电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的辐射 1若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出龙和 B的这两部分在真空所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。 解：在真空中的麦克斯韦方程组是： VxE=-,V×B=4,j+84, 7.龙=P以，7.B=0 如果把此方程组中所有的矢量都分解为：无旋的纵场一用角标L表示， 无散的横场一用角标T表示。 那么：E=龙，+龙，且V×龙=0，V.E,=0: J=J+Jr, B=B,+B,:由于V×B=0，即B无源场，不存在纵场分量：亦是说 B,则B=B 代入上面麦氏方程组： I>VxE=_ V×(E2+E)=VxE2+V×E,=VxE=- 2.E=P%: .(E,+E,)=+7.,=.=% 37xB=4,J+e4合：xa,=4,d+)+84,8 0÷+E) =,+4后")+4，+e4,) 若两边同时取散度，7.(V×B,)=0 .(ut -T八=0 -1-
电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的福射 当且仅当4，+8,4，音=0时，上式方成立. 综上，得麦氏方程的新表示方法： V×E,=-;7e,=以 7x成=4，+64，：，+8,4含=0：豆，=0 证明电场的无旋部分对应库仑场： 电场的无旋部分表达式为：V.它=人 引入E,=-VQ于是有：V'0=-P.此泊松方程的解，即是静止 电荷在真空中产生的电势分布，那么E,即对应静止电荷产生的库仑场。 2.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若p=0,则E和B可完全由矢势A决 定，若取0=0，这时A满足哪两个方程？ 解：在线性各向同性均匀非导电介质中，如果令，J=0,p=0,麦氏方程表示为： VxE=; 7xn=7::0=0:B=0 其中D=,i=二 由：又.B=0引入矢势A,使B=7×A 则7.B=又.(7×)=0故，B由矢势A完全决定。 把B=Vx1代入VxE=-合：有： Vx(E+=0令E+=-V0则：Vx(E+=Vx(-Vo)=0 贴E生-o-司 故E有标势A完全决定。 -2
电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的福射 如果取0=0，有：B=7×A 代入方程 Vxi司 E=- 7.D=0 有1BVxi=高 VxB=8u 9VxWx)=-8.7 今VxN×A)+1 “=0 2>7.D=0: 0v.)=0 6t 由于取0=0：库仑规范7.A=0,与洛伦兹规范7.A+ 0=0相同 .由1>2>得：A满足的方程有： 7.A=0 72A-0片“=0 3.证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A(0t)表示，其中t=1-,A垂直于z 轴方向。 证：对于沿z轴传播的任意一平面电磁波它，B，可写作： E=E,eee-酬 B=Boe,els-) 满足：1)E,B均垂直于传播方向。 2)龙，B相互垂直，E×B沿k方向 3)E,B同相，振幅比为v(真空中为c) 故，不妨取A=Ae·=Ae-), h=0 -3-
电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的福射 B=Xi-0A.-=4,忘，e (1) B=-04 =iodo,e (2) 可见，如果令k4。=B。,04。=E。,表达式(1)(2)可表示的波正是符合条件的平面波， 所以命题得证。 4.设真空中矢势A(优，)可用复数傅立叶展开为A(配，)=之La)e+a()e],其中 a是a,的复共轭。 （)证明a,满足谐振子方程4@+kca,0=0。 dt2 (2)当选取规范7.A=0,0=0时，证明·立=0。 (3)把E和用a和a表示出来。 解：(I)证明：（优，）=∑[a,u)e+a0er] ∴.根据傅立叶级数得正交性，必有： a()=A(,)ed .da,(ADeid .d =10t2 (1) 而洛仑滋变换时，矢势满足方程7'A-1 =-4j 在真空中，=0.故1.2合 .(1)式化为 d产a0=「e(e2vi 而k2c2a()=jk2c2A(元，)e 于是：d产a.@+kca,0=jlcv0,)+kc2元，0p (2) _dt :(优，)=∑[at)e:+a(0)ea] -4-
电动力学习题解答参考 第五章 电滋波的辐射 ∴.72A(元，t)=-kA(元，) ∴.(2)式右边的积分式中，被积函数为0，积分为0。 da,@+k'c'a,(0=0,亦即a,满足谐振子方程。 2)选取规范V·A=0,p=0,于是有 V.=V.>[a,()e+a ()e ]=2[a(v.e+a(t)v.e] =∑[E,a)小e-k,()ie]=0 :(t),a(t)是线性无关的正交组 ∴要使上式成立，仅当·a=k:a=0时 ∴故，证得当取7.A=0,p=0时，k.立=0 3)已知A(优，)=∑[a,)e+a()e] .B=V×A=∑[au)e-ka0)ef] E=-V0--∑e+e] (取规范7·A=0,0=0) d dt 5.设A和0是满足洛伦兹规范的矢势和标势。 （①)引入一矢量函数2（在，0）（赫兹矢量，若令0=7.乙，正明7=】 (2)若令p-V.P证明Z满足方程vZ-1=-心4，P,写出在真空中的推 c20 迟解。 (3)证明E和可通过Z用下列公式表出，E=V×(W×2-cu,户，B=】0v×乙 解：1)证明：A与0满足洛仑滋规范，故有V.A+,0=0 c2 ot 9 代入洛仑兹规范，有： v.a+（v2=0,即v.1=-后a》 -5-
