贵州师范学院：《理论力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）Hamilton 正则方程

Hamilton正则方程

Hamilton 正则方程

Hamilton正则方程 一、正则方程 1.哈密顿函数 L=L(91,92,93,…9,91,92,93,…9,t) a∂L at Pa= 二 (a=1,2,3,…s) (1) qa qa aL pa- (2) Oqa

大学 物理Hamilton 正则方程 一、正则方程 1.哈密顿函数 （ ） （） 2 ( 1,2,3, ) 1 ( , , , , , , , , ) 1 2 3 1 2 3       q L p s q T q L p L L q q q q q q q q t s s   = =   =   = =          

Hamilton正则方程 L=L(q1,92,93,…q,91,92,93,…9,t) Pa= aL aT (a=1,2,3,…s) (1) qa qa aL pa= (2) qa (1) 解出g:9(q1,92,93,…9,p1,P2,P3,…ps,t)代入 L=L(q1,92,93,…qs,p1,p2,p3,…ps,t)=L(qa,9a(pa),t) 写引入以2s+1个变量91,92,93，…9，p1,P2,P3,…Pp,的函数 H=-L+∑p..称为Hamilton函数 a=l

大学 物理Hamilton 正则方程 ( , , , , , , , , ) ( , ( ), ) 1 ( , , , , , , , , ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 L L q q q q p p p p t L q q p t q q q q q q p p p p t s s s s             = = （）解出 ， 代入 称为 函数 引入以 个变量 的函数 H L p q Hamilton s q q q q p p p p t s s s       = = − + + 1 1 2 3 1 2 3 2 1 , , , , , , , , （ ） （） 2 ( 1,2,3, ) 1 ( , , , , , , , , ) 1 2 3 1 2 3       q L p s q T q L p L L q q q q q q q q t s s   = =   =   = =          

Hamilton正则方程 2.正则方程 dH=-dl+∑(p.dgn+9。cpa) a=l dl=2 Ld。+a .)+ch-立n..+p.d.+ _di a=1 a a=l aL ∴dH-∑(-pdg。+gp)-dh q=l Ot OH dp) 又dc.p,)=∑aqu+op (g,p独立) a=] aqa 8t aH 9a= Opa Hamilton正则方程 OH Pa (C=1,2,3,…s) aH aL qa 8t Ot

大学 物理Hamilton 正则方程 2. 正则方程 ( ) 1    dH dL p dq q dp s = − +  +  = dt t L dt p dq p dq t L dq q L dq q L dL s s   = + +   +   +   =  = =               1 1 ( ) dt t L dH p dq q dp s    =  − + − = ( ) 1        又   独立）     dt q p t H dp p H dq q H dH q p t s ( , , ) ( ) ( , 1   +   +   == ( 1,2,3, s) q H p p H q    =   = −   =      Hamilton 正则方程 t L t H   = −  

Hamilton正则方程 aH Opa Hamilton正则方程 OH pa (0=1,2,3,…S） oqa OH aL 8t 8t 正则方程以qa,p.为正则变量2s个一阶微分方程组， 形式简单对称（与L方程等价）。 3.相空间

大学 物理Hamilton 正则方程 ( 1,2,3, s) q H p p H q    =   = −   =      Hamilton 正则方程 t L t H   = −   形式简单对称（与 方程等价）。 正则方程以 ， 为正则变量 个一阶微分方程组， L 2s q p 3. 相空间

Hamilton正则方程 二、能量积分和循环积分 1.能量积分 H=H(Pa:qa,t) dH= aH dt pa)+ a-l Opa 8t aH aH aH aH aH aH opa bqa 8t 8t 若中不显含t, OH =0则 8t =0,H=h→广义能量积分 dt

大学 物理Hamilton 正则方程 二、能量积分和循环积分 1. 能量积分 H H( p ,q ,t)   = t H t H q H p H p H q H t H p p H q q H dt dH s s   =   +     −     =   +   +   =   = = ( ) ( ) 1 1             广义能量积分 若 中不显含 ， 则 = = → =   H h dt dH t H H t 0, 0

Hamilton正则方程 例：若为稳定约束 W-1+28=-U-n+空0.=w-n-2x=7-万 a=l 一般h=T,-T,+V 可见：H为体系的特性函数 2.循环积分 若冲不显含q,则n,-识-0，→P。=常数 Oqa

大学 物理Hamilton 正则方程 q T V T T V E q T H L p q T V s s = − − + = + =   = − + = − − + = = ( ) ( ) 2 1 1          例：若为稳定约束 一般h = T2 −T0 +V 可见：H为体系的特性函数 2. 循环积分 若 中不显含 ，则 = ， = 常数   = −     p q H H q p 0