第六章狭义相对论 Special Theroy of Relatiyity §0引言 一、问题的提出 本书前几章，我们讨论了经典电动力学的基本理论和有关规律，但一直没有讨论参考系 问题。宏观电磁场的普遍规律是麦克斯韦方程组，那木这组方程在那些参考系成立呢？在从 一个参考系到另一个参考系，基本规律的形式何改变？基本物理量何改变？因此，在电 动力学中参考系问题是一个很基本的物理问题。这个问题的解决是和新时空观的建立联系在 一起的。在研究高速运动问题时，特别是电磁场的传播现象时，揭示了旧时空观的局限性， 建立了新的时空观-相对论。 相对论是关于时空的理论，是现代物理学的两大支柱之一。局限于惯性参考系的理论成 为狭义相对论，推广到一般惯性系和包括引力场在内的理论成为广义相对论。爱因斯坦在 1905年发表的《论动体的电动力学》，标志着狭义相对论的建立：1916年发表的《广义相对 论基础》则宣告了广义相对论的诞生。狭义相对论的产尘与研究运动参考系中的电磁运动规 律密切相关，同时它的建立又大大地促进了人们对电磁现象的认识，故在电动力学课程中， 我们只限于学习狭义相对论。 二、本章主要内容 狭义相对论是以两个基本原理为理论基础和出发点，以同时性的相对性为突破口，以洛 伦兹变换为核心的限于惯性系的时空理论。主要内容包括四个方面： 1.洛伦兹变换一一相对论时空理论。惯性参考系之间时空坐标的洛伦兹变换及其物理意 义，相对论的运动学效应。 2.物理规律的协变性一一物理规律在任意惯性系中可表为相同的形式。协变性要求是对 各种场和粒子间相互作用规律的探索的主要理论指导之一。 3,电动力学的协变性一一把电动力学的基本规律表为协变形式。使电动力学成为明显相 对论的理论，用来解决任意速度带电粒子与电磁场的相互作用问题。 4.力学规律的协变性一一把力学规律推广为协变性的相对论力学，山此得到相对论的质 量、能量和动量的关系。这些关系是原子能应用的主要理论基础，是解决高能粒子运动和转 化过程的运动学问题的主要工具。 三、本章研究思路 从实验事实出发，引入相对论的两个基本原理一一相对性原理和光速不变原理，山此 导出时空坐标的洛伦兹变换式，并着重讨论相对论的时空概念。然后把电动力学基本原理表 为适用于一切惯性参考系的形式，并导出势和电磁场的变换关系，最后把力学规律推广为相 对论协变形式，并讨论相对论的质量、能量和动量关系。 四、本章基本要求 1.重点掌握相对论基本原理和时空理论：掌握电磁运动规律的协变形式：
2.正确理解和运用相对论力学的主要结论： 学习过程中，应特别注意克服基于口常尘活经验的经典时空观的干扰，并有意识地注 意相对论讨论问题的方法，以及独特的解题方法的技巧。 §1相对论的实验基础 Fundament of Experiment About Special Relativity 学习指导 1.电磁场运动的参考系问题。描述物体的运动状念需要建立一个确定的参考系。在前面 的电磁问题研究中，虫然没有明说，但是以地球为参考系，或以地球上任意一个（相对于地 球表面来说)静止不动的物体。此时，在所研究的电磁场系统内，不存在运动的带电体、运 动的导体、运动的媒质，这样的系统称为静止系统电磁场。如！果所研究的电磁场系统内，运 动的带电体、运动的导体、运动的媒质三者之中，只要存在其中之一，便称为运动系统的电 磁场。静止系统的电磁场受麦克斯韦方程组支配，运动系统电磁场也受麦克斯韦方程组支配， 但是必须是相对论形式的。 2.狭义相对论的内容主要包括两方面：时空理论，物理学的相对性原理。时空理论集中 反映在不同惯性学之间的洛仑滋变换和它所包含的物理内容上面。洛仑滋变换是山洛仑兹提 出来的。为什么狭义相对论山爱因斯坦建立，因为爱因斯坦把相对论的概念应用于全部物理 实验，而不仪仪应用于有限范围的现象。 3.旧有的时空观认为时间与空间彼此互不相关，没有联系：空间及时间与运动物质无关 系。所以时空观则认为时间与空间是不可分割的，不是互不相关、互相独立的。时空与运动 物质有着极为密切关系，时空是运动着的物质存在的基本形式。 4.一些概念的说明 ①.