第一章电磁现象的普遍规律 本章将从基本的电磁实验定律出发建立真空中的Maxwell's equations。并从微观角度论证了存在介质时的Maxwell's equations的 形式及其电磁性质的本构关系。继而给出Maxwell's equations在边界 上的形式，及其电磁场的能量和能流，最后讨论Maxwell's equations 的自洽性和完备性。 教学目的：掌握电荷守恒定律、洛仑兹力公式、麦克斯韦方程组、边 值关系：了解麦克斯韦方程组建立的实验定律基础和过程；并理解介 质的电磁性质方程和电磁场与带电物质之间能量守恒。 重点难点：电荷守恒定律、洛仑兹力公式、真空和介质中麦克斯韦方 程组、介质磁性方程和边值关系；麦克斯韦方程组建立的实验定律基 础和过程：电磁场和介质之间相互作用；电磁场与带电物质之间能量 守恒：能量密度和能量流密度
电荷守恒定律、电荷和电场 教学目的：掌握电荷守恒定律、电荷和电场之间的关系，并能用高斯 定理推导出麦克斯韦方程组中关于静电场散度和旋度方程。 重点难点：电荷守恒定律、电荷和电场之间关系。 教学内容： 1.电荷密度(Charge Density) p典品 (2.1) p=∑9,8x-x (2.2) 、△q 。=mAs 2.3) λ=lim △q (2.4) M-→0△1 2电流密度(Current density) 电荷的运动形成电流，通常用来描述，其定义为 j=pi (2.5) 代表电荷密度p的运动速度。 3.电流强度(Current intensity) 单位时间内垂直穿过导线横截面的电量称为电流强度，用I表 示，显然T与j的关系为 1=d (2.6) 4.电荷守恒定律(Conservation of Electric Charge),: 对于封闭系统，总电荷保持不变。实验表明电荷是守恒的。即一 处电荷增加了，另一处的电荷必然减少，而且增加和减少的量值相等。 若在通有电流的导体内部，任意找出一个小体积八，包围这个体
积的闭合曲面为S,并且假定电流的体积V的一面流入，从另一面流 出。 d-4 lodt (2.7) dt vj+2=0 (2.8) 5.库仑定律(Coulomb'sLaw): Coulomb'slaw(l777年被Coulomb发现)是描写真空中两个静 止的点电荷g’和q之间相互作用力的定律。其数学表达式为 F=19g (2.9) 4πeor F=,1 epzidtdi2 (2.10) 4π602 Coulomb'slaw是大家熟知的，在这里要着重指出的是：该定律在电 磁学发展史上占有重要的地位，它的发现使人们对电现象由定性的研 究过渡到定量的研究，这是电学研究的转折点，特别是它的平方反比 律性质，不仅是Gauss theorem的基础，而且隐含着光子质量为零的 这样一个深刻的物理意义。（如果有偏差，那么光子的质量将不为零， 就会动摇物理学大厦的重要基石，例如：出现真空色散、光速不变， 电荷不守恒，等等。)现代物理实验证明，如果把库仑力写成正比于 点，则：的值（极限）为(2.7士3.1)×1016。在整个经典物理 领域乃至量子领域里，平方反比律都成立。（其论证过程有一个漫长 而有趣的历程，开始是Coulomb通过Coulomb扭称进行验证，达到 2的数量级的精确度；随之是Cavendish受到Priestley类比法的启示， 通过自己制作的Cavendish扭称的示零实验也对距离平方反比进行了
验证：后来Maxwell在Cavendish方法的启示下，通过著名的四个示 零实验对其进行更准确的验证，达到5个数量级；1971年，Williams 再次进行实验达到16个数量级。其中有个小插曲，1769年爱丁堡的 Robinson首先用直接测量方法确定电力的定律，直到1801年发表才 被世人所知。) 6、叠加原理(principle of superposition) Coulomb'slaw所说明的只是空间存在的两个点电荷之间的相互 作用。实际上，往往同时存在多个电荷，这时任意两个电荷之间的相 互作用的规律是什么呢？每个电荷受到多大的作用力呢？总结了许 多实验以后，人们发现：若空间存在n个电荷q1,q29,这时任意 一个电荷9，受到其它所有电荷对它的作用力为 学 (2.11) 称为线性叠加原理。 原理是假设性的，它并不能从理论本身中产生，其可靠性由实验 来检验。迄今为止，在经典范围内和我们可以达到的场强下还没有找 到一个反例显示出线性叠加原理的失效。 实际上电荷分布是不连续的，因为电荷是量子化的，任何物体所 带的电荷总是电子电荷的整数倍。但在考查物体的宏观性质时能观察 到的总是大量微观粒子的平均效应，因此常用到电荷连续分布的概念 来代替电荷的分立性。F=,∫Pd,dr, 4πE0 其中定义体电荷密度为
