习题 1-1.已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r=R( cos oti+snot方 其中O为常量.求:(1)质点的轨道:(2)速度和速率 解:1)由x=R( cos ot+snoy)知 x=Rcos ot y=Rsin at 消去t可得轨道方程x2+y2=R2 dh-ORsin oti+oRosay v=[G-oRsin an)2+(aRcos or)21=oR 1-2.已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=4ti+(3+2t)j,式中r的 单位为m,t的单位为s.求:(1)质点的轨道:(2)从t=0到t=1秒的位移;(3) =0和t=1秒两时刻的速度。 解:1)由r=4ti+(3+2t)j可知 4t 消去t得轨道方程为:x=(y-3)
习 题 1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = R(cosωti+ sin ωtj) 其中 为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：1） 由 r = R(cosωti + sin ωtj) 知 x = R cosωt y = Rsin ωt 消去 t 可得轨道方程 2 2 2 x + y = R 2） j r v ωRsin ωt ωRcosωt dt d = = − i+ v = −ωR ωt + ωR ωt = ωR 2 1 2 2 [( sin ) ( cos ) ] 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r 4t i (3 2t) j 2 = + + ，式中 r 的 单位为 m，t 的单位为 s.求：（1）质点的轨道；（2）从 t = 0 到 t =1 秒的位移；（3） t = 0 和 t =1 秒两时刻的速度。 解：1）由 r 4t i (3 2t) j 2 = + + 可知 2 x = 4t y = 3 + 2t 消去 t 得轨道方程为： 2 x = (y − 3)
2)v===8ti+2 vdt 8ti+2jdt=4i+2j 3)v0)=2j 1-3.已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=t2i+2,式中r的单位为 m,t的单位为s求:(1)任一时刻的速度和加速度;(2)任一时刻的切向加速 度和法向加速度 dr 2)=[(2t)2+4]=2t2+1) dt√t2+1 1-4.一升降机以加速度a上升,在上升过程中有一螺钉从天花板上松落,升 降机的天花板与底板相距为d,求螺钉从天花板落到底板上所需的时间 解:以地面为参照系,坐标如图,升降机与螺丝的运动方程分别为 VI=volt=at (1) V2 VI=y
2） i j r v 8t 2 dt d = = + r vdt (8ti 2 j)dt 4i 2 j 1 0 1 0 = = + = + Δ 3） v(0) = 2 j v(1) = 8i + 2 j 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r t i 2tj 2 = + ，式中 r 的单位为 m，t 的单位为 s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速 度和法向加速度。 解：1） i j r v 2t 2 dt d = = + i v a 2 dt d = = 2） 2 1 2 2 1 2 v = [(2t) + 4] = 2(t +1) t 1 2t dt dv a 2 t + = = 2 2 2 2 1 n t a a a t = − = + 1-4. 一升降机以加速度 a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升 降机的天花板与底板相距为 d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 2 1 0 2 1 y = v t + at （1） 图 1-4 2 2 0 2 1 y = h + v t − gt （2） 1 2 y = y （3）
解之 1-5.一质量为m的小球在高度h处以初速度v水平抛出,求: (1)小球的运动方程; (2)小球在落地之前的轨迹方程 (3)落地前瞬时小球的 dt dt dt 解:(1)x=vot 式(1) h r(t=voti+(h--gt )j (2)联立式(1)、式(2)得 h-2、5 (3) vi-gj而落地所用时间t 所以d vi-√2ghj g√2gh dt [v2+(gt)2] (v2+2gh) 1-6.路灯距地面的高度为h1,一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行 走。试证明人影的顶端作匀速运动,并求其速度v2
解之 2d t g a = + 1-5. 一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 0 v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 dt dr ， dt dv ， t v d d . 解：（1） x v t = 0 式（1） 2 gt 2 1 y = h − 式（2） r i gt ) j 2 1 (t) v t (h - 2 = 0 + （2）联立式（1）、式（2）得 2 0 2 2v gx y = h − （3） i j r v - gt dt d = 0 而 落地所用时间 g 2h t = 所以 i j r v - 2gh dt d = 0 j v g dt d = − 2 2 0 2 y 2 x v = v + v = v + (−gt) 2 1 1 2 2 2 2 2 0 0 2 [ ( ) ] ( 2 ) dv g t g gh dt v gt v gh = = + + 1-6. 路灯距地面的高度为 1 h ，一身高为 2 h 的人在路灯下以匀速 1 v 沿直线行 走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度 2 v