电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的辐射 a=1 c28t 2)证明：，标势p在满足洛仑兹规范得条件下有方程：V0- 8o__P c"Ot 8o 而0=-V·Z,故：V20=V2(-VZ)=-V·(V2Z) 8o o a0--2)=-.a) 代入原方程： .(v2-.G 令p=V.P,则上式化为： 7.(2-、 即：2-102.-cu,p (2) c20 由于矢势4：VA-】。:,了在真空中的推迟势为： j(,1-5 A(元，0= 4π 故，可类比得出，方程(2)在真空中的推迟势解为： 2(元，)= c'uf (',t- cdv' 4π 3》E=-V0-名代入0=-ZA=差有： c2Ot E-V(V.2)-10Z-Vx(Vx2-VZ-16Z-Vx(Vx2)-cP c26 c20 同理：B=Vx才=10vx2 c2 0t -6
电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的福射 ∴.龙=V×(NxZ)-c24p B=10Vx2 c28t 6.两个质量，电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和磁偶极辐射都不会 发生。 证明：电偶极矩与磁偶极矩产生的辐射场分别是： 龙= eiR (节x)×方 1>由电偶极矩产生的辐射场： 4πEc2 B=,ei×元 AR E=-l)el (成x) 2>由磁偶极矩产生的辐射场： ‘πeR B-4 (m×)x方 4π.2R 现有两个质量，电荷都相同的粒子相向而行，发生磁撞，在此过程中，取两个电荷的连 线为x轴，于是，此系统的电偶极矩是： p=1+9元2=9（元1+元2） 由此可发现： 方- d9低+=9院+芪，) 由于两个粒子质量相同，电量也相同，故当其运动时兑，=一元，（牛顿第二定律） 即：节=0 于是，系统的电偶极矩辐射场为0 又由于，此系统的磁偶极矩m=0,于是，系统的磁偶极矩辐射场为0。 综上，两个质量，电荷都相同的粒子同向而行发生磁撞，不会发生电偶极辐射和磁偶极辐 射。 7.设有一个球对称的电荷分布，以频率0沿径向做简谐振动，求辐射场，并对结果给以物 用银移。 解： 设球面上均匀分布了总电量为Q的电荷， ds 此假设满足题目中的球对称分布，于是，球面 电荷密度与球面半径的关系是： 0=- 4πR2 取如图相对的两块小面元dS1,S,由于两块小面元对应相同的立体角，故有相同的面积 .7-
电动力学习题解答参考 第五章电磁波的辐射 ds ds,, 于是△g=gS,三4R2S1=4元 _0nσS2=△02 考虑到两电荷元△Q,△Q2,由于是球对称，又以相同的频率0作沿径向的简谐振动 ∴.p=△g·R.e+△g·R.(-e)=0 m=1·△0=0 故，此两电荷元的振动不能产生辐射场。 根据场的叠加原理，整个球对称分布的电荷体系沿径向的简谐振荡是不能产生辐射场 的振动，辐射场为0。 8.一飞轮半径为R,并有电荷均匀分布在其边缘上，总电量为Q。设此飞轮以恒定角速度 旅柱击短。 解： 设飞轮边缘的厚度为d,于是，边缘上的电荷面密度σ二 Q 2nRd 体系的电偶极矩为： p=28dai=0jd 02 2π 0.d0.e,+fcos6.d0.e,]=0 体系的此偶极矩：m=1·△5=0，元 2π 2>e 由此得：节=0苏=0 故，辐射场为0。 9.利用电荷守恒定律，验证A和p的推迟势满足洛伦兹条件。 证明：如右图所示，O是坐标原点，Q是源点，P是场点 于是，A与o的推迟势可写作： a,)=坠C' 4rF-产1 0,0= eC2n,其中，1=1--1 4π8。F-F1 因为在空间中有一个固定点，有 - -8-
电动力学习题解答参考 第五章电磁波的辐射 do 11 dt Are-or p-',!)dv' (*) 4元 当算符V作用于疗-的n次幂时，可写作： V昨-=-作- 其中v'只作用于，因为7心，中的变量r=1-广-1，其中含有，放 w是--少- 男方有=v器-个 对此上两式，有：V'.j=N'.j),om-7.j 即：7.j=(V'.)romm-'.j 代入*式，有： a-+0八 - 4π +( 只要把”取得足够大，就可以使J(,在V的边界面上处处为零，结果上式便为零。 -9-
电动力学习题解答参考 第五章 电磁波的福射 于是又a=_1()m 4π +u。2a+8-·+3r 由电荷守恒定律有： ap. (心，+行=0，式中1是点的局域时间，由以上两式有： .i+ ℃0二0 c26t 由此可见，只要电荷守恒定律成立，则推迟势A和0就满足洛仑兹规范。 10.半径为R,的均匀永磁体，磁化强度为M。,求以恒定角速度0绕通过球心而垂直于 M。的轴旋转，设R0求B 在x方向作简谐振荡的分量， -10-