参考系：为了描述自然界中所发现的过程，必须有一个参考系统，参考系统应理解 为一个坐标系统，和固定在这个坐标系甲的钟，坐标系用来决定一个质点在空间的位置，钟 用来指示时间。②.惯性系：有这样一些参考系统，在其中，一个自山运动物体，即不受外 力作用的运动物体，是以等速度行进的，这种参考系叫惯性系统。如果两个参考系统彼此相 对作匀速运动，而其中的一个又是惯性系统，那么，另外一个显然也是惯性系统（在惯性系 统中每一个自山运动也将是匀速直线运动)，因此，我们可以有任意个相对作匀速运动的惯 性系统。③.相对性原理：在一切惯性系中，力学现象遵循同一的力学定律，或者，粗略地 讲，相对性原理断言，物理规律在各种不同的参考系中都是相同的。这就是说，描述自然界 定律的方程，用不同的惯性参考系统的坐标和时间与出来，将有同样的形式。④.以太， 力学相对性原理不适合电磁规律。一些机械唯物主义者从低速范围力学的旧时定理论出发， 机械地将机械振动、声波与电磁场、电磁波进行简单类比，认为太空中存在一个无所个存的 特殊参考系一以太。光只能够对这个特定参考系的传播速度为C,因而麦克斯韦方程组也 就只能对该特殊参考系成立，果确是如此，则经典力学中一切惯性参考系等价的相对性原 理在电磁现象中不再成立，因而山电磁现象可以确定一个特殊参考系，这样便可以把相对于 2
该特殊参考系的运动称为绝对运动。但是，1887年，迈克尔逊一莫雷实验的结果与以太说 矛盾，以太说实际上受到一次致命的挑战。爱因斯坦认为以太概念不是必须的，即电磁波的 传播并不一定需要一种介质。地面上的光速仍为C是麦克斯韦方程在地面上依然成立的迹 象。当然不能认为地球是一个特殊优越的参考系，电磁学应该和力学一样，满足相对性原理， 这样，不需要任何附加的假设，地球的绝对速度就是任何电磁实验不能发现的，而与此同时， 以太的概念必须被抛弃，这就是狭义相对论的概念。 一、相对论产生的历史背景 1、经典时空观 19世纪以前，人们研究的是经典物理学，它的核心是经典力学、经典热力学、和经典 电动力学。经典物理学具有相当严密和完整的理论体系，并在生产实践和科学实验中经过了 反复的考验和证明。经典的时空观集中表现在伽利略变换式的数学形式中。 图，两个惯性系∑和'，'相对于∑沿x轴作匀速v直线运动，设仁0，O,O'重 合，月v=vexa 在相对论中，把空间某一位置(x,y)在某一确定时刻1发生的任何一 （x,y,z, P 个现象，称为一个事件。观察者分别在∑和'系观测同一事件P,所得 (xy'zt) 结果为P(xyz,)和P(x',y',z',t。 按照伽利略变换，各时空坐标有关系 r'=r-vt 1'=1 在∑和'分别观测同样两个事件P(x,y,z,t)和P(x,y',z,t),则它们之间的空间 间隔和时间间隔为 |4r=41 At At' 上两式表示，无论钢材者的运动状念如何，他们所观测到的空间间隔和时间间隔是不变的， 或者说两个量值是绝对的。这就是牛顿时空观的核心一一绝对空间、绝对时间。在人们熟悉 的宏观低速运动中，上述结果常常被认为是无可怀疑的事实。其它物理量 速度 u'=u-v 加速度 a=a 质量 m'=m 牛顿第二定律 F'=m'a' F =ma 这表示力学定律在不同惯性系中具有相同的形式，称为伽利略相对性原理。经典力学中其它 物理量的变换关系可以从伽利略变换导出，共它基本定律可以利用相应物理量的变换关系证 3
明它们的确保持不变。 2.电动力学的参考系问题 根据麦克斯韦方程组，可以得到波动方程，并山此方程得出电磁波在真空中的传播速度 为c,即根据电动力学，它应为一个常量c=1/√4。。。按照经典速度相加公式，不同运动 状态的观测者测定同一束光的传播速度应有不同的结果。要是经典的速度相加公式是正确 的，电动力学规律即麦克斯韦方程组就不可能在不同惯性系中都成立，它只能在某一个特殊 的惯性系中适用，电磁波在真空中只能对一个特定的参考系传播速度为℃，相对性原理对于 电磁运动是不正确的。总之，在电动力学范围内，相对性原理与经典速度相加原理是不能并 立的，要是有一个正确，另一个就必定不正确。 