电动力学习题解答 第四章电磁波的传播 1.考虑两列振幅相同的、偏振方向相同、频率分别为0+do和0-d0的线偏振平面波， 位门粼处，袖古向体梁。 (1)龙人成油证阳油的振幅不旦常粉而旦一个油。 (2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 解： E,(民，1)=上()c0s(kx-01) E2(民，1)=上()c0s(k2x-0,) E=E,(民，t)+E2(民，t)=上o()[cos(kx-0,)+cos(k,x-0,] =-01八 +x-0+020)cos1二x-01,0) 2 2 2 其中k1=k+dk,k2=k-dk;01=0+d0,02=0-d0 ..E=2E()cos(kx-@)cos(dk.x-do.t) 用复数表示E=2E,()cos(d·x-do·t)e-m 相速kc一0f=0 :.Vp=k 0 群速dk·x-do·t=0 '0 :.Vg=dk 2.一平面电磁波以0=45°从真空入射到ε，=2的介质，电场强度垂直于入射面，求反射 系数和折射系数。 解：方为界面法向单位矢量，,,分别为入射波，反射波和折射波的玻印 亭矢量的周期平均值，则反射系数R和折射系数T定义为： ' R= 1kS>E昭 <>i 0,E2 T=2s>n n1cosθ3 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得： 2 R= e-1E2 cos02 Je cose+2 cos02 -1-
电动力学习题解答 第四章电磁波的传播 T= 42 cose cos02 (V81cosθ+VB2cos6,)2 又根据反射定律和折射定律 0=91=45° √e2sin02=VE sine 由题意，61=80,82=808，=280 ∴.0，=30° R=(2 2=-5 +2 2+V3 2 2 4ev225 T=- 22 25 -√2 22+5 2 3.有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°。证明这时将会发生全反射，并求 折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。设该波在空气中的波长为 元，=6.28×10-5cm,水的折射率为n=1.33. 解：由折射定律得，临界角B。=arcsin( 1)=48.75°，所以当平面光波以60°入射时， 1.331 将会发生全反射。 折射波：k”=ksin 0-5 相速度v=名=回 /sine 投入空气的深度K n×10 ≈1./×1U5cm 2π√sin20-ni 2ry8im'60-(733 4.频率为0的电磁波在各向同性介质中传播时，若它，D,B,疗仍按-变化，但D 不再与E平行（即D=E不成立）。 (1)证明k.B=k.D=B.D=B.E=0,但一般.龙≠0 -2-
电动力学习题解答 第四章电磁波的传播 （2)证明方=1[k龙-（依E府 024 (3)证明能流S与波矢一般不在同方向上。 证明：1)由麦氏方程组 Vx龙=- 8r x 6t 7.D=0 V.B=0 得： V.B=B。·7e)=k·Bex,=if.B=0 .B=0 同理.D=0 又x疗=[Ve-a]xi。=派xi=-ioD .×B=-oD 龙.书=-1.（依×=0 Vx龙=[Ve-]xE。=fxE=i0B B.龙=二（依x龙=0，V龙=i派.E :D≠豆7.它一般≠，即·龙一般≠0 -3-
电动力学习题解答 第四章电磁波的传播 2》由V×E=-兰得：B=二依x 0 另由V×i=二得：D=-上优x :D=-[Ex依×E=I依×E)x=,kE-(依.E] l01 3)由B=三（依x)得7=上依x LO S=Exi=】Ex(依xE)=上[E元-（依.E)E] 10 1l0 :.龙一般≠0：“一般≠1E元，即5一般不与无同向 1l0 5.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播，一个波沿x方向偏振，另一个沿y 方向候表。但相位比前者超前子求合成波的偏美。 反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？ 解：偏振方向在x轴上的波可记为： x=Ao cos(@-kz)=Ao cos(@+px) 在y轴上的波可记为： ydcostecosr) A0=0,-9,-T 2 合成得轨迹方程为： x2+y2=A6[cos2(0+0x)+c0s2(0f+p,)月 Ao[cos"(@+)+sin'@t+ox)] =A6 即：x2+y2=A6 所以合成的振动是一个圆频率为0的沿z轴方向传播的右旋圆偏振。反之，一个圆偏 -4-
电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播 振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为乃的线偏振的合成。 6.平面电磁波垂直直射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热。 证明：设在z>0的空间中是金属导体，电磁波由zV=50Hz时：δ1= =72m V0u0V2π×50×4πx10-7× -5