证明:设人从O点开始行走,t时刻人影中足的坐标为x1,人影中头的坐标 为x2,由几何关系可得 图1-6 h 而 x2-x h 所以,人影中头的运动方程为 2≈hx1 ht h-h, h-h 人影中头的速度"2dh-h 1-7.一质点沿直线运动,其运动方程为x=2+4-2t2(m),在t从0秒到 3秒的时间间隔内,则质点走过的路程为多少? 解:v=一=4-4t若v=0解的t=ls dt Ax1=x1-x0=(2+4-2)-2=2m Ax3=x3-x1=(2+4×3-2×32)-(2+4-2)=-8m △x=x|+1x2|=10m 1-8.一弹性球直落在一斜面上,下落高度 h=20cm,斜面对水平的倾角b=30°,问它 第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远 (假设小球碰斜面前后速度数值相等,碰撞时人 射角等于反射角)。 图1-8
证明：设人从 O 点开始行走，t 时刻人影中足的坐标为 1 x ，人影中头的坐标 为 2 x ，由几何关系可得 图 1-6 2 1 2 1 2 h h x x x = − 而 x v t 1 = 0 所以，人影中头的运动方程为 0 1 2 1 1 2 1 1 2 v h h h t h h h x x − = − = 人影中头的速度 0 1 2 2 1 2 v h h h dt dx v − = = 1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为 2 x = 2 + 4t − 2t (m)，在 t 从 0 秒到 3 秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？ 解： t dt dx v = = 4 − 4 若 v = 0 解的 t =1s x1 = x1 − x0 = (2 + 4 − 2) − 2 = 2m x x x (2 4 3 2 3 ) (2 4 2) 8m 2 3 = 3 − 1 = + − − + − = − x = x1 + x2 =10m 1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度 h = 20cm ，斜面对水平的倾角 = 30 ，问它 第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远 (假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人 射角等于反射角)。 图 1-8
解:小球落地时速度为vo=√2gh 建立直角坐标系,以小球 第一次落地点为坐标原点如图 y=y COs 60 x=vo cos 60t+=gcos 60t o= Vo sin 60 y=vo sin 60[-gsin 60[ (2) 第二次落地时y=0 g 所以 x=vo cos 60t+. o cos/'s 2v2 0.8m 1-9.地球的自转角速度最大增加到若干倍时,赤道上的物体仍能保持在地球 上而不致离开地球?己知现在赤道上物体的向心加速度约为34cm/s2,设赤道上 重力加速度为980ms2 解:赤道上的物体仍能保持在地球必须满足g=Ro2 现在赤道上物体o’=34×10 R 9.8 3.4×10 1-10.已知子弹的轨迹为抛物线,初速为vn,并且va与水平面的夹角为b 试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解:在顶点处子弹的速度v= V. cOs6,顶点处切向加速度为0
解：小球落地时速度为 v0 = 2gh 一 建立直角坐标系，以小球 第一次落地点为坐标原点如图 0 vx0 = v0 cos 60 0 0 2 0 cos60 2 1 x = v cos60 t + g t （1） 0 vy0 = v0 sin 60 0 0 2 0 sin 60 2 1 y = v sin 60 t − g t （2） 第二次落地时 y = 0 g v t 2 0 = 所以 m g v x v t g t 0.8 2 cos60 2 1 cos60 2 0 0 2 0 = 0 + = = 1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球 上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为 2 3.4cm/s ，设赤道上 重力加速度为 2 9.80m/s . 解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足 2 g = R 现在赤道上物体 R 2 3.4 10− = 17 3.4 10 9.8 2 = = − 1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为 0 v ，并且 0 v 与水平面的夹角为 . 试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：在顶点处子弹的速度 v = v0 cos ，顶点处切向加速度为 0
