第3章 静磁场 3.1矢势及其微分方程 3.1.1 矢势 稳定磁场是有旋场，V×B≠0，一般不能引入标量势，但是，我们却可以根据它的无源 性，引入一个矢量函数一矢势来描述稳定磁场。 因为V·B=0,根据矢量分析公式，任一矢量的旋度再取散度恒等于零，即 7·(7A)=0 所以磁感应强度可表示为 B=V xA (3.1-1) A称为磁场的矢势.为了看出矢势A的意义，把B对任一个以回路L为边界的曲面S 积分，得 V×Ads=Adl (3.1-2) 式中左边是通过曲面S的磁通量 因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一 曲面的磁通量，只有A的环量才有物理意义，而每点上的A(x)值没有直接的物理意义， 由式(3.1-1)可知，通过A可以确定B,但对于某一确定的磁场B,矢势A却并不 唯一。这是因为，任一标量函数o的梯度再取族度恒等于零，即 V×V0=0 若A是磁场B的一个矢势，B=V×A,则A加上任意标量函数的梯度后得到的新矢量 A'=A+V0 (3.1-3) 也是磁场B的矢势： V×A'=V×(A+Vp)=V×A+V×Vp =V×A=B 这就是说，对于一个给定的磁场B,矢势可按下面的关系作变换 89
A→A'=A+79 这样的A可以有无限多个。这种变换叫做矢势的规范变换，选定一个φ就叫做一种规范。 实质上，A的这种任意性是由于B=V×A只确定了A的旋度，而要完全确定一个矢量 场，还必须给出它的散度。A的这种不确定性表面上看似乎使问题复杂了，实际上却不 然，因为我们可以适当规定V·A的函数形式，从而使场方程化成最简单的形式。通常 是取 V·A=0 (3.1-4) 按这个条件选择的A称为库仑规范下的A,(3.1-4)式称为库仑规范条件或横场条件。从 数学上看，任何一个矢量场都可以看成是纵场和横场的叠加，旋度为零而散度不为零的 场称为纵场，散度为零而旋度不为零的场称为横场。前者的力线具有发散状结构，后者 的力线又有祸旋状结构。库仑条件表明：我们所取的A只有横场而不包含纵场。 为了满足库仑规范条件，应选什么样的函数呢？假如有一个矢势A不满足库仑条 件，例如V·A=a,我们总可以找到一个新的矢势A+Vp,使它满足库仑条件： 7.(A+7p)=7·A+720=0 这就要求 V2o=-a 不难看出，满足这个方程（泊松方程）的也不是唯一的，所以即使我们选定了库仑规范， 矢势A也还不是唯一的，还可以相差一个满足拉普拉斯方程的标量函数的梯度： 72p'=0 A'=A+Vo (3.1-5) 若A满足B=V×A,V·A=0,则A满足B=V×A',V·A'=0.不过在经典物理的范 围内，这种不唯一性对于我们进一步研究磁场并没有影响。 3.1.2 矢势微分方程 在均匀线性介质内，B=H,将此式与式B=V×A一起代入式V×H=J,得 V×(V×A)=W (3.1-6) 90
由矢量分析公式可知 V×(V×A)=V(V·)-V2A 若取A满足规范条件V·A=0,得矢势A的微分方程 V2A=-uJ (3.1-7) 可见在稳恒场条件下，矢势A与标势P满足同样形式的微分方程，即泊松方程。在三维 空间中，(3.1-7)式可分解为三个分量方程。如采用直角坐标系，分量方程为 (V2A0,=V2A,=-W,(i=1,2,3) (3.1-8) 在柱面坐标系和球面坐标系中，(3.1-7)式的分量方程形式比较复杂。参见附录。 在由均匀线性介质构成的无界空间中，静电势泊松方程 V2p=-P/8 的解为 = 4π8 xav' 与此对应，这类无界空间中，(3.1-8)式的解应为 A)=名( (i=1,2,3) (3.1-9) 4πr 对三个分量式求矢量和，则有 (3.1-10) 在线电流的情况下，作代换JdP'~1',(3.1-10)式变为 (3.1-11) 对(3.1-11)式取旋度 B()=7x4=品V×()=7号× =uI dl'xr 4π中r 这正是毕奥一沙伐尔定律。 91
3.1.3 矢势边值关系 在两介质分荞面上磁场的边值关系为 n·(B2-B)=0 (3.1-12) nx(H2-H)=a (3.1-13) 将介质状态方程B=H和B=V×A代入上式后，可得矢势A的边值关系 n(V×A2-V×A)=0 (3.1-14) nx(:7xA-7x4,)= (3.1-15a) (适用于非磁性材料) n(V×A2-V×A)=w.[af+n×(M2-M;)] (3.1-15b) (适用于磁性材料B=4(H+M)) 我们还可以导出另一组以A表示的边值关系。图3-1中，对狭长回路应用 九 图3-1 fAdl=×AdS=B·dS=p, 当回路短边的长度取高阶无穷小量时，回路所包面积趋于零，则通量由中→0，可得 到t。·(A2-A)=0,即 A2=Au (3.1-16) 图3一2中，对小圆柱体应用 92
图3-2 ·Aw=fAS=0 当圆柱侧面面积取高阶无穷小量时，可推出·(A,-A)=0,即 A2=A (3.1-17) (3.1.16)和(3.1.17)式合起来得 A,=A1 (3.1-18) 即在两介质分界血上，矢势A是连续的。 此外，由于nX7x4,-4)=7n(4,-A】-:74.-A=-品(4-A, (3.1-15b)式可改写为 柔(4-A=-h,[ay+nx(M:-M】 (3.1-19) (3.1-18)和(3.1-19)两式是另一组以A表示的边值关系。可以证明，这两组边值关系是基 本一致的。 *矢势A的物理意义： f4l=∫7×Aa8=B-as=更m 表明矢势A在静磁场中沿任意闭合回路的环量等于通过以此闭合回路为边界的任意曲 面的磁通量。 3.1.4 静磁场的能量 磁场的总能量为 93
