习题 3-1.如图,一质点在几个力作用下沿半径为R=20m的圆周运动,其中有 恒力F=0.6N,求质点从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中,力F 所做的功 解:M=rB-r4=-20i+20 由做功的定义可知:W=F·r=0.6i·(-20i+20j)=-12J 3-2.质量为m=05kg的质点,在xOy坐标平面内运动,其运动方程为 x=5t2,y=0.5(S,从=2s到=4s这段时间内,外力对质点的功为多少? M=F-r2=(80i+0.5j)-(20i+0.5j a=dvd=d2r/dr2=10i F=m=m×l0i=5i 由做功的定义可知:W=F·=5i·60i=300 3-3劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置,下端悬一小球,球的质量为m,开始 时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起,直到小球能脱离地 面为止,求此过程中外力的功 根据小球是被缓慢提起的,刚脱离地面时所受的力为F kAx= mg 可得此时弹簧的伸长量为:△x= g 由做功的定义可知:P=Ckk=2612=m 2k 3-4如图,一质量为m的质点,在半径为R的半球形容器中,由静止开始自 边缘上的A点滑下,到达最低点B时,它对容器的正压力数值为N,求质点自A 滑到B的过程中,摩擦力对其做的功 分析:W直接求解显然有困难,所以使用动能定理,那就要知道它的末速度的情 况
习题 3-1. 如图，一质点在几个力作用下沿半径为 R=20m 的圆周运动，其中有一 恒力 F=0.6iN，求质点从 A 开始沿逆时针方向经 3/4 圆周到达 B 的过程中，力 F 所做的功。 解： = − = −20i + 20j B A r r r 由做功的定义可知： W = F • r = 0.6i • (−20i + 20j) = −12J 3-2. 质量为 m=0.5kg 的质点，在 xOy 坐标平面内运动，其运动方程为 x=5t2,y=0.5(SI),从 t=2s 到 t=4s 这段时间内，外力对质点的功为多少？ = − = (80i + 0.5j) − (20i + 0.5j) = 60i 4 2 r r r 2 2 a v r = = = d dt d dt / / 10i F a = = = m m 10 5 i i 由做功的定义可知： W J = • = • = F r 5 60 300 i i 3-3.劲度系数为 k 的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为 m，开始 时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地 面为止，求此过程中外力的功。 根据小球是被缓慢提起的，刚脱离地面时所受的力为 F=mg，kx = mg 可得此时弹簧的伸长量为： k mg x = 由做功的定义可知： k m g W kxdx k x k mg x 2 2 1 2 2 0 2 0 = = = 3-4.如图，一质量为 m 的质点，在半径为 R 的半球形容器中，由静止开始自 边缘上的 A 点滑下，到达最低点 B 时，它对容器的正压力数值为 N，求质点自 A 滑到 B 的过程中，摩擦力对其做的功。 分析：Wf 直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要知道它的末速度的情 况
解:求在B点的速度: 可得 2=(N-G)R R+n 由动能定理 W=(N-G)R-mgR=-(N-3mg)R 3-5.一弹簧并不遵守胡克定律,其弹力与形变的关系为 F=(-52.8x-384x2),其中F和x单位分别为N和m (1)计算当将弹簧由x1=0.52m拉伸至x2=134m过程中,外力所做之 (2)此弹力是否为保守力? (1)由做功的定义可知 Fde=ls(52.8x-384x2)ax=-264(x2 126(x2-x1 69.2J 2)由计算结果可知,做功与起点和终点的位置有关,与其他因素无关,所以该 弹力为保守力 3-6.一质量为m的物体,在力F=(an+br2j的作用下,由静止开始运动, 求在任一时刻t此力所做功的功率为多少 解:要求功率就必须知道力和速度的情况,由题意 v==ati+brj)dt=-(ari+3br'j 所以功率为 N=F·=(ani+bj)·Gam3i+l, br3j)=-(a2t3+b213