当时，几乎所有物理学家都倾向于肯定速度相加公式，而杏认电磁现象的相对性原理， 认为麦克斯韦方程组只对某一“绝对静止”的惯性系成立，真空中的光速仪对于这个惯性系 是℃，联系这个“绝对静止”空间的介质称为“以太”。在其它惯性系，与地面联系相联 系的惯性系中光速不再是c,而是其值与c之差就是地球相对于以太系的速度，或者说就是 地球感受到“以太风”的速度。 寻找这个特殊参考系和确定地球相对于这个参考系的运动成为19世纪木的一个重要课 题。 3迈克尔孙一一莫雷实验及其“零结果” 测量地球上以太风的关键性实验是在麦克斯韦的建议下做的。1879年，麦克斯韦在致 美国天文年鉴局局长托德的一封信中提出了测量太阳系在电磁以太中运动速度的一个想法。 这封信被当时已在那甲工作的26岁的年轻海军军官教官迈克尔孙读到了，边克尔孙那时已 在精确测量光速方面做了不少工作。遗憾的是正是那年的11月5口，一代伟大的物理学家 麦克斯韦与世长辞（爱因斯坦恰好那一年诞生），但是他的这封信却产生了重大的作用。 迈克尔孙于1881年利用他发明的、后来以他的名字命名的干涉仪直接比较了沿地球公 转运动与垂直方向上光的速度。其后于1887年山于莫雷合作，以史高精度重复了这一实验。 按照当时的经典理论，假存在以太风，不同方向上的光速应有差别，从而干涉仪中的干涉 条纹当整个仪器在水平方向上转过90°时将发生移动。干涉条纹的移动，或者说“以太风” 的存在，被认为是光速并非恒定的一种显示。在1887年的实验中，山以太理论预言的条纹 移动为0.4条，但实验观察到的企多只有0.01条。其后，全世界的物理学家又不断地、数「 次地重复了这类实验。然而实验结果否定了预想的结果：干涉条纹并不移动。这被开尔义称
为经典物理学“晴朗的天空出现了一朵乌云”。 4.相对论的建立 为了驱散“这朵乌云”，人们提出了各种理论。如！“以太理论”(“以太”固定，没有收 缩：“以太”固定，但有洛伦兹收缩：“以太”可被实物拽引)和“发射理论”（原始光源： 弹射：新光源)，但最后都陷入了顾此失彼，自相矛盾的困境。 1905年，当时年仪26岁的爱因斯坦经过近10年的思考，终于认识到，“在经过这么多 失败之后，现在应该是完全抛开以太的时候了”。这就是说，在电磁学领域也不存在绝对参 考系。或者说，电磁现象仍然满足相对性原理，麦克斯韦方程在个同惯性系中应具有相同的 形式。然而，山于麦克斯韦方程中包含光速，因此为了使它的形式保持不变，光速c也保 持不变。当然，爱因斯坦在做出这样的选择时，他也意识到必须抛弁伽利略变换，寻求一种 新的时空变换，山这种新的变换导出的速度变换关系能保证光速不变。 基于以上分析，爱因斯坦提出两个假设：光速不变原理和爱因斯坦相对性原理，并在此 基础上建立了他的相对论。 二、相对论的实验基础 1.光速不变一一实验物理学家的一个永恒主题 (1).光速个依赖于观察者所在参考系 测定地球上以太速率的实验结果 实验 结果(km/s) 边克尔孙(1881年) 20 边克尔孙和莫雷(1887年) 5 莫雷和密勒(1904年) 3.46 密勒(1924年) 3.35 依林乌斯(1927年) 2.27 迈克尔孙等(1929年) 3.16 朱斯(1930年) 1.5 微波技术(1958年) 3×102 穆斯堡尔效应(1970年) 5×10- (2).光速与光源运动无关（参阅p232) 天义学方面：双星运动观测：
高能介子衰变实验： 运动电荷辐射实验。 到目前为止，所有实验都指出光速不依赖于观察者所在的参考系，而月与光源的运动无 关。光速不变性是金今为止人们认识到的电磁现象的一条基本规律。真空中的光速℃是最基 本的物理常数，它是在任意惯性参考系中测出的真空中电磁波传播速度。根据国际科技联盟 理事会“1986年基本物理常数推荐值”的规定，真空中的光速c=299792458s已成为一 个定义值，结束了300年来不断地精确测量光速的历史。将光速取为固定值，与爱因斯坦的 光速不变原理相一致。 2.其它相对论效应的实验检验 除光速个变性的实验以外，对共它相对论效应都有实验检验，这将在以后各节中加以阐 述。