P=lim △g_dg (2.12) △r→0△xdx 7、电场(electric field) 由Coulomb'slaw得知，在一个给定电荷分布的空间内某一 点放置一个点电荷q,此点电荷所受的力由两个因素决定：一是点电 荷本身的位置及其电量的大小；二是给定电荷的分布和电量的大小。 由于放置点电荷？将会直接影响给定电荷的分布，因此为了使问题简 单，我们在讨论放置电荷9的运动时，常把其余电荷看作保持原先的 分布，即其余电荷的的相对位置都是固定不变的。于是，作用在电荷 q上的力仅与该电荷的电量g及其位置有关，即 F=qE() (2.13) 式中元是点电荷q所在的位置矢量，F()是点x的某一矢量函数，与 Coulomb'slaw比较，可以看出 ()= 1宁9（优-边 (2.14) 4π台|元-月 或者 E()=1 P()-X)dt 4π6 |元-'3 (P(idt' (2.15) 1 4πeo￥ 式中x是场点位置，x'为源点位置，デ=x-x'。要讨论点电荷q的运 动就要知道它受到的作用力。求作用力现在不归结为求函数E(),而 它决定于空间除q外其余电荷的分布，这个函数就称为电场强度。 引入场量()以后，我们可清楚地看到，电荷之间的相互作用不 再是“超距”的，它们之间正是通过场()的传递才发生相互作用的
电场可以在空间的无源区域存在。如果两个不同分布的源在空间某点 上产生的点场相等，则在该点上放置的点电荷，就受到两个相等的力。 8、高斯定理(Gauss's theorem) 现在，具体分析一下电荷分布产生的电场E()的一般性质。所谓 电场其实是带电体周围的一个特殊空间，特殊性表现在：当我们在这 个空间放入一个点电荷时，该电荷会受到作用力。 Gauss'theorem主要是讨论电场强度E(x)的面积分，在点电荷场 中，设s表示包围着点电荷q的一个闭合面，为s上的定向面元， 以外法线方向为正。 S dg q (1)如果电荷q在闭合曲面s内 对于空间任一封闭曲面S作电场E的面积分，可得
-是6 gr cosads 到 ，r2 、92 4π0 9 60 (2)如果点电荷q在S曲面外，把S面分成两部分，照明部分S2和 阴影部分S,则 -品变+品 00 dcos0 4π。 而 cos0.ds:=-d r cose ds=d 有 -品m网-0 由此得到结论： q在S面内 0 q在S面外 根据叠加原理，在点电荷系场中，则存在如下形式：
E=水医+店++尼+…+E)6 设q1,92,qk在S内，9k+1,9k+2,9n在S外，则有 fE5-=2g,=g 这里q仅仅是封闭曲面S内的总电荷。 需要说明的是，当封闭曲面S内的总电荷q=0时，E·尽=0，这 并不能解释成S面上各点的场强为零，所以说，龙是由封闭曲面S内、 外所有电荷产生的场强的矢量和。 对于连续分布的电荷体系来说，则有 nds (2.16) 9、静电场的散度(divergence of electrostatic field) 根据式(2.l6)和Gauss's Theorem,有 .ds=V.Ed: (2.17) (2.18) V.=1p) (2.19) 60 也可以通过对电场强度的定义式(Coulomb'sLaw)求微分得到。讨 论内容在后面。 l0、静电场的旋度（rotation of electrostatic field) Gauss'theorem只确定了电力线的发散和会聚，对电力线可能存 在的其他形式却不能提供任何信息。所以，仅仅有Gauss's theorem还 不足以决定空间的性质，还必须讨论空间的线积分
E) =-V ∫p(d (2.18) 4π6 =-Vp() 由于 V×7p()=0 (2.19) V×E(x)=0 (2.20) 总上有 V.E)=1p) (2.21) V×E(x)=0 还可以通过直接对电场强度E进行求旋度，推导出电场强度的旋度为 零，说明静电场是无旋场。同时，通过闭合曲线积分也可以得到同样 的证明。 总结讨论： a.静电场是有源无旋场，电力线不闭合，从正电荷出发到负电荷终 止，有头有尾： b.静电场的场强表示为标量函数的负梯度，即()=-Vp。因此，它 是保守场，电荷在场中沿闭合曲线运动一周电场力做功为零： c.因为E)=-Vp,VE=1p,故有v'p=-1p,这是静电场中电势 满足的Poisson方程，而p=,】Pdr是Poisson方程的特解。 4π。r 讨论内容： 静电场的散度：
(1)空间任意一点()的散度仅仅决定该点的电荷密度，而V·()描述 场源的性质（判断有没有源） (2)Gauss's theorem是由Coulomb'slaw导出的，它是一个有限范围， 而Gauss's theorem是一个宏观无限小（△x→0）的，这种推广是合乎情 理的。 (2) Gauss'theorem反映了电荷激发电场通量的基本规律， 作业题： 课后第4题； 课后第7题第1问