w-famav (3.1-19) 在静磁场中，可以用矢势和电流表示总能量. 由于B=V×A,则 W=2∫B.r=2∫×A0Hn=2(4×+A(×HW =3fAxm西+打4Jd 上式第一项在无穷远界面上的积分趋于零，因此 w-∫AJ (3.1-20) 例1试找出一种在球坐标系中匀强磁场B。的矢势（要同时 满足V·A=0)。 解设B。沿%轴方向，即 Bo=Bex=B。cos0er-B。sinbeo 7×4=,m品(m9A)-2路e 「10Ar-品(rA) rl.sina +[易rAg）-a路1e a0 两式对照，可得 rsin9la0（sin9Ao)- 1a aAo-B.cos0 ad J 1「1 8Ar sin0aφ 品(rA小=-，sn0 0 (rAo)-_ A,=0 20 我们用试探法找A,A。和A。,使之满足以上三个方程。对于于第三式，最简单的情况 是：A.=A。=0 将此结果代入第二式，得出 1(Ae)-Bosin r ar 对上式积分后，去掉在物理上不起影响的常数项，得到 A中= 1Borsin 94
将A。和A值代入第一式的左方，得到 1 (sin 0-Borsin )=Bo cos rsin 0 00 则第一式也得到满足。 由于 7A=4+7g品(sm0Ag）+pag路 1aAφ 以上Ar、A。和A中之值显然满足V·A=0。因此，均匀磁场B。 的矢势A的一种表达式为 A-2 Brsin0e0-2B,×r 例2.无穷大导体平面上流有均匀面电流a,,求空间中的A和B. 解设导体平面为z0x平面，a,方向与z轴方 向相同，用直角坐标系，由a,的方向可知空间点A 只有z分量，且与x、z无关。所以72A=0,只有z 分量方程， 7A2= A2=0 dz 在由导体平面分开的空间左右方，各用一个微分方 图例2 程表示： A=0 d (y0), A:=0 dn (y>0) 95
其通解分别为 A1=ay+b(y0) 在y=0处，A,=A2,所以b=d。为方便（且不影响求B),可设 b=d=0 又由于空间左右对称，y=处的A,应与y=一。处的A相等， 即cy。=-ay则 c=-a 再根据g=0处，司(4，-A,)=-山，可得2a=,。则 ay 1 a=2Mof, 6- 将系数值代入通解，得到 A=arye:(a) 为了方便，下面将Az、A2写成A1、A2,通过积分求出A与A2的通解为， 4玩0r+6nr+c A:=-L (ga) r=0处，A1有限，则b=0。 r=a处，A2=A,可得到 f=-4I-dina+o 4 96
r=a处，1e,xV×A=e,xV×A,应用矢量分析公式 o u ×了-（-2）e,+(-) +[品o)-6]e: 可推出 d=- 将这些系数值，代入A1、A2的通解中，并没任意常数c=O(不影响求B),得到 A1= Axgir'es uI (ra) B=V×A= 2mairep B,=7xA,=1e0 2πr 3.2磁标势 解磁矢势微分方程比解静电场标势微分方程要复杂，因为前者要解三个标量微分方 程而后者只解一个标量微分方程。那么在解静磁场问题时能否类似静电场那样引入磁标 势，从而使问题得到简化呢？ 3.2.1 磁场可以用标势描述的条件 一个空间区域V中的磁场可以用标势描述的条件是在其中作出的任何一条闭合曲 线都不连环着电流。 在区域V中任取一条闭合曲线L,设S是以L为边界的任一个曲面，规定L的绕行 方向与S法向成右手螺旋关系。由于L不连环电流，流过曲面S的电流强度等于零，由 Ampere环路定理： nd=[.ds=0 即 97
[W×H)S=0 由于S面是任意的，在区域内必有 V×H=0 (3.2-1) 所以H是个无旋场，可以引进一个标量函数描述。 必须注意，仅仅式(3.2-1)成立，即所考虑的区域内不有在电流，并不能保证这个区 域中的磁场一定可以用磁标势描述，例如空间一根无限长载流直导线，导线外的空间中 不存在电流，但在导线外空间中仍可作出连环着电流的闭合曲线（如图3.2-1中的L)。为 了使导线外空间满足可以用标势描述的条件，我们需要去掉含导线在内的整个半无限大 平面。这时（图3.2-）中的闭合曲线L,由于去掉了在半无限大平面上的点，就不再是闭 合的了。其余空间中任何一条闭合曲线都不会再连环着电流。同样，对于（图3.2-2）所示 的电流圈，为了使除去电流圈的空间可以用标势描述，需要去掉包含电流圈在内的一个 薄壳层。 图3.2-1 图3.2-2 从物理上看上述作法相当于把磁场由横场变为纵场。由于去掉的部分切断了原来闭 合的磁力线，使磁力线从壳的一面发出，而终止在壳的另一面上（对图3.21情况是从半 无限大平面一侧发出，终止在另一侧上)，就好象壳的一面分布有正磁荷，而另一面上 有负磁荷，这样磁力线就成为由正磁荷发出，终止在负磁荷上的纵场。因此可以用标势 描写。至于永久磁铁的磁场，由于其磁场是由分子电流激发，全空间中部没有自由电流， 因而在全空间中都可用标势描述。 98