西安交通大学：《材料力学 Mechanics of Materials》课程教学资源（课件讲稿）第二部分 组合变形（共三章，主讲：殷民）

第二部分组合变形 第七章应力状态分析(2) 第八章强度理论() 第九章组合变形(2) 阶段复习与习题课() 西半究通大￥ XIAN JIAOTONG UNIVERSITY 航天航空学院-力学中心

第二部分 组合变形 第七章 应力状态分析 (2) 第八章 强度理论 (1) 第九章 组合变形 (2) 阶段复习与习题课 (1) 航天航空学院--力学中心

第七章应力状态分析 应力状态的概念 二向应力状态分析一公式解析法 ■ 二向应力状态分析一图解解析法 ■ 典型的三向应力状态 ■ 广义胡克定律 ■ 平面应力状态下的应变分析 西步充通大率 XIAN JIAOTONG UNIVERSITY 航天航空学院-力学中心心

第七章 应力状态分析  应力状态的概念  二向应力状态分析 —公式解析法  二向应力状态分析 —图解解析法  典型的三向应力状态  广义胡克定律  平面应力状态下的应变分析 * 航天航空学院--力学中心

7-1应力状态的概念 。=g+cos2a 拉压 A Ox=O≤[o] T T= t,=tcos2a 扭转 I T max ≤[] W 问题： 拉压+扭转 ●最大ox是多少？ 第七章 ●破坏原因：o,x? 第八章 本章的任务：从应力已知的截面（横截面）出发，求其它任意 截面的应力，从而找到最大应力，为建立强度条件做准备

拉压 FN A         1 cos2 2   [ ]  max     扭转 p T I       cos 2 max [ ] p T W     拉压+扭转 问题： ●破坏原因： ？ ●最大 是多少 本章的任务：从应力已知的截面(横截面)出发，求其它任意 截面的应力，从而找到最大应力，为建立强度条件做准备。 7-1 应力状态的概念 第七章 第八章 FN FN T T FN FN T T

7-1应力状态的概念 应力状态的概念： ● 通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不同。应 力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方位的函数。 ● 通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该点的 应力状态(Stress State)。 ● 材料力学中的“点”是物理点，不是几何点，有大小和形 状，通常用正六面体表示，称为单元体(Element Volume)。 单元体很小，可以认为： (1)各个面上的应力均匀分布； (2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同

● 材料力学中的“点”是物理点，不是几何点，有大小和形 状，通常用正六面体表示，称为单元体 (Element Volume) 。 ● 通过同一点所取截面方向不同，应力的大小也不同。应 力既是点的位置的函数，也是过该点的截面方位的函数。 ● 通过同一点不同方位截面上的应力的集合称为该点的 应力状态(Stress State) 。 应力状态的概念: ● 单元体很小，可以认为: (1)各个面上的应力均匀分布； (2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。 7-1 应力状态的概念

7-1应力状态的概念 应力状态的分类： (不严格定义) 单向应力状态：某两对面上的应力为零 平面应力状态：某一对面上的应力为零 三向应力状态：各对面上的应力均不为零

应力状态的分类：（不严格定义） 平面应力状态：某一对面上的应力为零 三向应力状态：各对面上的应力均不为零 x  y   y  x x  y   y  x 单向应力状态：某两对面上的应力为零  x xy   x  y  z  y  z  x yx  zy  zx  yz  xz  7-1 应力状态的概念

7-2二向应力状态分析一公式解析法 己知：Ox,Oy,Tx=-ty, 求：任意斜截面上应力 a:截面外法线n与x轴之间的夹角， x到n逆针向转动为正。 A,=Acosa A,=Asi >F=0 aA-o,A,cosa-oA,sin a+ +t,4,sin a+,4,cosa=0 >F=0 taAa-o 4,sin a+o4,cosa+ -t,4.cosa+t,A,sin a=0 x+y cos2a-t,sin 2a sin 2a+t,cos2a 2 2 Ta= 2

求：任意斜截面上应力 x y  x  y x  y       x n  y  x y  x      ：截面外法线 n 与 x 轴之间的夹角， x 到 n 逆针向转动为正。 已知： , , , x y x y      Ax A cos , A y Asin    0 Fn   A  xAx cos  yAy sin    sin   cos  0 xAx yAy   0 F   A  xAx sin   yAy cos   cos  sin   0 xAx yAy          cos2 sin 2 2 2 x x y x y             sin 2 cos2 2 x x y      7-2 二向应力状态分析—公式解析法

