习题 22-1.计算下列客体具有10MeV动能时的物质波波长,(1)电子;(2)质子 解:(1)电子高速运动,设电子的总能量可写为:E=Ex+m1C2用相对论公式 E2=c2p2+mc+可得 p=2VB-2=E+m)一嘴=E+2mE h Ex+2moc2E 3×108×663×10-34 (0×106×16×10-19)2+2×9.1×1031×(3×10)2×10×106×1.6×10-19 =1.2×10-13 (2)对于质子,利用德布罗意波的计算公式即可得出: h A=D=√2mE=x1670×10×10X16×07=9k0m 22-2.计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长,已知加速电压为 50kV,(1)用非相对论公式;(2)用相对论公式 解:(1)用非相对论公式: 6.63×10-34 =78×10-12 mE√2meU√2×9.,1×10-3×16×10-9×25×103 (2)用相对论公式: + mc E-mc=E=eU h =77×10-2m p√2mE√2mc2eU+(eU)2 22-3.一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距d=7.32×10-2mm,中子的动能 E=4.20eV,求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角 解:先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长 h 663×10-34 14×10llm p√2mE√2×167×10-7×42×16×10-9
习题 22-1．计算下列客体具有 10MeV 动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为： 2 E E m c = + K 0 用相对论公式， 2 2 2 2 4 E c p m c = + 0 可得 2 2 4 2 2 2 4 0 0 0 1 1 ( ) K p E m c E m c m c c c = − = + − 2 2 0 1 2 E m c E K K c = + 2 2 0 2 K K h ch p E m c E = = + 8 34 6 19 2 31 8 2 6 19 3 10 6.63 10 (10 10 1.6 10 ) 2 9.1 10 (3 10 ) 10 10 1.6 10 − − − − = + 13 1.2 10 m − = （2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出： 34 15 27 6 19 h 6.63 10 9.1 10 m p 2 2 1.67 10 10 10 1.6 10 h mE − − − − = = = = 22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为 25.0kV ，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： m meU h m E h 1 2 3 1 1 9 3 3 4 7.8 10 2 9.1 10 1.6 10 25 10 6.63 10 p 2 2 h − − − − = = = = = （2）用相对论公式： 2 4 0 2 2 2 E = p c + m c E − = Ek = eU 2 0 m c m m c eU eU h mE h 12 2 2 0 7.7 10 p 2 2 h − = + = = = （ ） 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距 7.32 10 nm −2 d = ，中子的动能 Ek = 4.20eV ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长： 34 11 27 19 h 6.63 10 1.4 10 p 2 2 1.67 10 4.2 1.6 10 h m mE − − − − = = = =
