电动力学习题解答参考 第二章静电场 1.一个半径为R的电介质球，极化强度P-K与，电容率为￡。 (1)计算束缚电荷的体密度和面密度： (2)计算自由电荷体密度： (3)计算球外和球内的电势： 1小求该带由众质成产生的中杨白能品。 解：(1) P,=-f=-w后=-Kvi+ 月=-k2 Cp=-(-R)g 又，球外无极化电荷 E=0O。=i:lR=方KR=K/R (2)由公式D=e蛇 万=8龙+p 0= 8-60 p,=V.i=6-7.p= EK 8-E (e-0)r2 (3)对于球外电场，由高斯定理可得： ∫E%·- 60 .r edrdedo Eo EKR Ewe 同理可得球内电场。E。一总宁 球外电势p%=了E·di=。 EKR 、-6)r1 -1-
电动力学习题解答参考 第二章静电场 球内电势,=d+4·d=。水+Kh尽 R 、-u0-0 ”= 斯=o,a时e ·9d016=2zaR_K "=odr=。6Hd1e=R张宁 e、-60)2 W=W十外=2π8R0+E(K 6,e-60 2.在均匀外电场中置入半径为R,的导体球，试用分离变数法球下列两种情况的电势： (1)导体球上接有电池，使球与地保持电势差中，； (2)导体球上带总电荷Q 解：(1)当导体球上接有电池，与地保持电势差中时，以地为电势零点 本问题的定解条件如下 =中， (R=R) P外R-n=-ERcos6+p0 7p外=0(R>R)月 P外R北=， (0是未置入导体球 前坐标原点的电势) 根据有关的数理知识，可解得： p.() 由于P州n=-E,RC0s6十O,即： @=au+aRc0+2 P.0+gs是cos6+2g=P(cos叭k=-E,Rcos8+回 故而有：a。=0,a=-E,an=0(n>1),b。=0(n>) 04=0。-E,Rcos6+b+cos0 -2
电动力学习题解答参考 第二章静电场 又0外eR=4即：“外=O,-E Rcos6+b+ +b年cos8=φ， R。R2 0,+=0, 故而又有： R -Eo Ro cos+- R cose=0 得到：b。=(,-p)R,b=ER 最后，得定解问题的解为： 0外=-EoRcos0+p -)R+EoRi cosO(R>Ro) R R (2)当导体球上带总电荷Q时，定解问题存在的方式是： 7φ，=0(RR) 中.0=有限 中外Rw=一EoRcose8+p(O,是未置入导体球前坐标原点的电势) =中木R-R -a.aR d=Q(R=Ro) 解得满足边界条件的解是 d.R"P.(cOs0) 9,产0-ERao0+空a品Ra0n 由于p外R0的表达式中，只出现了P(cos8)=cos0项，故，bn=0(n>1) -E,Rcos6+cos0 R 又有P外R-R,是一个常数（导体球是静电平衡） -ERjc0s6+c0s0=C R。R ∴.-EoRo cost0+ cos8=0即：6=E,R R -3-
电动力学习题解答参考 第二章静电场 P外=0，-E,Rcos0+4+E -cos0 R R2 又由边界条件-∫8。 9在ds-0 ∴.b0= 4π形0 9为一AEoR0 -0RR。,由高斯定理有：60E·店-9急=9，+9p-9,(对于整个导体球 而言，束缚电荷Qp=0) 龙= 9 4TEoR2 积分后得：P外4B+C(C是积分常数】 又由于p外Rw=0.C=0 Qr(R>Ro) :.0外=4π6R 在球内，R<R。,由介质中的高斯定理： fD.=0 又D=E.E= 21 AneR2 分后得到：Q+C(C是积分常数) -4
电动力学习题解答参考 第二章静电场 由于0两=Q外R.故而有 4πEK。4πeR。 ∴.C2= 2 2;(R<Ro). 4πE.R.4πeR。 网=品品品R) 二.分离变量法 本题所求的电势是由点电荷Q。与介质球的极化电荷两者各自产生的电势的叠加，且有 2, 着球对称性。因此，其解可写作：0= +9 ATER b 由于中是球对称的，其通解为p'=a+ R 由于球心有Q的存在：所以有p为R0=0， 0十a 即p为一AneR 在球外有p外R0=0, 即0w-9+b 4πeR'R 由边界条件得 9g9k-e即9+a=g+b 4π6R。 4πeR。Ro 股=R一品袋 R 4πeR3 :b=g-a=g,d- 4Ee,e4πR,6e =是R a=品数+品品风 -5
