Lagrange方程
Lagrange 方程
Lagrange方程 基本形式的L方程 1.D'Alembert--Lagrenge方程 体系由个质点组成,每个质点有 m,方=E+R或者-m,+,+=0 ∑(-m,月·亦+F·+·)=0
大学 物理 Lagrange 方程 一、基本形式的L方程 1. D’Alembert-Lagrenge方程 体系由n个质点组成,每个质点有 mi ri = Fi + Ri − mi ri + Fi + Ri = 0 或者 ( ) 0 1 − + + = = i n i i i i i i i m r r F r R r
Lagrange方程 对理想约束∑五,·亦=0,则 i=l 2(-m元+F)-成=0 称为D'Alembert--Lagrenge方程
大学 物理 Lagrange 方程 对理想约束 0,则 1 = = i n i i R r 称为D’Alembert-Lagrenge方程 ( 0 1 − + = = n i i i i i m r F r )
Lagrange方程 2.把D-L方程以广义坐标表示 先证明: 0游 qe or 0 ada Oqa
大学 物理 Lagrange 方程 2. 把D-L方程以广义坐标表示 先证明: = = q r q r q r q r dt d i i i i ( )
Lagrange方程 证:体系受k个几何约束s=3n-k个qa 万=f(91,92,93…,9,t) ++at or, dt aq a证:60a aqa 不是的数, or 8q'at oqa Oqa
大学 物理 Lagrange 方程 证:体系受k个几何约束s=3n-k个qα = = = + = + + = = = s i i i s i i i i i i i s q q r r t r q q r t r q q r dt dr r r r q q q q t 1 1 1 1 1 2 3 ( , , , , ) 不是 的函数, q t r q r i s i = , 1 q r q ri i =
Lagrange方程 证是q的函数 oqa 会号哥48全感4+停- 诚 a
大学 物理 Lagrange 方程 是 的函数 q q ri q r t r q q r q t q r q q r q q r t q q r q q r dt d i s i i i i s i i s i = + = + = + = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1
Lagrange方程 立(m+印成-立(m+P之。 &qa q=I m听+空5} = or)8q x=1 i=1 X=1 i=l 令=2m Q.-2元 i=1 i=1 d w品空 d o所 = aqa 空a是i qa
大学 物理 Lagrange 方程 = = = = = = = + = − − + = − + s i n i i s i n i i i n i s i i i i n i i i i i q q r q F q r m r q q r m r F r m r F 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ) q r dt d m r q r m r dt d P i n i i i i n i i i − = = = 1 1 q r Q F i n i i = = 1 q r P m r i n i i i = = 1 令 q r m r q r m r dt d i n i i i i n i i i − = = = 1 1
Lagrange方程 n 2 m da 1-立m0。 i=1 .Pa d OT aT t Oqa dt qa ∑ d or 。 )+20d。=0 Oqa O= d OT (=1,2,3,4…S) dtaa。 qa 基本形式的L方程
大学 物理 Lagrange 方程 q r m r q T q r m r q T T m r i n i i i i n i i i i n i i = = = = = = 1 1 2 1 , 2 1 q T q T dt d P − = ( ) 0 1 1 + = − − = = Q q q T q T dt d s s ——基本形式的L方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d = = −
Lagrange方程 d aT aT (C=1,2,3,4…S) di oqa qa 各项的物理意义: 1°9为广义速度 2 为广义动量,如 T= mx, OT 2 mx Oqa 3° u-空惑r义力 1
大学 物理 Lagrange 方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d = = − 各项的物理意义: 1 q 为广义速度 mx x T T mx q T = = , 2 1 2 为广义动量,如 为广义力 q r Q F i n i i = = 1 3
Lagrange方程 d OT OT -Oa (=1,2,3,4…S) 4° 仿取F+部 a+0., at qe 称为Lagrange力 oqa 可见:L方程是以q为变量的s个二阶线性微分方程 组,方程个数=自由度数,约束越多,自由度越少, 方程越少,只要写出T,Qa,代入方程即可得到运 动方程。 适用条件:理想的完整体系
大学 物理 Lagrange 方程 Q ( 1,2,3,4 s) q T q T dt d = = − 可见:L方程是以qα为变量的s个二阶线性微分方程 组, 方程个数=自由度数,约束越多,自由度越少, 方程越少,只要写出T,Qα,代入方程即可得到运 动方程. 适用条件:理想的完整体系 4 仿照 , ( ) , 称为Lagrange力. q T Q q T q T dt d F R dt dP + = = +