再利用晶体衍射的公式,可得出:2 dsin=kk=0,1,2… inp=k2=14×101 d2×7.32x10-=0095 9=548 224.以速度v=6×103m/s运动的电子射入场强为E=5Vm的匀强电场中加速, 为使电子波长λ=1A,电子在此场中应该飞行多长的距离? 解:2 663×10-34 √2x =1×10-10m p√2mE 9.1×10-3×16×10-9U 可得:U=1509V,所以U=Ed,得出d=30.2cm。 22-5.设电子的位置不确定度为0.1A,计算它的动量的不确定度:若电子的能量约为 lkeV,计算电子能量的不确定度 解:由测不准关系 h1.05×10-34 2△x-2×0.1×10-1=525×1024 由波长关系式:A=h可推出:A2=hc4E E △E=△AE_E2 =1.24×10-15J 22-6.氢原子的吸收谱线A=4340.5A的谱线宽度为10-2A,计算原子处在被激发态 上的平均寿命。 解:能量E=h=mc,由于激发能级有一定的宽度△E,造成谱线也有一定宽度△x,两 者之间的关系为:△E=△ 由测不准关系,△E·M≥h/2,平均寿命T=△t,则 T=△t= h (4340.5×10-10)2 =5×10-s 2△E △Ahc4m△c4×3.14×10-2×10-10×3×108 22.若红宝石发出中心波长A=63×10-7m的短脉冲信号,时距为lns(10°s),计 算该信号的波长宽度Aλ 解:光波列长度与原子发光寿命有如下关系 h 24z△ A2(63×107)=1.323×10m c△t3×108×10-9 22-8.设粒子作圆周运动,试证其不确定性关系可以表示为MA≥h,式中ML为粒
再利用晶体衍射的公式，可得出： 2 sin d k = k = 0,1,2 … 11 11 1.4 10 sin 0.095 2 2 7.32 10 k d − − = = = ， = 5.48 22-4．以速度 6 10 m/s 3 v = 运动的电子射入场强为 E = 5V/cm 的匀强电场中加速， 为使电子波长 = 1A ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解： 34 10 31 19 h 6.63 10 1 10 p 2 2 9.1 10 1.6 10 h m mE U − − − − = = = = 可得：U=150.9V，所以 U=Ed ，得出 d=30.2cm。 22-5．设电子的位置不确定度为 0.1A ，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为 1keV ，计算电子能量的不确定度。 解：由测不准关系： 34 24 10 1.05 10 5.25 10 2 2 0.1 10 h p x − − − = = = 由波长关系式： E c = h 可推出： E c E h = 2 15 1.24 10 E E E J hc pc = = = − 22-6．氢原子的吸收谱线 = 4340.5A 的谱线宽度为 10 A −2 ，计算原子处在被激发态 上的平均寿命。 解：能量 hc E h = = ，由于激发能级有一定的宽度ΔE，造成谱线也有一定宽度Δλ，两 者之间的关系为： 2 hc E = 由测不准关系， E t / 2, 平均寿命τ=Δt，则 2 2 2 2 4 t E hc c = = = = 10 2 11 2 10 8 (4340.5 10 ) 5 10 s 4 3.14 10 10 3 10 − − − − = = 22-7．若红宝石发出中心波长 6.3 10 m −7 = 的短脉冲信号，时距为 1ns(10 s) −9 ，计 算该信号的波长宽度 。 解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： = x c t 2 2 2 4 x x p = = 2 7 2 3 8 9 (6.3 10 ) 1.323 10 nm c t 3 10 10 − − − = = = 22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为 L h ，式中 L 为粒
子角动量的不确定度,Δθ为粒子角位置的不确定度。 证明:当粒子做圆周运动时,半径为r,角动量为:L=mv=p其不确定度△L=r△P 而做圆周运动时:△x=rA 利用:AP·Ax≥h代入,可得到:M△O≥h 22-9.计算一维无限深势阱中基态粒子处在x=0到x=L/3区间的几率。设粒子的势 能分布函数为: U(x)=0.0L 解:根据一维无限深势阱的态函数的计算,当粒子被限定在0L 概率密度为:P(x)=2m2zx0<x<L 粒子处在x=0到x=L/3区间的几率:P(x)=[2m2mx=1-1-sm2nz 2 如果是基态,n=1,则P(x)=202x11-2兀=0195 32 22-10.一个质子放在一维无限深阱中,阱宽L=10-14m (1)质子的零点能量有多大? (2)由n=2态跃迁到n=1态时,质子放出多大能量的光子? 解:(1)由一维无限深势阱粒子的能级表达式:Nbn2 8ma h2 n=1时为零点能量:E =3.29×10-J (2)由n=2态跃迁到n=1态时,质子放出光子的能量为: AE=E2-E1=(4-1)=987×10-3J 8 22-11.对应于氢原子中电子轨道运动,试计算n=3时氢原子可能具有的轨道角动量 解:当n=3,l的可能取值为:0,1,2 而轨道角动量L=√(1+1)h所以L的取值为:0,√2h,√6