解：求在 B 点的速度： N-G= R v m 2 可得： mv (N G)R 2 1 2 1 2 = − 由动能定理： W N G R mgR N mg R mgR W mv f f ( 3 ) 2 1 ( ) 2 1 0 2 1 2 = − − = − + = − 3-5. 一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为 F ( 52.8 38.4 )i 2 = − x − x ，其中 F 和 x 单位分别为 N 和 m ． （1）计算当将弹簧由 x1 = 0.522m 拉伸至 x2 =1.34m 过程中，外力所做之 功； （2）此弹力是否为保守力? 解： （1）由做功的定义可知： J W d x x dx x x x x x x 69.2 ( 52.8 38.4 ) 26.4( ) 12.6( ) 3 1 3 2 2 1 2 2 2 1.34 0.522 2 1 = = • = − − = − − − − F x （2）由计算结果可知，做功与起点和终点的位置有关，与其他因素无关，所以该 弹力为保守力。 3-6. 一质量为 m 的物体，在力 ( ) 2 F = ati + bt j 的作用下，由静止开始运动， 求在任一时刻 t 此力所做功的功率为多少。 解：要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意： ) 3 1 2 1 ( 1 ( ) 1 2 2 3 i j at i bt j m at bt dt m t m = = + = + F v 所以功率为： ) 3 1 2 1 ( 1 ) 3 1 2 1 ( 1 ( ) 2 2 3 2 3 2 5 a t b t m at bt m N = F •V = ati + bt j • i + j = +
3-7.一质点在三维力场中运动.已知力场的势能函数为 E (1)求作用力F (2)当质点由原点运动到x=3、y=3、z=3位置的过程中,试任选一路径 计算上述力所做的功。其中E。的单位为J,x、y、z的单位为m,F的单位为 解:(1)由作用力和势能的关系 a(ax+ bxy+cz) =(2ax-by)i-bxj-ck (2)取一个比较简单的积分路径:r=di+d+dk,则积分可得 W=「F·d=「(2ax-by)-b-ck](d+d+tk) =9a-9b-3c 3-8.轻弹簧AB的上端A固定,下端B悬挂质量为m的重物。已知弹簧原 长为l,劲度系数为k,重物在O点达到平衡,此时弹 簧伸长了x,如图所示。取x轴向下为正,且坐标原点§8 位于:弹簧原长位置O’:力的平衡位置O。若取原点 为重力势能和弹性势能的势能零点,试分别计算重物在 任一位置P时系统的总势能。 解:(1)取弹簧原长位置O为重力势能和弹性势能的势能零点,则重物在任 位置P(坐标设为x)时系统的总势能:Ep=-mgx+kx 2 (2)取力的平衡位置O为重力势能和弹性势能的势能零点,则重物在任
3-7. 一质点在三维力场中运动．已知力场的势能函数为 E = −ax + bxy+ cz 2 p . （1）求作用力 F ； （2）当质点由原点运动到 x = 3、 y = 3 、 z = 3 位置的过程中，试任选一路径， 计算上述力所做的功。其中 Ep 的单位为 J ，x、y、z 的单位为 m ， F 的单位为 N. 解：（1）由作用力和势能的关系： F ax by i bxj ck r ax bxy cz r EP = − − − − + + = − = − (2 ) ( ) 2 （2）取一个比较简单的积分路径： r = dxi + dyj + dzk ，则积分可得： W = F • dr = [(2ax − by)i − bxj − ck] • (dxi + dyj + dzk) =9a-9b-3c 3-8. 轻弹簧 AB 的上端 A 固定，下端 B 悬挂质量为 m 的重物。已知弹簧原 长为 0 l ，劲度系数为 k ，重物在 O 点达到平衡，此时弹 簧伸长了 0 x ，如图所示。取 x 轴向下为正，且坐标原点 位于：弹簧原长位置 O ；力的平衡位置 O 。若取原点 为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在 任一位置 P 时系统的总势能。 解：（1）取弹簧原长位置 O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任 一位置 P （坐标设为 x ）时系统的总势能： 2 P 2 1 E = −mgx + kx （2）取力的平衡位置 O 为重力势能和弹性势能的势能零点，则重物在任一
位置P(坐标设为ⅹ)时系统的总势能 Ep=-mgx+k(x+x 而mg=kx 所以Ep=一mgx+k(x+x0)2-11x-26 3-9.在密度为p1的液面上方,悬挂一根长为1,密度为n2的均匀棒AB,棒的B 端刚和液面接触如图所示,今剪断细绳,设细棒只在浮力和重 力作用下运动,在<p2<P的条件下,求细棒下落过程中 的最大速度Vma,以及细棒能进入液体的最大深度H 解:分析可知,棒下落的最大速度是受合力为零的时候,所以 P2kg=phg,则h=22l pI 在下落过程中,利用功能原理:2-gh=gh 所以:m=2g 进入液体的最大深度H为细棒运动的速度为零时: P2gh=-。A8d所以H P 7 n1-P2 3-10.若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力∫的作用 设阻力与速度的大小成正比,比例系数k为常数,即f=-k,试求质量为m的