因此有:g=一= (vo cos 8) Ds o cos 8 g 在落地点速度为 g cose= 1-11.飞机以v=100m/s的速度沿水平直线飞行,在离地面高h=98m时, 驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上,问:投放物品时,驾驶员看目标的视 线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远? 解:设此时飞机距目标水平距离为x有:x=v01h=gt2 联立方程解得:x≈447m6= arctan≈77.5° 1-12.设将两物体A和B分别以初速v4和vg抛掷出去.v4与水平面的夹角 为a;vB与水平面的夹角为B,试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是 常矢量 解:两个物体在任意时刻的速度为 va=vo cosai+(vo sin a-gt)j vo cos Bi+(vosinB-gt)j v-, (vo cos B-vo cos a)i+(vo sin B-vo sin a)j 与时间无关,故B相对物体A的速度是常矢量。 1-13.一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动,物体初速为 v=490m/s,而气球以速度v=196m/s匀速上升,问气球中的观察者在第
因此有： 2 0 2 v (v cos ) g = = g v 2 2 0 cos = 在落地点速度为 0 v 2 0 cos v g = cos 2 0 g v = 1-11. 飞机以 100m/s v0 = 的速度沿水平直线飞行，在离地面高 h = 98m 时， 驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视 线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远? 解：设此时飞机距目标水平距离为 x 有： x v t = 0 2 2 1 h = gt 联立方程解得： x 447m 0 = arctan 77.5 h x 1-12. 设将两物体 A 和 B 分别以初速 A v 和 B v 抛掷出去． A v 与水平面的夹角 为 ； B v 与水平面的夹角为 ，试证明在任何时刻物体 B 相对物体 A 的速度是 常矢量。 解：两个物体在任意时刻的速度为 v i j A cos ( sin ) v0 v gt = + 0 − v i j B cos ( sin - gt) = v0 + v0 v v v i j BA A - ( cos cos ) ( sin sin ) = B = v0 − v0 + v0 − v0 与时间无关，故 B 相对物体 A 的速度是常矢量。 1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为 49.0m/s v0 = ，而气球以速度 v =19.6m/s 匀速上升，问气球中的观察者在第
二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少? 物体在任意时刻的速度表达式为vy=V0-gt 故气球中的观察者测得物体的速度△y=v,-v 代入时间t可以得到第二秒末物体速度△v=9.8 第三秒末物体速度=0 第四秒末物体速度v=-9.8m 1-14.质点沿x在轴向运动,加速度a=-kv,k为常数.设从原点出发时速 度为v0,求运动方程x=x() 解: k∫h kdt v=vee =Voe d x dt 1-15.跳水运动员自10m跳台自由下落,入水后因受水的阻碍而减速,设加 速度a=-ky2,k=0.4m-1.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度 解:取水面为坐标原点,竖直向下为x轴 跳水运动员入水速度vn=√2gh=14m dv cu x=-h10=5.76m
二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 物体在任意时刻的速度表达式为 v v gt y = 0 − 故气球中的观察者测得物体的速度 v v v = y − 代入时间 t 可以得到第二秒末物体速度 s v = 9.8m 第三秒末物体速度 v = 0 第四秒末物体速度 s v = −9.8m 1-14. 质点沿 x 在轴向运动，加速度 a = −kv，k 为常数．设从原点出发时速 度为 0 v ，求运动方程 x = x(t). 解： kv dt dv = − = − v t v dv kdt v0 0 1 k t v v e − = 0 k t v e dt dx − = 0 dx v e dt k t x t − = 0 0 0 (1 ) 0 k t e k v x − = − 1-15. 跳水运动员自 10m 跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加 速度 2 a = −kv ， 1 0.4m − k = .求运动员速度减为入水速度的 10%时的入水深度。 解：取水面为坐标原点，竖直向下为 x 轴 跳水运动员入水速度 s v 2gh 14m 0 = = dx dv v dt dv − kv = = 2 = − x v v dv kdx v 0 10 0 0 1 m k x ln 10 5.76 1 = =
1-16.一飞行火箭的运动学方程为:x=M1+l(-1)(1-b),其中b是 与燃料燃烧速率有关的量,u为燃气相对火箭的喷射速度。求:(1)火箭飞行速 度与时间的关系;(2)火箭的加速度 解:(1) dt dv ub 11)质点的运动方程为:x=Rc0m,y= Rsin ot,=hm,式 2 中R、h、O为正的常量。求:(1)质点运动的轨道方程:;(2)质点的速度大小 (3)质点的加速度大小 解:(1)轨道方程为x2+y2=R2 这是一条空间螺旋线。 在Oxy平面上的投影为圆心在原点,半径为R的圆,螺距为h (2)V =-Rosin ot R (3)a=-Ro cos ot a =-Ro sin ot a =0 R 思考题 1-1.质点作曲线运动,其瞬时速度为ν,瞬时速率为v,平均速度为ν,平 均速率为ν,则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?
