第二章静电场的标势及其微分方程 教学目的：基于Maxwell's Equations定义出电标势，并推导出静电标 势满足的微分方程—Poisson方程。 重难点：电标势的定义及其微分方程。 教学内容： 本章研究内容主要是：在给定的自由电荷分布及其周围空间介质 和导体分布的情况下，如何求解电场。需要注意有一下两点： a.电荷静止，也就是=0 b.电场不随时间变化，也就是 E-0 at 本章研究上面问题采用的方法有一下几种：分离变量法、镜像法、 格林函数法、电多极矩法。 采用这些解法的依据是：唯一性定理。 1、电场的标势和微分方程(Scalar Potential and Differential Equation for Electrostatic) 静电现象满足以下两个条件：其一是电荷静止不动：其二是场量 不随时间变化。故 j=pv=0; ⊙（物理量）=0 (3.1) 0 把静电条件代入Maxwell's Equations,即可得电场满足的方程为 V×E=0 (3.2) V.D=p 这两方程连同介质的电磁性质方程D=E是解决静电问题的基础。 根据电场方程V×E=0(即电场的无旋性)，可以引入一个标势0
在电磁学中，己知p(4)-p(B)=-E.d，因为相距为d两点的电 势差为 do=-E.dl (3.3) 由于 dp-0p dx+00 dv+2de=Vo-d (3.4) 所以 E=-Vo (3.5) 又因为在均匀各向同性的介质中有D=E,则 V.D=V.(E)=VE.E+8V.E=p (3.6) 这里Ve=0,所以可得 V.D=EV.E=8V-(-Vo)=p (3.7) 即 vp=-2 (3.8) 此方程称为Poisson方程。 若在无源区即p=0,上式化为： V2p=0 (3.9) 此方程为Laplace方程。 在各种不同条件下，求解Poisson方程是处理静电问题的基本途 径。 2.静电场的基本问题(The Fundamental Problems of Electrostatic Field) 如果电荷是连续分布的，则观察点x处的标势为：
(=，1 pdt' (3.10) 47π60 如果空间还有导体存在的话，那么物理机制为考虑到感应情况， 以上问题的模拟是： p() 感应电荷分布 而感应电荷分布反过来引起 给定电荷分布 求空间一点 →电场分布 而场引起导体上 现在，只要找出一个电荷对它邻近的电场是怎样作用的，一 点上的电场和它邻近的电场又是怎样联系的，即要找出电荷和电场相 互作用规律的微分形式，而在导体表面或其他边界上场和电荷的相互 作用关系则由边值关系和边界条件反映出来，称之为边值问题。 (1)在介质的分界面上，电场满足的边值关系为 抗×(E2-E,)=0 (3.11) 分.(D,-D)=p 且为电势所满足的边值关系： E D 介质2 ●2' 2 N, ● 介质1 1 D
在介质分界面附近取两点1和2，而△1，→0所以 9-9:--SE-di =-(Ei△l+E2·△，) (3.12) =-(E1nA+E2n△12) 由于△4，△2→0，故g-,=0,且g,=:即在界面上，电势p是连 续的。 注意： l,=,可以代替x(E2-E)=0,也就是可以代替E,=E,。 P2 P'2 62 pi 证明： 因为 9-92=0,9-p=0 可见 91-92=9-p2 而 9-g=-E,△7,9，-0；=-E2△7 故有 -E,△1=-E2A1 可得 Ev =E2 另外，由方程(D,-D,)=o可得： 方-(6，E2-6E)=o -sn.vo,+s n.vo=o 即 ao: on\s -81 g =-0 an\s
也就是说，在两种不同介质的分界面上，电势满足的关系为 p5=9g 092 09 (3.13) =-0 an\s (2)在介质与导体的分界面上的情况 由于静电平衡条件，我们知道： 导体内部E=0,导体表面上的场强与表面垂直导体是等势体：导体内 自由电荷0 导体 1 介质2 无电荷分布p=0,电荷只分布在导体的表面上σ≠0。 因此，在导体与介质的分界面上；9，=常数 ~导体内部E=0,即6 091=0 oo =一0 on \s 即有 9,=常数 -0 归纳起来，静电场的基本问题是：求出在每个区域（均匀）内满足 Poisson方程，在所有分界面上满足边值关系和在所研究的整个区域 边界上满足条件的电势的解。 3、利用静电势来描述静电场的能量(Describing the Energy of
Electrostatic by Using the Scalar Potential of Electrostatic Field) 己知在线性介质中静电场的总能量为 W=1 [E.Ddt (3.14) 2 在静电情形下，能量W可以用电势0和电荷p表示。由 E=-Vo和V.D=p可得 E.D=-Vo.D=-V.(oD)+oV.D (3.15) =-V.(pD)+p0 因此 W=Jaodr-2f-(o0dr (3.16) 即 (3.17) 若我们考虑的势体系的总能量，则上式的体积分是对全空间进行的。 那么上式右边第二项的面积分是对无穷大的闭合曲面进行的。有限的 电荷体系在无穷远处的电势。~，电场~，而面积，故在r∞ 时，面积分项的值等于零，故有 W= (3.18) 讨论：对W=:的使用需要注意以下儿点 a.适用于静电场，线性介质； b.适用于求总能量（如果求某一部分能量时，面积分项，D);
c.不能把，m看成是电场能量密度，它只能表示能量与存在着电荷 分布的空间有关。真实的静电场能量是以密度w=ED的形式在 空间连续分布，场强大的地方能量也大： dW=2小o:中的o是由电荷分布p激发的电势： .在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有独立的运动。因 而场的能量就由电荷分布所决定。 f.若全空间充满了介电常数为ε的介质，且得到电荷分布ρ所激发的 电场总能量为 (3.19) 式中r为元与点x的距离。 4、举例讨论(Examples) 例1求均匀电场E。的电势。 Solution::因为均匀电场中每一点电场强度相同，其电力线为平行直 线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为，。 根据
pp）-op)=-E. (p)-p0)--[E.di 故得到 pp)=。-Edi =9。-E。·元 这里有个参考点选择问题。 例2均匀带电的无限长直导线的电荷密度为元，求空间的电势。 日 电荷源 dq'=Adz 场 R Solution: 选取柱坐标：源点的坐标为(0，z),场点的坐标为R,0),考虑到导线 是无限长，电场强度显然与z无关。 这里先求电场强度，后求电标势。由于 F=(R-0)方+(0-z=R6-z分，电荷元为dg=1d,因此 停— 1 z分 4,(R2+2 令 z'=Rtg0,dz'=Rsec20d0 且
dz' sec2aie (R2+22)p=」 R21+tg20)p sec2θ do R2sec0 1 -do =JRisec R2do= cose 2 而 z'dz Rtg0 (R2+22)0-」 d8= ，Rsim d0=0 R2sec3 2 故 E= 4π60 p 2πER 设po点与导线的垂直距离为Ro,则p点到po点的电势差为 o(R)-p(R.)=-fE.dT =-【3Ri(aR+o+边 dR R = RR=- 2i 2r6R,2n6 R 若选p为参考点（即p(R)=0),则 (R)=-元n R 2π6R
课堂及课后思考： 均匀带电量为O的圆盘，其半径为R,求周围电场及其电标势