7-2二向应力状态分析一公式解析法 0+0y」 -cos2a-t,sin 2a Ta= sin 2a+t.cos2a 2 2 2 最大和最小正应力 切应力为零的面为主平面 tan 2%o -2tx时： (Principal Planes); 主平面上的正应力为主应 力Principal Stress); max 2+ 全部由主平面构成的单元 2 体为主单元体。 此时： Tao =0 最大和最小切应力 tan 2a=- x一时： 2t, =+ 极值切应力平面与主平面的夹角为45°： 01=0±45 0a+90+0a=0x+0yTa+90=-Ta

         cos 2 sin 2 2 2 x x y x y             sin 2 cos 2 2 x x y    ● 最大和最小正应力 2 2 min max ) 2 ( 2 x x y x y             0 2 tan 2 x x y        时： ● 最大和最小切应力 2 2 min max ) 2 ( x x y          1 tan 2 2 x y x       时： 此时： 0   0  切应力为零的面为主平面 (Principal Planes) ； 主平面上的正应力为主应 力(Principal Stress) ； 全部由主平面构成的单元 体为主单元体 。 ● 极值切应力平面与主平面的夹角为45°： 45 1  0    90       x   y      ● 90  7-2 二向应力状态分析 —公式解析法

7-2二向应力状态分析一公式解析法 例从工字钢悬臂梁的固定端A点取出单元体如图所示。 己知：ox=70MPa,o,=0,tx=50MPa 求：a=30°截面的正应力和切应力，主应 力的大小和主平面方位及最大切应力 解：根据公式，得 70.70 cos60°-50sin60°=9.2MPa 2 2 67.5° 70 Ta in60°+50cos60°=55.3MPa 2 -27.5 2×50 0=-27.5° 主平面 tan 20o -70 4'=67.5° 最大切应力 主应力 01=0-275=96MPa 02=0675=-26MPa tmx=V(35)2+502=61MPa

例 从工字钢悬臂梁的固定端 A 点取出单元体如图所示。 已知： 70MPa, 0, 50MPa  x yx      A   x x   解：     主平面 0 2 50 tan 2 70      27.5  0 ' 67.5  0  27.5  67.5  1 27.5   96MPa     2 67.5   26MPa     1  2  sin 60   2 70   50cos60  55.3MPa 70 70 cos 60 50 sin 60 9.2MPa 2 2       根据公式，得 2 2 max    (35) 50 61MPa 求： α=30 º截面的正应力和切应力，主应 力的大小和主平面方位及最大切应力 主应力 最大切应力 7-2 二向应力状态分析 —公式解析法

7-3二向应力状态分析一图解解析法 0a= 2 ,-o cos2a-t,sin 2a 2 Ta x-y sin 2a+t,cos2a 2 消去参数a,得 +-色，y+=R 2 圆心： +2,0) 半径： R=1 y 2 2 应力圆（莫尔圆），是德国科学家Mohr在1882年最先提出的

2 2 2 2 2 ) 2 ) ( 2 ( x R x y x y                 圆心： , 0) 2 ( x  y 半径： 2 2 ) 2 ( x x y R                cos2 sin 2 2 2 x x y x y             sin 2 cos2 2 x x y    消去参数α，得 应力圆（莫尔圆），是德国科学家Mohr在1882年最先提出的。 7-3 二向应力状态分析—图解解析法

门-3二向应力状态分析—图解解析法 一、 画应力圆的一般步骤： 1、根据三个已知应力的大小，建立o~x直角坐标系； 2、 在o坐标系中，确定x、y面所对应的两点D、D; 3、 连接两点D、D,交横轴得圆心C点； 4、以C点为圆心，以CD为半径画圆，即为应力圆： 5、 证明：圆心0)半径R- ,-) 2 D.(OxTx) X D(oy,ty)）

x y  x  y x  y    ( , ) Dy y y   C ( , ) Dx x x   一、画应力圆的一般步骤： 1、根据三个已知应力的大小，建立σ~τ直角坐标系； 2、在σ~τ坐标系中，确定x 、y 面所对应的两点Dx、Dy ； 3、连接两点Dx、Dy ，交横轴得圆心C点； 4、以C点为圆心，以CDx为半径画圆，即为应力圆； 5、证明：圆心 , 0) 半径 2 ( x  y 2 2 ) 2 ( x x y R       7-3 二向应力状态分析—图解解析法