子角动量的不确定度， 为粒子角位置的不确定度。 证明：当粒子做圆周运动时，半径为 r，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度 L = rP 而做圆周运动时： x = r 利用： P•x h 代入，可得到： L h 。 22-9．计算一维无限深势阱中基态粒子处在 x = 0 到 x = L/3 区间的几率。设粒子的势 能分布函数为： = = U x x x L U x x L ( ) , 0和 ( ) 0,0 解：根据一维无限深势阱的态函数的计算，当粒子被限定在 0<x<l 之间运动时，其定态归一 化的波函数为： = = x x x L x x L l n l x n n ( ) 0, 0和 sin ,0 2 ( ) 概率密度为： x x L l n l P x n = sin ,0 2 ( ) 2 粒子处在 x = 0 到 x = L/3 区间的几率： 3 2 sin 2 1 3 1 sin 2 ( ) 2 3 0 n n x l n l P x l n = = − 如果是基态，n=1，则 3 2 0 2 1 1 2 ( ) sin sin 0.195 3 2 3 l P x x n l l = = − = 22-10．一个质子放在一维无限深阱中，阱宽 10 m −14 L = 。 （1）质子的零点能量有多大？ （2）由 n = 2 态跃迁到 n =1 态时，质子放出多大能量的光子？ 解：（1）由一维无限深势阱粒子的能级表达式： 2 2 8 n ma h En = n=1 时为零点能量： J。 ma h En 13 2 3.29 10 8 − = = （2）由 n=2 态跃迁到 n=1 态时，质子放出光子的能量为： （ ） J。 ma h E E E 13 2 2 1 9.87 10 8 4 1 − = − = − = 22-11．对应于氢原子中电子轨道运动，试计算 n = 3 时氢原子可能具有的轨道角动量。 解：当 n=3，l 的可能取值为：0，1，2。 而轨道角动量 L = l（l +1）h 所以 L 的取值为：0， 2h， 6 h
22-12.氢原子处于n=2l=1的激发态时,原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向? 并计算各种可能取向的角动量与z轴的夹角? 解:1=1,所以轨道角动量:L=√(1+1h=√2h m=0,±1三个取向。夹角分别为 L.=0,6 L=h, e L.=-h,b= 4
22-12．氢原子处于 n = 2,l = 1 的激发态时，原子的轨道角动量在空间有哪些可能取向？ 并计算各种可能取向的角动量与 z 轴的夹角？ 解：l=1，所以轨道角动量： L = l（l +1）h = 2h m = 0，1 三个取向。夹角分别为： 2 0 Lz = ， = 4 Lz = h， = 4 3 Lz = −h， =
思考题 22-1.证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。 证明:分别看这两个内容是什么: 玻尔理论中氢原于中的电子轨道:rn=n2=n2 e 电子德布罗意波长:先求其能量:En n2 88h2 再代入德布罗意波长求解式子中:= V2m≤h2 h 可见:r=n是它的整数倍 22-2.为什么说电子既不是经典意义的波,也不是经典意义的粒子? 答:因为单个的电子是不具有波动的性质的,所以它不是经典意义的波,同时对于经典 意义的粒子它的整体行为也不具有波动性,而电子却具有这个性质,所以电子也不是经典意 义的粒子。 22-3.图中所示为电子波干涉实验示意图,S为电子束发射源,发射出沿不同方向运动 的电子,F为极细的带强正电的金属丝,电子被吸引后改变运动方向,下方的电子折向上 方,上方的电子折向下方,在前方交又区放一电子感光板A,S1、S2分别为上、下方电子 束的虚电子源,SS=SS2,底板A离源S的距离为D,s 设D>>a,电子的动量为P,试求 (1)电子几率密度最大的位置 (2)相邻暗条纹的距离(近似计算)。 答:(1)电子的德布罗意波长:4= h 类似于波的干涉现象,在两边的第一级明纹之间 分布的电子最多,所以其几率最大的位置应该在± D Dh (2)相邻暗条纹的距离:AD,Dh 22-4.在一维势箱中运动的粒子,它的一个定态波函数如图a所示,对应的总能量为 4eV,若它处于另一个波函数(如图b所示)的态上 时,它的总能量是多少?粒子的零点能是多少?