重要的有： (1)横向多普勒效应实验，证实相对论的运动时钟延缓效应（见§3）： (2)高速运动粒子寿命的测定，证实时钟延缓效应（§3）： (3)携带原子钟的环球飞行实验，证实效应相对论和广义相对论的时钟延缓总效应： (4)相对论质能关系和运动学的实验检验。原子核能的利用，完全证实相对论质能关 系，基本粒子的产生、湮灭、碰撞和转化服从相对论的能量和动量守恒定律。这是目前对狭 义相对论的相当广泛和有力的实验验证（§6）。 狭义相对论已有广泛的实验基础，是正确反映当代科学实践的理论，是物理学发展历 史上最光辉的成就之一。 作业： §2相对论的基本原理洛伦滋变换 Pinciples of Special Relativity Lorentz Transformation 重点：1，空间是均匀并各向同性的，时间是均匀的。2.运动的相对性、时间和参考系 有关。3.光速不变原理。4.洛仑兹变换式。 难点：对空间均匀和时间均匀性的理解。 学习指导： 1.时空观的变革。旧有时空观认为时间与空间无关，一切物质包含在空间之内，牛顿 认为“绝对空间，就共本性来说，与任何外在的情况无关，始终保持着相似和不变”，“绝 对的、纯粹的数学时间，就其本身和本性来说，均匀地流逝而与任何外在的情况无关”，这 就是说，空间、时间、“外在的情况（物理过程）”这二者是互相独立的、无关的。因此，伽 6
利略参考系可以是空间一维坐标而把时可作为独立参量，而狭义相对的时空观有了重大变 革，认为时间与空间是不可分割的，不是五不相关，互相独立的，时间与空间有者密切的关 系。 2.洛仑兹变换式。洛仑兹为了解释边克尔逊实验，于1892年提出假说，认为当物体对 以太参考系运动时，它沿着运动方向的长度就会有一收缩。1904年，洛仑滋进一步发展了 他的理论，在收缩假定上补充了“局部时间”概念，给出了今天相对论的时空变换公式一 洛仑兹变换公式。但是，他这样做是为了假定以太存在的前提下，用来解释边一莫实验而作 出的假说，尽管他走到了新理论的边缘，但他未能摆脱机械论的影响，把握着以太的观点不 放，因而即使变换公式是他提出来的，但他未能对其作出正确的解释。从教材上可以看到， 狭义相对论的变换式的推导是建立在相对性原理和光速不变原理上，它反映了深刻的内容。 一、相对论的基本原理 爱因斯坦总结了大量实验事实并进行了极为严密的理论分析，于《论动体的电动力学》 这篇著名的论文中提出了作为狭义相对论基础的两条基本假设： 1、相对性原理 所有惯性参考系都是等价的，而物理规律对于所有惯性参照系都可以表示为相同的形 式。 相对性原理表明：任何惯性系在描述任何物理过程，包括力学的、电磁学的过程中都 是等价的、平权的。不论哪一种物理实验过程都不可能找到“绝对静止”的参考系，或测定 物体“以太”的“绝对速度”。 2、光速个变原理 真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c,月与光源的运动无关。 伽利略变换与相对性原理和光速不变原理是矛盾的，下面分析光速不变原理对时空坐标变换 的要求。 设=0时，∑，'系重合，从公共坐标原点发出一个光信号： =1s时，∑系观测：波前是以O为中心，c为半径的球面S,S上的 Σ 接收器同时收到光信号（如P,P,P等）： y '系观测：波前是以O为中心，ct′为半径的球面S(=ls): P接收信号将早于P: 结论：∑系观测同时的两个事件，在'系不同时。光速不变原理所 导致的时空概念是和经典时空相矛盾的，所有最基本的时空概念，同时 性，距离，时间，速度等都要根据新的实验事实重新加以探讨。 个
3讨论： ()注意两个原理的各自含义和相互关系： 爱因斯坦相对性原理是伽利略相对性原理的推广：光速不变原理是实验事实的总结。 光速不变原理处于核心地位，导致旧时空观的破裂。 (2)对时间和空间的再认识： 时间和空间是运动着的物质存在的形式，时空概念是从物质运动中抽象出来的：离开物 质及其运动，就没有所谓绝对的时空概念。 (3)两条基本假设只适用于惯性系，以下的全部结果也只适用于惯性系中，对加速参考 系不适用。这就是狭义相对论称为“狭义”的原因。 (4)虽然两条假设本身不能直接证明共正确性，但从未发现有任何事实与两条基本假设 和山此而引出的狭义相对论相抵触：相反，山它们预言的效应却不断地被实验所证实。 