1-16. 一飞行火箭的运动学方程为： )ln(1 ) 1 ( t bt b x = ut + u − − ，其中 b 是 与燃料燃烧速率有关的量， u 为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速 度与时间的关系；（2）火箭的加速度。 解：（1） u ln(1 bt) dt dx v = = − − （2） bt ub dt dv a − = = 1 1-17. 质点的运动方程为： , 2 cos , sin , t h x R t y R t z = = = 式 中 R、h、 为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小； （3）质点的加速度大小。 解：（1）轨道方程为 2 2 2 x + y = R t h z 2 = 这是一条空间螺旋线。 在 O xy 平面上的投影为圆心在原点，半径为 R 的圆，螺距为 h （2） R t dt dx vx = = − sin 2 2 2 2 2 2 4 h v = vx + vy + vz = R + （3） a R t x cos 2 = − a R t y sin 2 = − az = 0 2 2 2 a = ax + ay = R 思考题 1-1. 质点作曲线运动，其瞬时速度为 v ，瞬时速率为 v ，平均速度为 v ，平 均速率为 v ，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?
1)=y=:(2)≠=:(3)叫=同≠v:(4)≠,≠ (3)
（ 1 ） v = v , v = v ；（ 2 ） v v , v = v ；（ 3 ） v = v , v v ；（ 4 ） v v , v v 答： （ 3 ）
1-2.质点的x~t关系如图,图中a,b,C三条线表示三x 个速度不同的运动.问它们属于什么类型的运动?哪一个速 度大?哪一个速度小? 答:va>vb>v 1-3.结合ν~t图,说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。 答:平均加速度表示速度△v在Mt时间内的平均变化率,它只能粗略地反映 运动速度的变化程度和方向,而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方 向 1-4.运动物体的加速度随时间减小,而速度随时间增加,是可能的吗? 答:是可能的。加速度随时间减小,说明速度随时间的变化率减小。 1-5.如图所示 两船A和B相距R,分别以速度ν和ν匀速直线行驶,它们会不会相碰?若不 相碰,求两船相靠最近的距离.图中a和B为已知。 答:方法一如图,以A船为参考系,在该参考系中船A是静止的,而船B 的速度v=vB-v4 v'是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v方向的直线BC,它不与 船A相交这表明两船不会相碰 由A作BC垂线AC,其长度r就是两船相靠最近的距离rn=Rsn 作FDAB构成直角三角形DEF故有 sin 0=8 sn p-v, sin a 在三角形BEF中,由余弦定理可得
1-2. 质点的 x ~ t 关系如图，图中 a ，b ，c 三条线表示三 个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速 度大？哪一个速度小？ 答： a b c v v v 1-3. 结合 v ~ t 图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。 答：平均加速度表示速度 v 在 t 时间内的平均变化率，它只能粗略地反映 运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方 向。 1-4. 运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？ 答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。 1-5. 如图所示， 两船 A 和 B 相距 R ，分别以速度 A v 和 B v 匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不 相碰，求两船相靠最近的距离．图中 和 为已知。 答：方法一 如图，以 A 船为参考系，在该参考系中船 A 是静止的，而船 B 的速度 A v v v = B − . v 是船 B 相对于船 A 的速度,从船 B 作一条平行于 v 方向的直线 BC,它不与 船 A 相交,这表明两船不会相碰. 由 A 作 BC 垂线 AC,其长度 min r 就是两船相靠最近的距离 rmin = Rsin 作 FD//AB,构成直角三角形 DEF,故有 v v v B A − = sin sin sin 在三角形 BEF 中,由余弦定理可得