思考题 22-1．证明玻尔理论中氢原于中的电子轨道是电子德布罗意波长的整数倍。 证明：分别看这两个内容是什么： 玻尔理论中氢原于中的电子轨道： 2 2 2 0 0 2 me h rn n r n = = 电子德布罗意波长： 先求其能量： 2 2 0 4 2 8 1 h me n En = 再代入德布罗意波长求解式子中： 2 2 0 2 me h n mE h = = 可见： rn = n 是它的整数倍。 22-2．为什么说电子既不是经典意义的波，也不是经典意义的粒子？ 答：因为单个的电子是不具有波动的性质的，所以它不是经典意义的波，同时对于经典 意义的粒子它的整体行为也不具有波动性，而电子却具有这个性质，所以电子也不是经典意 义的粒子。 22-3．图中所示为电子波干涉实验示意图， S 为电子束发射源，发射出沿不同方向运动 的电子， F 为极细的带强正电的金属丝，电子被吸引后改变运动方向，下方的电子折向上 方，上方的电子折向下方，在前方交叉区放一电子感光板 A ， 1 S 、 2 S 分别为上、下方电子 束的虚电子源， S1S = SS2 ，底板 A 离源 S 的距离为 D ， 设 D a ，电子的动量为 p ，试求： （1）电子几率密度最大的位置； （2）相邻暗条纹的距离（近似计算）。 答：（1）电子的德布罗意波长： p h = 类似于波的干涉现象，在两边的第一级明纹之间 分布的电子最多，所以其几率最大的位置应该在 ap Dh d D 2 = 之间。 （2）相邻暗条纹的距离： ap Dh d D x 2 = = 22-4．在一维势箱中运动的粒子，它的一个定态波函数如图 a 所示，对应的总能量为 4eV ，若它处于另一个波函数（如图 b 所示）的态上 时，它的总能量是多少？粒子的零点能是多少？
答:由一维无限深势阱粒子的能级表达式:En=En2。在a图中,n=2,所以粒子的零 点能Eo=1 若它处于另一个波函数(n=3)的态上时,它的总能量是E3=En2=E032=9 22-5.图中所示为一有限深势阱,宽为a,高为U。 U(x) (1)写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件 (2)比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能 量值的大小 答:第I区域定态薛定谔方程.d2v1(x)2mE, h2约( 第Ⅱ区域定态薛定谔方程: d2v2(x),2m(E-U) 边界条件:v(-2)=v2(-)v1()=v2(日) 22-6.在钠光谱中,主线系的第一条谱线(钠黄线)是由3p-3s之间的电子跃迁产生 的,它由两条谱线组成,波长分别为A1=5889963A和2=5895930A。试用电子自旋 来解释产生双线的原因 答:Na光谱双线产生的原因是比电相互作用小的磁相互作用的结果,是自旋一轨道相互作 用能,是一个小量。即电子轨道运动产生的磁场和电子自旋磁矩的作用,使原子的能级发生 改变,其中电子自旋磁矩,=--S,在Z方向投影有两条,所以Na光谱产生了双线
答：由一维无限深势阱粒子的能级表达式： 2 En = E0 n 。在 a 图中，n=2，所以粒子的零 点能 E0=1。 若它处于另一个波函数（n=3）的态上时，它的总能量是 3 9 2 0 2 E3 = E0 n = E = 22-5．图中所示为一有限深势阱，宽为 a ，高为 U 。 （1）写出各区域的定态薛定谔方程和边界条件； （2）比较具有相同宽度的有限深势阱和无限深势阱中粒子的最低能 量值的大小。 答：第 I 区域定态薛定谔方程： 0 2 2 2 1 1 2 + （ ）= （ ） x h mE dx d x 第 II 区域定态薛定谔方程： 0 2 2 2 2 2 2 = − + （ ） （ ） （ ） x h m E U dx d x 边界条件： （ ） （ ） 2 2 1 2 a a − = − （ ） （ ） 2 2 1 2 a a = 22-6．在钠光谱中，主线系的第一条谱线（钠黄线）是由 3p − 3s 之间的电子跃迁产生 的，它由两条谱线组成，波长分别为 1 = 5889.963A 和 2 = 5895.930A 。试用电子自旋 来解释产生双线的原因。 答：Na 光谱双线产生的原因是比电相互作用小的磁相互作用的结果，是自旋—轨道相互作 用能，是一个小量。即电子轨道运动产生的磁场和电子自旋磁矩的作用，使原子的能级发生 改变，其中电子自旋磁矩 S m e s = − ，在 Z 方向投影有两条，所以 Na 光谱产生了双线