电动力学习题解答参考 第三章静磁场 1.试用A表示一个沿z方向的均匀恒定磁场B。,写出A的两种不同表示式，证明两者之 差是无旋场。 解：B。是沿z方向的均匀的恒定磁场，即B。=BE,且B。=V×A 在直角坐标系中，V×A=、A-之尼 6A 8A. L)e+、eo CA,ods ) e,+、xoy [OA._C4,=0 Cy Oz 如果用A在直角坐标系中表示B。,即： OA,64:=0 G2 Cx oAx二0 &x Cy 由此组方程，可看出A有多组解，如： 解1：A,=A2=0,Ax=-By+f(x) 即：A=[-B。y+f(x)]e 解2：A=A2=0,Ay=Box+g(y) 即：A=[Bx+g(y)]e) 解1和解2之差为：△A=【-Boy+f(x)]E-[Bx+g(y)]E, 则： x(△A=L ，△M02-△M0E 1,+aw0w+7p2-, Ga Ox =0 这说明两者之差是无旋场。 2.均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为，电流强度为【，试用唯一性定 细成竺内从磁咸眠府P。 解：根据题意，得右图，取螺线管的中轴线为z轴 本题给定了空间中的电流分布，故可由日-！，T加求解能场分布，又了在导 线上，所以B=4,…× 4πJr3 1)螺线管内：由于螺线管是无限长理想螺线管，故，由电磁学的有关知识知，其内部磁 -1-
电动力学习题解答参考 第三章静磁场 场是均匀强磁场，故只须求出其中轴线上的磁感应强度，即可知道管内磁场。 由其无限长的特性，不妨取场点为零点，以柱坐标计算： F=-acoso',-asino'g,-z'e di=-ado'.sino'e,+adp'.cos'e .dlxF=(-ado'.sin o'e,+adg.cos'e,)x(-as'-a-2',) =-az'cos'd'.az'sin o'do'e.+a'ap'e 取由z'-z'+dz'的以小段，此段上分布有电流nldz B= o-az'sino'do'e,+a'dp'e) 4π [a2+(e')2]为 d( nu 1 4π】 [a2+(z)2]2 ()2+1]为 2)螺线管外部：由于是无限长螺线管，不妨就在xoy平面上任取一点P(P,p.0)为场点 (p>a) ..==(pcoso-acoso')2+(psing-asin ')2+z vpi+a2 +z-2apcos(o-o') 下=元-'=(pcos0-acoso)e,+(psin0-si0)克，-z'e dl =-ado'-sin o'e,ado'-cos'e .dl xF=-z''d',-az'sin o'do'e,+[a'-apcos-p)la''e 20 :.B=4.nlfao odgid'+ao -edz'+ 0 p-d'] 由于磁场分布在本题中有轴对称性，而螺线管内部又是匀强磁场，且螺线管又是无限 长，故不会有磁力线穿出螺线管，上述积分为0，所以B=0。 -2
电动力学习题解答参考 第三章静磁场 3.设有无穷长的线电流I沿z轴流动，以z0区 忧头吉宏求田唯一件宁阳龙磁咸应眠府D然后式中磁少中洁公在。 解：本题的定解问题为： V2A=-4,j,(z>0) 72A2=-47,(20 由此可推测本题的可能解是：B={2π 2 -eg,(z0) 综上所述，由唯一性定理可得，本题有唯一解：厄= 2π uo( 2x 在介质中，i=二-M,故在0的介质中，M=2-i, -3-
电动力学习题解答参考 第三章静磁场 助品总品 _1L-1e。 2m0 2r40 介质界面上的磁化电流密度： 2,=成质=么-呢8=如货-呢 2π4) 总的感应电流：=m=(片-r面1“-少，电流 2m4 在z0空间为真空，今有线电流I沿z轴流 求滋成应脲府知磁化中洁公布。 解：假设本题中得磁场分布仍呈轴对称，则可写作 B=ul 方：(B2-B)=0 其满足边界条件： 方×(i2-i)=立=0 即可得，在介质中： H2=“= u'o u 2 ru 而H2= ii'l tg-M 240 ·在x0的介质中，应=业L-包 2m40 则IM=「Md团，取积分路线为B→C→A→B的半圆。 ·.AB段积分为零 1w='-“2 24μ :i=+, 2nr :由40+1)e=店=-，可得= 2 2r1 4+ -4-
