第5章电磁波的辐射 A电偶极辐射(radiation of electric dipole)场 定义变化电荷电流系统的电偶极矩 P= p(x',t)x'd (5.3-1) 可以证明 ∫pxdr-8韶=P (5.3-2) 利用式(5.3-2)，矢势展开式中 Aox)=ixtr发 A=-fid.发 A)=ix)27ar发 第一项可以写作 A0)= (5.3-3) 所以这一项代表着系统的振荡电偶极子产生的辐射。由A©可以求出电偶极辐射的电磁 场。 B=7XAo=色 4R(- )nXp 1 (5.3-4) 式中n=R/R是沿径向的单位矢量。对于远区场R>>λ，上式（5.3-4)括号中第二项可以 略去，于是 B=vXA-资ea×p 4怀ncRe方xn, (a/t→-iw) (5.3-5) 式(5.3-4)表明在计算远区场时，7算子对eR的作用可以用m代替。远区电场 E=CVXB=cB×n ekR 及 4πec2R(p×n)Xn. (5.3-6) 由此可以看出，远区辐射场具有以下特征：
1.电场和磁场对源的变化都有迟后相因子R,这反映了辐射场是以有限速度在空间传 播的事实。 2.电场和磁场振幅都随R增大而减小，都包含有传播因子e,表明这部分场是以 波动形式沿径向向外传播的球面波。 3.电场E的方向垂直于B的方向，二者都与传播方向n垂直。电场E、磁场B和传播 方向n,三者构成右手螺旋关系。 若取球坐标原点在电荷分布区内，并以p方向为极轴， 则由上式，B沿纬线上振荡，E沿经线上振荡（如图所示）， 有 B=- xecin s, E= 1 4πe0c2R pesing eo. (5.3-7) 电偶极辐射的角分布和辐射功宰 远区辐射电场可通过磁场表示为 E= 套mXB=-caXB) (5.3-8) 电偶极辐射的平均能流： 根据能流密度的平均值公式 s=a(E×a)=2限品m 可得 S=2R(E:×D =R[(B×m)×阴=a ZHo (5.3-9) 将 1
B=4noCRi1esin9e, 1 代入上式得 5= 32meCRasin2On (5.3-10) 0是方向n与电偶极矩p方向的夹角。因子si0表示电偶极辐射的角分布，即辐射的方 向性.在0=90°的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向(0=0和π)没有辐射。电偶 极辐射角分布如图所示 电偶极辐射角分布图 总辐射功率P: 32re,C∮siro= Pe-f5 Rdo- Poa 12πeoC (5.3-11) (sin20d2=dsin20.sin aed) P。是辐射电偶极矩的振幅。由此可以看出，电偶极辐射功率与辐射频率的4次方成比例， 所以短波长的辐射可以得到较大的辐射功率。 天线辐射 如图所示为中心馈电的直线状天线。 长为L,载以交变电流 j(x,t)=j(xc)e-i0t (5.3-12) 场点P距离天线足够远.即R~r>>L由推迟势 2 -L/2
表示式 P点的矢势为 4rRj6x)e-e-n*ar」 A=凸e (5.3-13) 由于线型天线横截面很小，可近似认为任一横截面上的电流是均匀分布的，这样电流元 可表示为 J(x')dv'=1(z)dz'ez (5.3-14) 并考虑到n·x=z'cos0,得 A-4e ea-)e-oe-taeo9d2 4πR (5.3-15) 这就是线型直天线矢势的一般计算公式， B短天线辐射 当天线长度L远小于辐射电磁波 L 波长入时，称为短天线。 输入天线的交变电流由振荡器提 供，且关于中点对称分布，天线 两端点Z'=±L/2处电流应为零， 原点处电流应有最大值，由短天 引 线 线条件L<入，故电流可近似表示 为z'的线性形式 1e)=-2'} ≤台 (5.3-16 同时，kz'cos0<1 故 e-iz'cos0≈1 代入（5.3-15)式，有 A=44-21. (5.3-17)
其中积分显然就是短天线上电流分布对应的电偶极矩关于时间的变化率p =ie（-是lo =1ILe-ioes. (5.3-18) 由天线辐射功率公式 P=1 4n603c3 可得短天线的辐射功率为 P= l6o21=x1 48πc 2. 12Ne01 (5.3-19) 由此式看出，若保持天线电流1不变，则短天线的辐射功率正比于（亿1元） 辐射功率正比于2，因此辐射功率相当于一个等效电阻上的损耗功率.这个等效电阻称 为辐射电阻R: P= (5.3-20) 21 则 RV只 (l《入) (5.3-21) 由于√0/e0=376.72,因而 R,=197()Pn (5.3-22) 天线辐射电阻越大，辐射功率也越大，相应的天线辐 射能力也越强。因此辐射电阻是表征天线辐射能力的 物理量. C半波天线 振荡器 当天线的长度为半波长时，称为半波天线.半波天线 是一种典型的实用天线。如图所示，天线总长度为L
天线上的电流近似为驻波形式，两端为波节，中心处为电流最大值，电流可表示为 1(g-1() (5.3-23) 将上式代入 有 A=,五 4元R e-e4in(g-1）end 2xk pei(a-ot) 2 sin20 ez. (5.3-24 对于L=/2的半被天线而言，辐射能流和辐射功率分别为 1eos(goe0） §= 8π2eocR2sin29’ （5.3-25) 2 P=8neoc sin' sindd0, (5.3-26) 其中， cos0 g= 2.438 sin20 sined0= 29 从而得到 P= 2.438 Aneoc 2 (5.3-27) 半波天线的辐射电阻为 R,=2P=2438=73.1欧姆 AnEoc (5.3-28) 5
与短天线相比，半波天线的辐射能力大大提高了。这里需要指出的是，并不是天线越长， 其辐射能力也越强，进一步的计算表明，当天线长度L=λ，1.5,2…时，其辐射电阻 分别约为R=2002,1002,2502…等.可以证明：天线辐射的角分布(dP/d2)跟L/2 有关，当L→®时，电磁波将沿着天线方向传播而没有与天线垂直的侧向辐射。如图所 示。 21 5.4电磁波的衍射 电动力学（修订） 6
