电动力学习题参考 第六章狭义相对论 1.证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 证明：根据题意，不妨取如下两个参考系，并取分别固着于两参考系的直角坐标系，且令t =0时，两坐标系对应轴重合，计时开始后，系沿Σ系的x轴以速度ⅴ作直线运动 根据伽利略变换，有： x'=x-vt v=y t'=1 1)牛顿定律在伽利略变换下是协变的： 以牛顿第二定律为例：户=m”: 在∑系下：F=m dt? ..x'=x-vt,y'=y,z'=z,t'=t F-mktm 21 d'2 dr= 可见，在义系中，牛顿定律有相同的形式，'=m dt' 所以，牛顿定律在伽利略变换下是协变的。 2)麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 以真空中的麦氏方程7×龙=一二为例，设有一正电荷q位于O'点，并随系运动， d 4,-0 在中，q是静止的，故：'-9 于是，方程V'ב=-成立。 er 将9方写成直角分量形式 '=9「一 _x' 4(0x2+y:+23 (x2+y2+z23 z 一方] (x2+y2+z'y -1-
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 hm的亦恤Y东女： 在Σ中， 龙=，9{ x-vt 4,'[0x-w)2+y2+z2]2 6r-w0P+2+2)3g+ 色+ x-w0+2+ V×E=- 3 40[0x-w)2+y2+22] [y-z)e.+ +(z-x+vt)e,+(x--y)e] 可见V×不恒为零。 又在∑系中观察，q以速度ve,运动，故产生电流j=g疤 于是有磁场B=4型 (R是场点到x轴的距离) 2πR B 此时有 =0 8t 于是V×E≠- t 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的。 2.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为1。，它们以相同的速率ⅴ相 对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺子上测量另一根 尺子的长度。 解：根据相对论速度交换公式，可得∑，系 Z 相对于∑，的速度大小是： V=2 01 0 ∴.在∑，系中测量∑2系中静长为1。的 尺子的长度为： -2-
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 3 代入=2y 1+ 12 即得1=。 此即是在Σ，系中观测到的相对于Σ，静止的尺子的长度。 1+ c 3,静止长度为l的车厢，以速度ⅴ相对于地面s运行，车厢的后壁以速度u。向前推出一 个小成式h而丽源芒丢水成从后醉前醉的+问。 解：根据题意，取地面为参考系S,车厢为参考系S 于是相对于地面参考系S, 车长： 1=1 车速：y球速：4=上+y 1+y 故在地面参考系$中观察，小球在此后，由车后壁到车前壁 1 Mt= 4.一辆以速度ⅴ运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起 一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔，求列车上观察者看到的 两铁塔被电光照亮的时间差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致，铁 塔到建筑物的地面距离己知都是1。 解：由题意，得右示意图。取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参考系'。 取x轴与x'轴平行同向，与列车车速方向一致，令1=0时刻为列车经过建筑物时，并 令此处为∑系与∑'的原点，如图。 在∑系中，光经过1=·的时间后，同时照亮左右两塔 ◆Z(z) 左 右 但在'系中，观察两塔的位置为： x左=1v-Bl= 1- 0 x=I X' -3-
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 x左=--B。=-l。=a+当 d=-o1=下 -) =一0叫三20+之) 2 时间差为： 生-} Ar= 5.有一光源S与接收器R相对静止，距离为1，S一R装置浸在均匀无限的液体介质（静 L折宏1由术对下二础情加礼管业酒给中河只铲收现：刚河只乐以压的时问。 (1)液体介质相对于S一R装置静止 (2)液体沿着S一R连线方向以速度v运动 (3)液体垂直于S一R连线方向以速度v运动 解：1)液体介质相对于S一R装置静止时： 4出=叫 2)液体沿着S一R连线方向以速度v运动： 取固着于介质的参考系'，'系沿x轴以速度ⅴ运动，在系中测得光速在 各个方向上均是9 由速度变换关系得在∑系中，沿介质运动方向的光速： c+v y'=1 1+ cn 1+')。 “R接收到讯号的时间为△，=Cn n 3)液体垂直于S一R连线方向以速度v运动 同(2)中取相对于S-R装置静止的参考系为∑系，相对于介质静止的系为 系，如下建立坐标： -4-
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 i=V R 可见，u(=-v 2 -v2t n 0 ∴.在Σ系中，测得y方向上的速度： :-V 1+4 1+以y h、 1 .△t3 不 变。今有一观察者以速度ⅴ沿x轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 解：根据题意，系，取固着于观察者上的参考系 又取固着于A,B两物体的参考系为Σ"系 在∑中，A,B以速度u沿x轴运动，相距为1，在∑”系中，A,B静止相距为lo,有： 1=l01 ∴.1o= 3 又Σ'系相对于∑以速度v沿x轴运动，∑”系相对于∑系以速度u沿x轴运动 由速度合成公式，∑"系相对于'系以速度 v'= -1 沿x轴运动 1 .在’系中看到两物体相距： I'=lo 1 7.一把直尺相对于∑系静止，直尺与x轴交角O,今有一观察者以速度v沿×轴运动，他 看到直尺与x轴交角8'有何变化？ -5