电动力学习题解答参考 第三章静磁场 空间B=必，上 l+oπr Iv= “一41（沿z轴） 4+) 5某空间区城内有销对称磁场，在柱坐标原点阳近已知B,:B,-C:2-弓P),其中 B。为常量，试求该处的B。。 提示：用又·B=0,并验证所得结果满足V×=0。 解：由B具有轴对称性，设B=BC,+5,元，其中B=B,-c-)2 ∷ =0 0‘pB,)+ B.=0 pip 即10pB,)-2ce=0 ∴.P”p=c2p2+A(常数) pcp 取A=0,得B。=c2p B-cep。+[6,-e-pg (1) j=0,D=0 .7×B=0即 B2_0B元，=0 (2) Oz ap 代入(1)式可得(2)式成立，.B。=czp,c为常数。 6.西个业么4的同轴尘圈形尘图位千一一+I而上每个尘图卜栽右同古向的由流。 (1)求轴线上的磁感应强度 (2)求在中心区域产生最接近于均匀的磁场时的L和a的关系。 提示：用条件 B.=0 Oz 解：1)由毕一萨定律，L处线圈在轴线上z处产生得磁感应强度为 -5-
电动力学习题解答参考 第三章静磁场 B1=B1.e, B。s4,.aixl 4x I r sina Mo la2 d0 4π[a2-(e-L）2]32 1 1 [L-2》2+a23 同理，一L处线圈在轴线上z处产生得磁感应强度为： 1 1 B2=B., B2= [(L+z)2+a2]为 ∴·轴线上得磁感应强度 B=B.e.- 1 +1 亿-+++j 2)=0 ∴.7×(V×B)=7(7.)-72B=0 .B=0,BB=0代入①式中， -化-'+au-2y2--zy+a-y+T+6L-形-+a月 [(L-z)2+a2] 亿+}2+[亿+2}2+a23 +z)2+a2]3--2)2[(L+z)2+a2]月 [(L-z)2+a2] =0 取z=0,得： (L+a2)3[-2(L2+a2)2L-2L2+a2)2]+12(L2+a2)2L2=0 .5L2=L2+a2 -6
电动力学习题解答参考 第三章静磁场 1 ∴L=5a 2 7.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流J均昀分布于截面上，试解矢势A的微分方 程，设导体的磁导率为4，，导体外的磁导率为山。 解：定解问题为： V2A=-4j,0a0 {0<0 A外。=l。 1V×a=7x 选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与z无关，令 A购-4r) A外=A外(r)e代入定解问题得： f1a4, )=-4J 1ar4=0 (r-or rOr 得4)=-有n2+Gar+C A外(r)=C,lnr+Ca 由Ar)-o<0得C=0 由×=x得C=-经加 .7-
电动力学习题解答参考 第三章静磁场 由=。令。=。=0得G=4 =H Ja'la a=14,id2-r) 弘，户。给出它的矢势的 8。假设存在磁单极子，其磁荷为Q,它的磁场强度为户=兰m·, 一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。 解：7=之m二=2.1 4u下4动， 由7×i=B=4,n=9色，得： Anr 1a rsin0 60 a 1=. 403 14-0 r'sine id or(rA=0 (1) 2-0=0 令A,=4=0,得：0-n-asim日 4π sin do ·sin0A,=∫40 心4 en1-cose 4n rsine 显然，A满足(I)式 ·磁单极子产生的矢势方=g1-cosB。 Ar rsing -8-
电动力学习题解答参考 第三章静磁场 讨论：当0→0时，A→0 当6→时，1→9， Aar 当0→π时，A→0，故A的表达式在0=π具有奇异性，A不合理 9.将一磁导率为4，半径为R,的球体，放入均匀磁场H。内，求总磁感应强度B和诱导 磁矩m。 解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取豆。的方向为e，此球体在外界存在的磁场 保持在一个 静止的状态，呈现球对称。 本题所满足的定解问题为： 70m=0,RR m-Om.H CR 9m,(R=R） 0mR0<0 R=HoRcose 由泛定方程和两个自然边界条件得： 9,-0Rea) 及5e0:2是em 由两个边界条件有： 4R5P(cosE-H,R,cos0+∑，=P(c 空a成ga-a9-2ea 得： -9
电动力学习题解答参考 第三章静磁场 4=-4,4 4240 d=u-HoR 4+243 an=dn=0,(n≠1) 0,RRo 4+24 「i,=-V0m244 μ θ，44 0g= 42 B=,=以 （i,=0 I-4、2R 克.-l--u、R 08 u+24 4+2u 二。+4-Rn。R)R 4+24) R B2=4,H2=4 44,Rrn_] I+2 〔`4，i,(RR) 当B在R>R,时，表达式中的第二项课看作一个磁偶极子产生的场 ,中，女RH,60s8可看作售极了m产生的势 4+24。R2 即：1.，H-4R 4zR3H+24 0=u丛.A。反 +24,R2 m=4r4-%.K方 4+243 10.有一个内外半径为R和R的空心球，位于均匀外磁场i。内，球的磁导率为4，求空 -10-