电动力学习题解答参考 第二章静电场 4.均匀介质球（电容率为ε，）的中心置一自由电偶极子P,球外充满了另一种介质（电 容率为￡，求空间各点的电势和极化电荷分布。 P,· 提示：同上题，中= 4πE,R 。+中，而中满足拉普拉斯方程。 解：61R 又仁4R 4πe,v . 6-Σ+D 比较P(cos0)系数： B,=0,A=0 -2p+8, 8P1-28,B,及A= ArRg 4E,'8R8 R 得：A1= 2(6-82)P1B= 2(81-82)Pf 4πG,(61+R 4πE,(81+2e2) 比较P(cos8)的系数： 264,R,=-3 R= B2 及4,0+12)=0 61R0 所以A2=0,B2=0。同理，A=B,=0,(I=2,3) 最后有： A应·代 1g-82)p 9=:Rg-8p,·R =4rE,R34,(e+e,。 4G1R3'4πG,(61+8,v ∠R0) 4s应·R e-82p 0=Rg-8)p,:R。 3pR >R0) 4π81R34πG1(e1+e 48,R34π，(G+8, 4π(G1+8。 -6
电动力学习题解答参考 第二章静电场 球面上的极化电荷密度 Op=乃m-P2n,万从2指向1，如果取外法线方向，则 op=P外m-P球，=[(e2-eo)N中外)]n-1-e0)V中为】n =-(62-8 外+G,-8,RR= -‘P cose8 -62)prc0s01-~1-2(6,+28,) =e,-64re,+28R1-4rG,+2)R P,cose] 4π6，(G1+2e,R. _6e(6,-62十6826-60）、n= 21n-82) 4π6，(61+-，v 2(Prcos0 求极化偶极子： 户，=9可以看成两个点电荷相距1，对每一个点电荷运用高斯定理，就得到在每个 点电荷旁边有极化电荷 9=(0-,-9p=(色0-1兴←g/),两者合起来就是极化偶极子 户=(-1)P 5.空心导体球壳地内外半径为R和R,球中心置一偶极子户，球壳上带电Q,求空间各点 中执知中声小布。 解： í 70,=0,p,→∞=0 {,=C,0 00 更=4万+女，0为有限值 2,品Reos0lk=C :=C.0:=C .7
电动力学习题解答参考 第二章静电场 「B+B cos0+ R2 +=C R P,cose +A+A,R1c0s8+…=C 476oR2 即：4=分=C(4R+ R2 B）c0s9=0B,=01=1.23.4=01=2.34 TE 又.C4=-2Pcos0 0r4ER3 24%- +A,cos0+… 27EoRi 2-21-n,品月=0-是a6+ R2 R 像-f-zw加如aw=00-0 S+,边=4nB。=g ,Ao=AeR2 B二4r80 -Pr 4πEoR 最后有： 6=- rei 4reor24π6oR'4πER2 ,rR) 2中，二460 9 p:=48R ,(R<r<R2) 由共八在： 在I=R,的面上 6p-P cose -P,cose P e OR=or 2πR 4πR 4π. 在r=R2面上 ,=旦 6n=-6w8 4πR3 -8
电动力学习题解答参考 第二章静电场 6.在均匀外电场E。中置入一带均匀自由电荷p的绝缘介质球ε，求空间各点的电势。 424+品Pcos0 解=一记n,r+ V2φ=0 中是由高斯定理解得的，p的作用加上E。的共同作用。 中外|，n=-Eorcose8,|,0有限。 中外=-E6rcos日】 AP(cosd R(c0) 中3=中(r=R): -EoR。cos0+ B+BDRo+c.+cRe cos0+c:RoP.+ 681 即2-’+6，=R o 68 -EoR。+ R。 =CR。2 0)]=PLR。+E1c0s9+2E,R,B+ r38 3 4-r5a0-21-3 -9
电动力学习题解答参考 第二章静电场 -6,Ecos06B_28,B Ro3 cos0 即： P Ro=-6oBo 3 e=-8,v- 6B, R R4 解方程得： B。= R C=-Rpr3E。+6e 1,1 十 380 B=3ER+Ri C=-6Eo E+8, E+260 及：26C2R。=-3EnRC2 即C,(2εR。+36R。)=0 C2=B2=0 同理：C,=B,=0 1=2,3… p外=-Eor cose0± Rop.E.R 0-- E.R3 e,r>Ro 3r8 得： (·26 Pf·n 0,rO2及 0>σ，两种情况的电流分布特点。 先求空间电势： 7 中=中水r=R。 72φw=0 因为δ4m二6外‘=R)(稳恒电流认为表面无电流堆积，即流入m=流出n) 1=0 中* 2r 并且0外ln=0。即中外=-E,rC0s8 (j=02E0) 中，，有限可以理解为在恒流时r→0的小封闭曲面流入=流出 -10-
