电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 1.根据算符7的微分性与矢量性，推导下列公式： V(A.B)=B×(N×+(B.V)A+Ax(V×B)+(A.V)B ixW×=Va2-(a.va 解：1)V(A·)=B×(V×)+(B.V)A+A×(V×)+(A.V)B 首先，算符V是一个微分算符，其具有对其后所有表达式起微分的作用，对于本题， V将作用于A和B。 又又是一个矢量算符，具有矢量的所有性质。 因此，利用公式×(a×b)=·(亿·b)-(心·)b可得上式，其中右边前两项是7作用于 A,后两项是V作用于方 2)根据第一个公式，令A=B可得证。 2.设u是空间坐标x,y,z的函数，证明： Vfw=乎v du V.4A0)=7u. du 7×A(u)=Vux du 证明： 1) Vf)of i仙w$e+少5 ey du 6 du 6 du 2) viw-a.m+a,@+4)_a,.a+a,0.a0+4,@.0- dA Ox du 8 du o dz 8 d 3) Vx 4(u)= =( A. ,+ A.o) A,(u)A,(u) -1-
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 =（du dy du e dudu ag,+(dacd加0 y=Vw×dM 3.设r=V(x-x)子+(y-y)2+(z-z)2为源点x到场点x的距离，r的方向规定为从 源点指向场点。 D证明下列结果，并体会对源变数求微商V众号+”。 +)与对场变数求 0+-0 -6 微商V=+y0“】 -+ )的关系。 Vr--Vr-ZvI--V1--z.Vx--0V.- 3=0.(r≠0) (最后一式在人=0点不成立，见第二章第五节)。 2)求 7.i,V×,(@.V)产，7(a.),7L上sim(.f收7×L形。sin(依.小，其中ā，及龙均为常矢量。 证明：V.F-r-x+y-y2+gz)=3 a =0 Bx x-x y-y z-z a.7=a,+a,8+a,r+68,+ 、-e][(x-x')e.+(y-y')e,+(z-z')e] Ox 0 =++·[x-尼，+v-yE,+e-2e,] =a,e,+a,e,+ae.=a V(a.)=ax(V×)+(a.V)产+F×(Vxa)+(F.V)a =(a.V)产+产xNx)+(.)a =a+产x(V×a)+(.V)a V-[E。sin(亿.f刀=lV(sn(k.F小E。+sin(亿-fV.E。) -2-
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 .Re,+8amng,+ampEE =cos(k.k+k,e,+ke)北。=cos(K.K.E) Vx[E。sin(k.F刀=Vsn(k·fxE。+sin(K.fV×Eo 4.应用高斯定理证明 [dwxJ=fdsxj 应用斯托克斯(Stokes)定理证明 Ldsxvo=fdo 证明：1)由高斯定理 dT-g-l,·8 助尝景亮r-8地+g =,U-fn-ui-f用+8ui-in 又：∫ax于=f[fds,-f,ds)i+(fds.-fds)j+(f,ds-fds,)] (E-f.)dS,+(f.i-fE)ds,+(j-f)ds. 若令H.=fk-fj,H,-fi-fE,Hz-fj-fi 则上式就是： 〔又.idW=a尽.i,高斯定理，则证毕。 2)由斯托克斯公式有： f.i=×子. ddl.+fdl +f.dl.) [xs--是s+-&0s+ 而d=dl+,d,+dl) -3
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 {8x0=。名 要i+装7-要，2 ax 停，+普+ 若令f=,f,=中，=中 则证毕。 5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为： P()=[p(dv', 利用电荷守恒定律了.了+p=0证明P的变化率为： at 买-[er 证明： apop 3av --jv jar dt lv ot .--fvJxur--fw.67)-@:)Jw-[U.-F.c7w -i.r-9. 若S→0，则()=0，⑦引s=0) 同理，( 2%,,w..=idn -[jc.ww 即：9 6若M是常矢量，证明除R三0点以外，失量A的旋度等于标量P=:代的梯 P3 度的负值，即 VxA=-Vo 其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 证明： xa=vx用xmx=网am-w -4
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 =(mV)V,r≠0) g==-m:W力=-xVxW-W时x×-偏v -[V])-V=-(m.V)V1 ..VxA=-Vo 7.有一内外半径分别为和2的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止自 由电荷P,求 (1)空间各点的电场 (2)极化体电荷和极化面电荷分布 解：DD.-∫prd", (2>>T) 即：D4z2-47r-p 3 E=00>r>n） 3gr3 曲E5=g-=r,1p,0>) E=E-rp,元，r>n） 38 r<.=0 2户=6nxE=6,88-G-E Pp=-.P=-e-6加.E=-e-,N.2p 38.3 p,- ,80p,6-0)=-、 38 r一80)pj Op=乃m-P32n 考虑外球壳时，=r2,n从介质1指向介质2（介质指向真空），Pm=0 -5