电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播 2>y=10Hz时：6，= 2 2 ≈0.5m ouo V2π×106×4π×10-7×. 2 2 3>V=10°Hz时：δ：= ≈16mm ouo V2π×109×4π×10-7×. 8,平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为日，求导电介质中电磁波的 相速度和衰减长度。若导电介质为金属，结果如何？ 提示：导电介质中的波矢量无=B+泣，立只有z分量（为什么？）。 解：根据题意，如图所示，入射平面是xz平面 导体中的电磁波表示为：E=它，eie-) k”=p+i泣 介质 与介质中的有关公式比较可得： 真空 B2-2=o2E a.B=7OHG 根据边界条件得：k,=B.+i,=实数，‘.，=0 ine 又k=k,-ksin6,-o sin0. 而入射面是xz平面，故，E"无y分量。，=0，B,=0 只有C,存在，有B与B其中A,-Qn0 sin )+B2-a:='ue 有{ 1 a.B.-zoua 解得： 医=a-gma,+gmQ-ortowa 2sin'6)2+o'u'a14 -6-
电动力学习题解答 第四章电磁波的传播 0 其相速度为：v= 2 衰减深度为儿 lo' 如果是良导体，则： si+-a=0 d.B.=-ouo 2 tesin 20+ B-0 in. 04 04 2csina+2Csima+ouo 9.无限长的矩形波导管，在在z=0处被一块垂直地插入地理想导体平板完全封闭，求在 一一n列，一0过篇内能有左油惜。 解：在此中结构得波导管中，电磁波的传播依旧满足亥姆霍兹方程 又2龙+k2龙=0 k=0√u8o 7.E=0 方程的通解为： E(x,y,z)=(C sink,x+D cosk,x).(C2 sink,y+D2 cosk,y).(C:sink.z+D:cosk.z) 根据边界条件有： E,=E.=0,(x=0,a), E.=E.=0,(y=0,b) 0E,=0.(x=0.0). a aE,=0,U=0,b), 正：=0，(z=0) [E.=A cosk xsink,ysink.z 故：E,=A,sin k,xcosk,ysin k,.z E.=A sin k,xsink y cosk.z 其中，飞=m ,m=0,1,2… a 飞s b ,n=0,1,2… 线+发+发==o6h-8且4+g+Ak=0 a .7-
电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播 综上，即得此种波导管种所有可能电磁波的解。 10.电磁波(x,八，z,)=(x,y)e-)在波导管中沿z方向传播，试使用 V×龙=i0,4,i及V×i=-i08,E证明电磁场所有分量都可用E,(化，y)和H,(x,y)这两 个分量表示。 证明：沿z轴传播的电磁波其电场和磁场可写作： E(x.y.z,t)=(x,y)e,(x,y,z1)=(x.y)e) VxE=a =i04,i 由麦氏方程组得 了×i=0 2=-i082 写我分武：9--票-成E,=0以， (1) 德-年=kE,-=oa,比， (2) E_BE,=iou,H. Ox 6 aH2_l_L-ik,,=-i08,E, (3) ol._ol:ik H,- H:=-i080E (4) 0z6 a OHy OH, Ox 6 x=-i06E: 由(2)(3)消去，得E,= ⊙3 1-0山ay -8-
电动力学习题解答 第四章 电滋波的传播 由(1)(4)消去H,得E.=- OH. E) 2 i-k) (ox" 由(1)(4)消去E得H,= 1 02 由(2)(3)消去E得H,= 1 6H-08x (k:oy ) 11,写出矩形波导管内磁场满足的方程及边界条件。 解：对于定态波，磁场为i(佗，t)=H()e而 7x月==-i0eE 由麦氏方程组{ 7.i=0 得7×（仅×i)=7N.i)-72i=-Vi=-i07×龙 又7xE=-0=i0u a ∴.-i087×E=o2u8i=-72i ‘(V2+k2)A=0,k=0趴即为矩形波导管内磁场7满足的方程。 V.i=0 由方.5=0得方.H=0,Hn=0 利用V×E=i0uH和电场的边界条件可得： On -9
电动力学习题解答 第四章电磁波的传播 (H=0 边界条件为 OH, 12.论证矩形波导管内不存在TMo或TM波。 证明：已求得波导管中的电场E满足： 「E=A1 coskxsink,ye Ey =Az sin k,xcosk,ye. E:=A;sink,xsin k ye. 由户=-三V×E可求得波导管中的磁场为： 04 H=-(dkik.)sin k,xcosk,ye ou 3H=-i(id.k,-Ak,)cosk,xsinky ve 04 H=-(.k-k )cosk.xcosk,ve ⊙L 本题讨论TM波，故H,=0,即：Ak.-Ak,=0 放：1D若n=0,则k,=Z=0,Ak,=0 又水-0那么4-0 .Hx=H,=0 2》若m=0,则k,-mz=0,4k,=0 又长=40那么4=0 .H=H,=0 ∴.波导中不可能存在TM和TM两种模式的波 13,频率为30×109Hz的微波，在0.7cm×0.4cm的矩形波导管中能以什么波模传播？在 0.7cm×0.6cm的矩形波导管中能以什么波模传播？ 解：1)y=3010Hz,波导为0.7cm×0.4cm -10-