位置 P （坐标设为 x ）时系统的总势能： 0 2 0 2 P 0 2 1 2 1 E mg kx mgx k x x kx = = − + + − 而 （ ） 所以 2 2 0 2 P 0 2 1 2 1 2 1 E = −mgx + k（x + x ） − k x = k x 3-9. 在密度为 1 的液面上方，悬挂一根长为 l ，密度为 2 的均匀棒 AB ，棒的 B 端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重 力作用下运动，在 2 1 1 2 的条件下，求细棒下落过程中 的最大速度 max v ，以及细棒能进入液体的最大深度 H 。 解 ： 分析 可 知， 棒下 落的 最 大速 度是 受 合力 为零 的时 候 ，所 以 ： 2 lsg = 1hsg ，则 h l 1 2 = 。 在下落过程中，利用功能原理： 2 2 2 1 0 1 2 h slv sglh gsydy − = − 所以： 2 max 1 v gl = 进入液体的最大深度 H 为细棒运动的速度为零时： 2 1 0 H − = − sglh gsydy 所以 1 1 2 2 l H = • − 3-10. 若在近似圆形轨道上运行的卫星受到尘埃的微弱空气阻力 f 的作用， 设阻力与速度的大小成正比，比例系数 k 为常数，即 f = −kv ，试求质量为 m 的
卫星,开始在离地心r=4R(R为地球半径)陨落到地面所需的时间 解:根据题意,假设在离地心=4R处质点的速度为v,地面上的速度为 V2。提供卫星运动的力为万有引力:m=GnMm,所以 2 R 在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出 fat=-kvdt= mdh 通过分离变量取积分,可 得:1-Jm=-mh=n1=m2 3-11.一链条放置在光滑桌面上,用手揿住 端,另一端有四分之一长度由桌边下垂,设链条长 为L,质量为m,试问将链条全部拉上桌面要做多8 少功? 解:直接考虑垂下的链条的质心位置变化,来求做功,则: W=△EP=4m8×832 3-12.起重机用钢丝绳吊运质量为m的物体时以速 率v匀速下降,当起重机突然刹车时,因物体仍有惯性 运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为k,求 它伸长多少所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量) 解:当起重机忽然刹车时,物体的动能将转换为钢 丝绳的弹性势能:由=m21 kx2,可得: 回 X=
卫星，开始在离地心 r0 = 4R （ R 为地球半径）陨落到地面所需的时间。 解：根据题意，假设在离地心 r0 = 4R 处质点的速度为 v1，地面上的速度为 v2。提供卫星运动的力为万有引力： 0 2 2 r Mm G r v m = ，所以 2 0 1 2 = = R r v v 在这个过程中阻力的作用时间可通过动量定理求出： fdt = −kvdt = mdv 通过分离变量取积分，可 得： 2 1 2 1 ln ln 2 v v m m m v t dt dv kv k v k = = − = = 3-11. 一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一 端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长 为 L ，质量为 m ，试问将链条全部拉上桌面要做多 少功？ 解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则： 1 1 1 4 8 32 W E mg l mgl = = = P 3-12. 起重机用钢丝绳吊运质量为 m 的物体时以速 率 0 v 匀速下降，当起重机突然刹车时，因物体仍有惯性 运动使钢丝绳有微小伸长。设钢丝绳劲度系数为 k ，求 它伸长多少?所受拉力多大?(不计钢丝绳本身质量) 解：当起重机忽然刹车时，物体的动能将转换为钢 丝绳的弹性势能：由 2 2 0 2 1 2 1 mv = kx ，可得： 0 v k m x =