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 0p=Rn=(e-01 3-3 38.3p 3-3 P 考虑到内球壳时，= 0p=-{8-6) 8,内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流J,导体 的磁导宏出，求磁咸应品庄知磁化中洁。 解： .s, 当rt时，2H=πr(-2) 2x2 JM=V×M=Vx(x (-Dxx) 2-2 ≥(A H.-1j,G<r<2) 立y=i×(12-M),(n从介质1指向介质2) 右的表，M=0=(公-2手。=0 4 故dM=方×M2=0,(r=n) 在上表面，=时 2r2 x2 2 ai、成。方，e2j 2r Jfu u) -6
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 9,证明均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度p的-1-)倍。 证明：pp=-V-P=-7.(g-6)E=-6-6N.E=-6-8o)P1=--6)p, 10,证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间 的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 证明： 1)线圈1在线圈2的磁场中的受力： B,=%,×型 di。=Idi×B, 4,11×dd2x2)_4h41h2a1×(d2x :E=1A 4红 -,(d当)d,) (1) 八小四大小四1h#忆中应hh: 同1)可得： E-“jd·)d) (2) 4π 分析丰斗术1八和八： (1)式中第一项为 风常=uj瓜是远旁风启a0 同理：对(2)式中第一项 4a·=0 -国 11.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1和12，电容率为6和82，今再两板 接上电动势为E的电池，求 (1)电容器两板上的自由电荷密度0 -7
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 (2)介质分界面上的自由电荷密度0， 若介质是漏电的，电导率分别为σ，和σ2，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如 何？ 解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向 4E+42E2=E 则 Dm-D2m=EE1-E2E2=(介质表面上O=0)' 故：E=16.+6 &E E ,E2218+l28 又根据D1m-D2m=O:(n从介质1指向介质2) 在上极板的交面上， D-D2=0f D2是金属板，故D2=0 即：0人=D,=182+l28 EE2E 而0方=0 o5=D-D2=-D2,(D是下极板金属，故D=0) .0,=- Gt828 82+6-, =-0f6 若是漏电，并有稳定电流时， =4,E2=2 01 02 ,j2 方n=j2,=方=j2,（稳定流动，电荷不堆积) E，即 得：=j2=上+2 O110。+1201 E j2= 0102 E,= 021,0+1201 E o=D,=10.+1 a E 0=-D.=- 10+1 -8-
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 O年D.D, 6201-6201E 102+1201 12.证明 (1)当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足 tan=2, tan 1 其中ε和8，分别为两种介质的介电常数，日和日，分别为界面两侧电场线与法线的夹角。 (2)当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线曲折满足 tan 02 tan 其中G和σ2分别为两种介质的电导率。 证明：(1)根据边界条件：nx(E,-E)=0,即：E2sin0,=E,sin0 由于边界面上g,=0,故：方(D-D)=0,即：6，E,c0s0,=6E1cos0 有0=g8,即：g9=62 261g8,1 (2)根据：了=σE可得，电场方向与电流密度同方向。 由于电流【是恒定的，故有：方=2 cose,cose 即： 01E-02E2 而：i×(E2-E)=0即E2sinB,=E,sinB, cos0 s0, 故有： tg0_01 2 13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线 总是垂直于导体表面：在恒定电流的情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。 证明：(1)导体在静电条件下达到静电平衡 .=0 而：方×(2-它)=0 .方×上2=0，故E。垂直于导体表面 -9-
电动力学习题解答 第一章电磁现象的普遍规律 (3)导体中通过恒定电流时，导体表面σ，=0 .导体外E,=0,即：D,=0 而：方(D2-D)=0,=0,即：方·少=方6E1=0 .方：E1=0 导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。 14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为入，，板间填充电导率 头下的北陆性物伽居。 (1)证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。 (2)求2，随时间的衰减规律 (3)求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度 (4)求长度为1的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。 ()证明：由电流连续性方程：了方+印，=0 据高斯定理p,=又.D .J4兰=0.即：.J4.花=0 又.（了+=0.j+一=0，即传到电流与位移电流严格抵消。 (2)解：由高斯定理得：∫D.2rd=∫，dl 2nr 2me 又7+0-0,7=E.D=8E 、+。=0,一==， 0 2π8r 2π8" -10-