电动力学内容简介，标量场的梯度，V算符 教学目的：初步了解电动力学的研究对象和主要内容，并掌握场的概 念和方向导数、标量场的梯度概念。 重点难点：标量场的梯度 教学内容： 1、场的概念(The Concept of Field) 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物 理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，并且空间每一点 都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如：电势 场、温度场等。如果物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小 和方向，则称此空间为矢量场。如：电场、速度场等。若场中各点物 理量不随时间变化，称为稳定场，否则，称为不稳定场。 2、方向导数(Directional Gradient) 方向导数是标量函数(x)在空间一点沿任意方向相对距离的变 化率，它的数值与所取的方向有关。一般来说，在不同的方向上9 的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向， 乃是这个方向线上给定的一点，P凸2为同一线上邻近的一点。△1为2 和p1之间的距离，从p1沿i到p2的增量为△p=p(P2)-p(p)若下列 极限 P
p(P2)-p(P1) (1.1) △1 存在，则该极限值记作，称之为标量场9在p1处沿i的方向导 数。 3.梯度(Gradient) 在某点沿某一确定方向取得()在该点的最大方向导数。 grado=Vo= 2分 (1.2) On =cos00-00=gradp-7 (1.3) al onOn 4、V算符（哈密顿算符）(Hamilton Functor) V算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向上移动线元 距离d,o的增量do称为方向微分，即 do 00dl-vo.dl (1.4) al 显然，任意两点p值差为 9s-9x-fVo-di (1.5)
矢量场的散度、旋度、高斯定理和斯托克斯定理 教学目的：掌握矢量场的散度、旋度概念，理解在不同坐标系中不同 的表达形式，了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理。 重点难点：散度、旋度重要概念；高斯定理、斯托克斯定理。 教学内容： 1、通量(Fluid) 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场立方向通过的 流量是dW,而dN是以ds为底，以vcos0为高的斜柱体的体积，即 dW=v cos Ods=v·d (1.6) 称为矢量通过面元的通量。 对于有向曲面s,总可以将s分成许多足够小的面元5，于是通 过曲面s的通量V即为每一面元通量之积 N=. (1.7) d 对于闭合曲面s,通量V为 N=fds (1.8) 2、散度(Divergence). 设封闭曲面s所包围的体积为△V,则 d/Av (1.9)
就是矢量场A()在△V中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当 闭合曲面s及其所包围的体积△V向其内某点M()收缩时，若平均发 散量的极限值存在，便记作 fads div=V.4=lim (1.10) 称为矢量场()在该点的散度(div是divergence的缩写)。 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度， 当divA>0,表示该点有散发通量的正源；当divA<0,表示该点有 吸收通量的负源：当divA=0,表示该点为无源场。 3、高斯定理(Gauss's Theorem) (1.11) 它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反 之亦然。 4、矢量场的环流(The Circumfluence of Vector's Field) 在数学上，将矢量场()沿一条有向闭合曲线L(即取定了线正 方向的闭合曲线)的线积分 c=dA.di (1.12) 称为A沿该曲线L的循环量或环流量。 5、旋度(Rotation) 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界 的面积△S逐渐缩小，A·也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值 有一极限值，记作
im。As (1.13) 即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖 于以闭合曲线为界的面积法线方向，且通常L的正方向与规定要 构成右手螺旋法则，为此定义 rota=V×1=imAs (1.14) 称为矢量场A()的旋度(rot是rotation缩写)。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强 弱的程度，如果场中处处rotA=0称为无旋场。 6、斯托克斯定理(Stoke's Theorem) a本=J∬× (1.15) 它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意 曲面的面积分，反之亦然。 7、度量系数(Measurement Coefficents) 设x,,z是某点的笛卡尔坐标，X,x,X是这点的正交曲线坐标， 长度元的平方表示为 dl2 dx2 dy2 +dz2 (1.16 hidx+hidx+hdx? 其中 h=x: (i=1,2,3) (1.17) Ox. 称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h,2, 凸来描述