分析物体的受力,可得到绳子的拉力为 T=mg+kx=mg+√mk 3-13.在光滑水平面上,平放一轻弹簧,弹簧一端固定,另一端连一物体A A边上再放一物体B,它们质量分别为m、和m,弹簧劲度系数为k,原长为 用力推B,使弹簧压缩x,然后释放,求:分m期m (1)当A与B开始分离时,它们的位置和速度 (2)分离之后.A还能往前移动多远? 解:(1)当A和B开始分离时,两者具有相同的速度,根据能量守恒,可得 24m)v2=kx2,所以:v= 到:( (2)分离之后,A的动能又将逐渐的转化为弹性势能,所以: 1 -mv m m t mB 3-14.已知地球对一个质量为m的质点的引力为F=G9/,R为 地球的质量和半径) (1)若选取无穷远处势能为零,计算地面处的势能 (2)若选取地面处势能为零,计算无穷远处的势能.比较两种情况下的势 能差 解:(1)取无穷远处势能为零,计算地面处的势能为: E=∫/·=-mmr=-mmr (2)若选取地面处势能为零,计算无穷远处的势能为 E=[.dr=(-Gm m I dr=gmm I
分析物体的受力，可得到绳子的拉力为： 0 T = mg + kx = mg + mkv 3-13. 在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体 A 、 A 边上再放一物体 B ，它们质量分别为 mA 和 mB ，弹簧劲度系数为 k ，原长为 l ．用力推 B ，使弹簧压缩 0 x ，然后释放。求： （1）当 A 与 B 开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后． A 还能往前移动多远? 解：（1）当 A 和 B 开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得 到： 2 0 2 2 1 ( ) 2 1 m m v kx A + B = ，所以： 0 x m m k v A + B = ; x l = （2）分离之后，A 的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以： 2 2 2 1 2 1 m v kx A = ，则： A 0 A A B m x x m m = + 3-14. 已知地球对一个质量为 m 的质点的引力为 F r 3 e r Gm m = − （ e e m ,R 为 地球的质量和半径)。 （1）若选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能； （2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势 能差． 解 ：（ 1 ） 取 无 穷 远 处 势 能 为 零 ， 计 算 地 面 处 的 势 能 为 ： e e 2 1 1 b e a r P e R r E f dr Gm m dr Gm m r R = • = − = − （2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为： e e 2 1 1 e b a R r e r E f dr Gm m dr Gm m r R = • = − =
两种情况下势能差是完全一样的。 3-15.试证明在离地球表面高度为(h<R)处,质量为m的质点所具有的 引力势能近似可表示为mgh 解:由万有引力的势能函数值,在离地球表面高度为h(h<R)处,质量为 m的质点所具有的引力势能为: (R+h)-Go- Min Mm Mm (R2+h)2 (Re+h)=-Gon2(R+h)=-mg(Re+h) 如果以地面作为零电势处,则质点所具有的引力势能近似可表示为mgh 思考题3 3-1.求证:一对内力做功与参考系的选择无关 证明:对于系统里的两个质点而言 对内力做功可表示为: A=f·+f2·h2 由于外力的存在,质点1.2的运动情况是不同的。 d≠d2,f1=-f2 上式可写为:A=f·1+f2·lh2=f·(1-lh2) 也就是内力的功与两个质点的相对位移有关,与参考系的选择无关 3-2.叙述质点和质点组动能变化定理,写出它们的表达式,指出定理的成立 条件 质点的动能变化定理:物体受外力F作用下,从A运动B,其运动状态变化 速度为V1变化到V2,即动能变化。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
