于负电荷 (2)磁力线无头无尾 (3)变化的电场伴有磁场 (4)变化的磁场伴有电场 解:(1)5D·=∑q (2)中B·d=0
262 答： 3 0 2 3 2 r RF πB t = 16-3. 在磁感应强度为 B 的均匀磁场内，有一面积为 S 的矩形线框，线框回路的电阻为 R （忽略自感），线框绕其对称轴以匀角速度 旋转（如图所示）。 （1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？ （2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？ 答： Φ = BS cosφ = BS cosωt BSω ωt R R ε I sin 1 = = BS ω ωt R pm IS sin 1 2 = = B S ω ωt R M Bp ωt m 2 2 2 sin 1 = sin = = = = π B S ωπ R B S ω θdθ R W Mdθ 2 0 2 2 2 1 2 2 sin 1 16-4. 一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过 程中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两 极板间距的过程中两极板间有无位移电流?若有位移电流，则它的方向怎样? 答： dt dU I d = C ， 16-5. 图 a 为一量值随时间减小，方向垂直纸面向内的变化电场， 均匀分布在圆柱形区域内.试在图 b 中画出： （1）位移电流的大致分布和方向； （2）磁场的大致分布和方向。 答： 略 16-6. 试写出与下列内容相应的麦克斯韦方程的积分形式： （1）电力线起始于正电荷终止于负电荷； （2）磁力线无头无尾； （3）变化的电场伴有磁场； （4）变化的磁场伴有电场。 解：（1） • = i S D dS q （2） • = 0 S B dS
(3)fHm=21+a aD (4)E·d=
263 （ 3 ） S tD H l S d I c d S • • = + （ 4 ） S tD E l S d d S • • = −