8、哈密顿算符V、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符V在正交曲线 坐标系下的一般表达式(The General Expression of Hamilton Operator,Gradient,Divergence,Rotation and Laplace Operator in Orthogonal Curvilinear Coordinates) v-晨+哈起盟 o-把公器器 (1.18) A=L[04 hhh8x h,44,)+ 0x2 (h,A) x3 he he,hes hh2h x 6x2 8x2 h4h242h4 =g「 a4- h,hs 0x2 n,A） x3 (1.19) +是[eM4-。h4】 hhx3 Ox1 +是[°，- hh Lox e(mA) x V20= 1「04a9)+0) hhahox h ox ox2 h2 Ox2 (1.20) o hhz op 、 Ox3 h 6x3 其中，，弓为正交曲线坐标系的基矢；p=(x,xx)是一个标量函数： A=A(x,x2,x)=Ag+A,82+A兵是一个矢量函数，只有在笛卡尔坐标系 中，V2A=(V2A),+(V2,,+(V2,，在其它正交坐标系中 (V2A),≠V2A (1.21)
9、不同坐标系中的微分表达式(Difference Expression in Different Coordinates) a)笛卡尔坐标 X=X,X,-y,X-Z h=1,h,=1,h=1 V=e,a +，0y (1.22) e,e e V×A= B2 A.A A Vp- 8o8o 8o (1.23) x20y2 0z2 7A=(V2A)°+(V2A),+(2A) b)圆柱坐标系 坐标变量：xr,x中，xz,与笛卡儿坐标的关系：x=rcos,y=sin 中，2=z 拉梅系数：h,=1,h,r,h,1 - 色r09 (1.24) Vu=e, +e 1 Cu Cu Or raφe0z 、1AaA ror r6中0z e es (1.25) VxA= Or 6φ 0品 A.rAs A A)e+ OA.OA.)e 8
[1aA,) 1 6A, ror r 0o Viu-10(ru1ou ou -(r )+ or r2002 de2 (1.26) VA=(V2A.e+(VA已+(VA, c)球坐标系 坐标变量：x=r,2=0,为=中 与笛卡儿坐标的关系：x=rsin cos中，y=rsin0sin中，z=rcos0 拉梅系数：h=1,h=r,h=rsin0 v总8+60+E10 +es rsin0ap Vu-e Ou au+,rim0动 -+eo- 1 du r80 (1.27) v.a=1024)+ 1 r2or (sin 04) rsin0 60 +1 A rsin0 8o 1 电，7snd rsin 0 Vx4= Or 60 8o A rAg rsin 0A =1「 (1.28) (sin 04 ) rsin0 80 1[10A- + -(rA) rsinθoφ 1「8 (4)- A. ro viu-1e() 1 r2or -)+ or'r2sin 080 1 02u (1.29) r2 sin20802 VA=(V2.e,+(VAo。+(V2A0。 其中
1 (sin 04,) (1.30) sin 0 00 sin0o wa。=va,+60 26A. Ao 2sin20 cose 04, sin2θ0φ (1.31) (4+o W0。=v,+sin0a0 2 aφ A。) 2sin 0 补充知识： 运=-色H-色H H2 0q2 H3 8qs d运=色H dee:6H2 0qs H2 6q2 0q2 H oq 运=互dH c运=色cH 8q H3 8qs 8q3 H oq =色H2 ,-互H 0q2 H3 8q3 oq H2 8q2 运=-豆册-马H ce2=_色dH2_ACH2 8gs H 8q H2 8q2 0q2 H3 8ga H dq 作业题： (讨论题目)：课后第2题
二阶微分算符 格林定理 教学目的：掌握二阶微分运算和格林定理。 重点难点：格林公式，二阶微分运算。 教学内容： l、一阶微分运算(First--order Difference Calculation) a设r-V(x-x)2+(y-)2+(2-z)2为源点与场元之间的距离，r的方 向规定为由源点指向场点，试分别对场点和源点求标量场r的梯度。 Vr=e,m+e Or+ or -e,-+e,y=2+e=2边 (1.32) =.(x-x0+e,0-yn+.e-小-5= Vr-2 or =-ec--毛0y-2-E2-边 (1.33) =-Vr b)设u是空间坐标x,yz的函数，证明 Vf(u)-4Vu (1.34) du 证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有 vf0=a,@+ey四+e, :8z -四器+积器 du 8x du 8z +e.Ou -c du -df四vu du