两种情况下势能差是完全一样的。 3-15. 试证明在离地球表面高度为 ( ) h h Re 处，质量为 m 的质点所具有的 引力势能近似可表示为 mgh . 解：由万有引力的势能函数值，在离地球表面高度为 ( ) h h Re 处，质量为 m 的质点所具有的引力势能为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 2 R h mg R h R Mm R h G R h Mm G R h Mm G e e e e e e + − + = − + + = − + − 如果以地面作为零电势处，则质点所具有的引力势能近似可表示为 mgh . 思考题 3 3-1. 求证：一对内力做功与参考系的选择无关。 证 明 ： 对 于 系 统 里 的 两 个 质 点 而 言 ， 一 对 内 力 做 功 可 表 示 为 ： A= 1 1 2 2 f dr f dr • + • 由于外力的存在，质点 1.2 的运动情况是不同的。 1 2 1 2 dr dr , f = − f 上式可写为：A= ( ) 1 1 2 2 1 2 f dr f dr f dr dr • + • = • − 也就是内力的功与两个质点的相对位移有关，与参考系的选择无关。 3-2. 叙述质点和质点组动能变化定理，写出它们的表达式，指出定理的成立 条件。 质点的动能变化定理：物体受外力 F 作用下，从 A 运动 B，其运动状态变化， 速度为 V1 变化到 V2，即动能变化。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
A2=「fd EM-E 质点系的动能定理:质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力 的功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力 做功之和 公式表达:4外+A非+A保=EkK2-Ek1 3-3.A和B两物体放在水平面上,它们受到的水平恒力F一样,位移s也 样,但一个接触面光滑,另一个粗糙.F力做的功是否一样?两物体动能增量是 答:根据功的定义:W=F·AF 所以当它们受到的水平恒力F一样,位移s也一样时,两个功是相等的 当时由于光滑的接触面摩擦力不做功,粗糙的接触面摩擦力做功,所以两个 物体的总功不同,动能的增量就不相同。 3-4.按质点动能定理,下列式子 n F dy=-mvh--mv Fd===mv2 是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。 答:不成立,因为功是标量,不分方向,没有必要这么写 3-5.在劲度系数为k的弹簧下,如将质量为m的物体挂上慢慢放下,弹簧伸 长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少? 答:如将质量为m的物体挂上慢慢放下,弹簧伸长为mg=kx,所以x=mg
2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 mv mv EK EK A = f dr = − = − − 质点系的动能定理： 质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力 的功和质点系内非保守力的功三者之和。即质点系总动能的增量等于外力和内力 做功之和。 公式表达： A外 + A内非 + A内保 = EK 2 − EK1 3-3. A 和 B 两物体放在水平面上，它们受到的水平恒力 F 一样，位移 s 也一 样，但一个接触面光滑，另一个粗糙． F 力做的功是否一样?两物体动能增量是 否一样? 答：根据功的定义：W= F r • 所以当它们受到的水平恒力 F 一样，位移 s 也一样时，两个功是相等的； 当时由于光滑的接触面摩擦力不做功，粗糙的接触面摩擦力做功，所以两个 物体的总功不同，动能的增量就不相同。 3-4. 按质点动能定理，下列式子： 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d x x x x Fx x = mv − mv 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d y y y y Fy y = mv − mv 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 d z z z z Fz z = mv − mv 是否成立?这三式是否是质点动能定理的三个分量式?试作分析。 答：不成立，因为功是标量，不分方向，没有必要这么写。 3-5. 在劲度系数为 k 的弹簧下，如将质量为 m 的物体挂上慢慢放下，弹簧伸 长多少?如瞬间挂上让其自由下落弹簧又伸长多少? 答：如将质量为 m 的物体挂上慢慢放下，弹簧伸长为 mg=kx，所以 k mg x =
如瞬间挂上让其自由下落,弹簧伸长应满足能量守恒:mg2 kx2,所以 2mg k 3-6.试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的? +++ 图d]、团为非保守力,因为如果对其取环路积分必定不为零
如瞬间挂上让其自由下落，弹簧伸长应满足能量守恒： 2 2 1 mgx = kx ，所以 k mg x 2 = 3-6. 试根据力场的力矢量分布图判断哪些力场一定是非保守的? 图[d]、[f]为非保守力，因为如果对其取环路积分必定不为零