二、间隔不变性 1.引入与定义 经典的时空坐标的变化是建立在时空独立，月两点间距离不变的基础之上的.对于相 对论的四维时空坐标的变换，我们也希望找到这样一个不变量，山此引入四维间隔的概念。 在相对论中，把空间某一位置(x,水，)在某一确定时刻1发生的任何一个现象，称为一个 事件，表示为(x,y,z,)。下面以图6-3为例分析， ∑系观测：发出信号(0.0.0.0)，接收信号 (xy,2,1) '系观测：发出信号(0.0,0,0)，接收信号 (x,y',z,t') 山于光速不变，两系观测到波前均为球面，两个球面可以分别表示为： s2=c212-(x2+y2+z2)=0 s2=c212-(x2+y2+z2)=0 s2称为事件(x,y,z,)和(0,0.0.0)之间的间隔，s2称为事件(x',y',z,1')和(0.0,0,0)之间的间 隔。对于这种用光信号联系的两个事件之间的间隔，其值均为零。 2.一般定义 一般来说，两事件(x1,y1,21,1)与(x2,y2,乙2,12)的间隔定义为 s2=c2(t2-1)2-(x2-x)2-(0y2-y)2-(z2-z1)2 而在另一参考系观察这两事件的时空坐标为(，，，）和(x,,z2,),其间隔为 s2=c2(t;-t2-(x3-x)2-(y5-2-(z5-z月 在一般情况下，两个事件的间隔不为零。我们假定在不同两个惯性系之间存在：s2=As2 A是一个系数。山于时空的均匀性，A应与时空坐标无关：山于时空的各向同性，A也不应 与两惯性系之间相对速度v的方向有关：最多只能与"的大小有关，即A=A()
设惯性系二，和∑，相对于∑的速度大小分别为y和y2,,相对于∑的相对速度为 V2=y1一v2。果A与v有关，则应有 s2=A(v)si s2=A(v2)s? s子-4Ay2s 山此得到 Av2)=Av) A(v) 但2是与y,、y2之间夹角有关的，而上式左边与夹角无关。山此A必须为常数1。这样 s2=s2 即两事件的间隔在不同惯性系中有相同的值，称为间隔不变性。 3.讨论： (1)间隔不变性是光速不变性原理的数学表达式： (2)间隔不变性是导出四维时空坐标变换关系的重要的理论依据： (3)时间和空间是四维变量，但山两者所组成的间隔都是恒定不变的。山此可见，间隔 是一个把时间和空间统一起来的概念.在狭义相对论的框架内，时间和空间都是相对的、变 化的。 例1(P238) 三、洛伦兹变换 1解决的问题 洛伦兹变换表达的是同一事件在不同参照系内两组时空坐标之间的变换关系。 2.导出 首先，变换关系必须是线性关系。 因为只有线性变换小能保证凡相对于∑系匀速直线运动的物体，相对于'也是匀速直 线运动，从而使得一切物理规律在任何惯性系中有可能表示成相同的形式，满足相对性原理； 也只有线性变换，小能满足时间空间是均匀的、各向同性的要求。 1图，两个惯性系∑和∑'，'相对于∑沿x轴作匀速y直线运动，设=0，O,O'重 合，且y=ve.。 设一事件在∑系中的坐标为(xyz,1),而在′系中坐标为 (x',y',z',1'),山于′相对于∑沿x轴运动，y和z不变。考虑到变 (x.y.z.t) 换应为线性关系，变换应具有特殊形式 (x.y.z't) X 9
x'=dux+anct y'=y (1) z′=2 ct'=azx+azct 山间隔个变性知 (a1x+a2ct}+y2+z2-(a21x+a22c4}=x2+y2+z2-c2t2 展开为 (ai -ak+(audn dzdz kct+y+22+(ai -at x2+ y+22- c212 比较等式两边的系数，得 (ai-a)=1 (a11a12-a21a2）=0 (2) a6-a)=-l 山于x轴和x'轴正向相同，应取a1,>0；山于t轴和1'轴正向相同，应取a2>0。解这 个四元二次方程组，得 411=422= a12=a21 1- 代入(2)式，得 x-UI X= V1-w2/c2 y=y z'=2 (6.2) 1- 1、02 c2 将上式中的v改为-U',便得相应的逆变换式 10