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 解：取固着于观察者上的参考系为 在∑系中：l.=1cos0,1.=lsin0 l =1,=Isine ∴.tg0 8.两个惯性系∑和'中各放置若干时钟，同一惯性系的诸时钟同步，'相对于∑以速度 V沿x轴运动，设两系原点相遇时，1。=1。=0，问处于∑系中某点(x,y,z)处的时钟 与Σ'系中何处时钟相遇时，指示的时刻相同？读数是多少？ 解：根据变换关系，得： x'-_x-vt …(1) Q v2 Vi-c P y'=y…(2) z'=z…(3) 0 0 t- X …(4) 1-e 设∑系中P(x,y,z,)处的时钟与'系中Q(x',y',z',1)处时钟相遇时，指示时间相同： 在（④式中，有1=”，解得：x=C1- c)代入(1)式， 得：=-c 1- 相遇时：f=t'= cd-1-c 即为时钟指示的时刻。 9.火箭由静止状态加速到v=√0.9999c,设瞬时惯性系上加速度为=20m·s2,问按 -6
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间？ 解：1)在静止系中，加速火箭 令静止系为∑系，瞬时惯性系为'系，且其相对于∑系的速度为，可知立，立，同向， 并令此方向为x轴方向 由x轴向上的速度合成有： v+u (v'是火箭相对于'系的速度) 1+ :在工系中，加速度为a-办=Q-”为- (a'=dv dt 本题中d=20m:s2,而'系相对于火箭瞬时静止，∴.u=y,v'=0 .a=d =d1- dt √0.9999C dv =「ddt 0 a-5 0 得： t=100W0.9999e =47.5年 10.一平面镜以速度V自左向右运动，一束频率为0，，与水平线成8.夹角的平面光波自 左向右入射到镜面上，求反射光波的频率0及反射角日，垂直入射的情况如何？ 解：1)平面镜水平放置，取相对于平面镜静止的参考系为∑'系，取静止系为∑系，并令 内 在∑系中，有： 入射光线：kx=kcos0,k=ksin日，kz=0,0,=0) 由变换关系，得∑'系中的入射光线： -7
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 'kx=kcos8,-e0,） k =-ksine. k2=0 0;=V(0,-kcos8) 在'系中，平面镜静止，由反射定律可得，反射光线满足： kv(kcosksin, k2=0:0,=(00-kcos6) 代入逆变换关系，得Σ系中的反射光线满足： k.=vco8,-0,)+吉@-kcos8,月=kcos0 kny=ksine. k=0 @,=keos8-点o,)+v@,-hcos8】=a, :在Σ系中观察到：入射角=？-日，=反射角，0，-0，=00 若垂直入日-子以上结论不夜。 3)镜面垂直于运动方向放置，同1)选择参考系，并建立相应坐标系 在∑系中，入射光线满足：kx=-kcos0,k=-ksin日，k。=0,0；=00 由变换关系，得'系中的入射光线： k'-w-kcos0,-吉o,) k=-ksine k =0 0,=M0。-(-kcos8]=V(0,+kcos8) 在’系中，平面镜静止，由反射定律可得，反射光线满足： k'=-W-kc,-之a,）=kcos6,+之o,k,=-ksin9, k2=0;0,=y(00+kcos83) 代入逆变换关系，得∑系中的反射光线满足： -8-
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 k =Mv(k cose,+0)+vo+vk cose,)] k=-ksine. k.=0 a,=feos线，+0，)+o,+kcos风，】 其中，k=0。并令B=Y C ∴.反射光满足：反射角：tg日= 'ka 8, lk [(B+cose)+B(1+B cose,)] 反射光频率：m=vo,[(1+Bcos8)+B(B+cos8,)】] 如果垂直入射，日，=0，于是，∑系中会观察到：日=日，=0 反射光频率：0=yo,1+B)2 11.在洛仑兹变换中，若定义快度y为tanhy=B 1)证明洛仑兹变换矩阵可写为： chy 00 ishy 0 100 0 010 -ishy 00 chy 2)对应的速度合成公式B=B'+B 1+B' ,可用快度表示为y=y+y” 00y 010 证明：1)auv= 0 0 01 0 -y00y -9-
电动力学习题参考 第六章狭义相对论 1 chy 其中y= V-e 1-B2V1-(h) shy (chy)2-(shy)2 chv ∴.y=chy 又By=thy·chy=shy chy 00 ishy 0 10 0 :.aw 0 01 0 -ishy 00 chy 2)速度合成公式： B=B'+B 1+g；可写为：h= thy'+thy" 1+thy'thy" 由定义ye-1 e2+1 h=er-】 e2y+1 得+-？-1h0+y 1+thy'thy"e2)+ .thy th(y'+y"),y=y'+y" 12.电偶极子P以速度节作匀速运动，求它产生得电磁势和场0，A,E,B 解：选随动坐标系，户，⊥立 在'系中，乃产生的电脑势p=,1B.R,a=0 4πE。R3 -10-