《工程科学学报》：基于六端网络法的压电超声换能器优化设计.pdf_大学文库

工程科学学报 DOI: 基于六端网络法的压电超声换能器优化设计研究刘世杰)，冯平法1,2)，查慧婷)四，冯峰) 1)清华大学深圳国际研究生院先进制造学部，深圳5180552)清华大学机械工程系，北京100084 ☒通讯作者，E-mail:zhahuitingl23@sz.tsinghua.edu.cn 摘要压电超声换能器传统四端网络设计方法忽略了压电陶瓷晶堆内部的机电耦合过程，使用该方法所设计的压电超声换能器尺寸误差大，输出的超声振幅较小。为了提高压电超声换能器尺寸设计精度、增大换能器出的超声振幅，本文将考虑压电陶瓷晶堆内部机电耦合作用的六端网络引入到压电超声换能器的设计中，魚四端网络法和六端网络法设计得到两个不同尺寸的压电超声换能器A和B,通过有限元方法对比分赤换能器的固有频率和输出振幅，并进一步通过实验验证了设计理论与仿真分析的有效性。研究结果表明在相微励电压下，采用六端网络法设计得到的压电超声换能器B输出的超声振幅是换能器A输出振幅的1.倍端网络法设计压电超声换能器可以提高所设计换能器的振动性能。 Piezostertric Ultrasoni 关键词压电超声换能器：六端网络法：四端网络法：有限元分析：分类号TH122 LIU Shi-jie',FENG Ping:fa2)ZHA Hui-ing回，FENG Feng》 1)Division of Advanced Manufacturing,Tsinghua Shenzhen International Graduate School,Shenzhen 518055,China 2 Department of Mechanical Engineering.Tsing,Beijing 100084.China Corresponding author,E-mail:zhah sz.tsinghua.edu.cn ABSTRACT As an effee efficient precision machining of hard and brittle materials,ultrasonic assisted machining has been widel and applied over the past years.As a result,higher requirements are put forward for the performance assisted machining equipment.Ultrasonic transducer is one of the core components of ultrasonic assiated ma system,which determines the machining performance of ultrasonic assisted machining system. Study on the dsign method of ultrasonic transducer is necessary for the establishment of ultrasonic assisted machining system.Four-teral network method based on mechanic-electric analogous is an effective design method,which regards the mechanical vibration system as an electrical four-terminal network,the wave velocity of the mechanical wave in the vibration system can be equivalent to the current in the equivalent circuit,the force impedance at both ends of the vibration system can be equivalent to the electrical impedance at both ends of the equivalent circuit.The size of ultrasonic transducer can be calculated according to the electromechanical similarity theory and vibration boundary conditions.However,the conventional four-terminal network design method of piezoelectric ultrasonic transducer (PUT)neglects the electromechanical coupling process inside the stacked piezoelectric ceramics(SPCs).The PUT designed by this method has 收稿日期：2020-XX-XX 基金项目：深圳市科技计划基础研究项目（学科布局）(CYJ20180508152128308): 深圳市科技计划基础研究项目（面上项目）(CY20190813173607172)

工程科学学报 DOI: 基于六端网络法的压电超声换能器优化设计研究刘世杰 1)，冯平法 1,2) ，查慧婷 1)  ，冯峰 1) 1) 清华大学深圳国际研究生院先进制造学部，深圳 518055 2) 清华大学机械工程系，北京 100084  通讯作者，E-mail: zhahuiting123@sz.tsinghua.edu.cn 摘要压电超声换能器传统四端网络设计方法忽略了压电陶瓷晶堆内部的机电耦合过程，使用该方法所设计的压电超声换能器尺寸误差大，输出的超声振幅较小。为了提高压电超声换能器尺寸设计精度、增大换能器输出的超声振幅，本文将考虑压电陶瓷晶堆内部机电耦合作用的六端网络引入到压电超声换能器的设计中，分别采用四端网络法和六端网络法设计得到两个不同尺寸的压电超声换能器 A 和 B，通过有限元方法对比分析了两个换能器的固有频率和输出振幅，并进一步通过实验验证了设计理论与仿真分析的有效性。研究结果表明，在相同激励电压下，采用六端网络法设计得到的压电超声换能器 B 输出的超声振幅是换能器 A 输出振幅的 1.5 倍，六端网络法设计压电超声换能器可以提高所设计换能器的振动性能。关键词压电超声换能器；六端网络法；四端网络法；有限元分析；超声振幅分类号 TH122 Research on Optimized Design for Piezoelectric Ultrasonic Transducer Based on Six-terminal Network LIU Shi-jie1), FENG Ping-fa1,2) ZHA Hui-ting1) , FENG Feng1) 1) Division of Advanced Manufacturing, Tsinghua Shenzhen International Graduate School, Shenzhen 518055, China 2) Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China  Corresponding author, E-mail: zhahuiting123@sz.tsinghua.edu.cn ABSTRACT As an effective method for efficient precision machining of hard and brittle materials, ultrasonic assisted machining has been widely researched and applied over the past years. As a result, higher requirements are put forward for the performance of ultrasonic assisted machining equipment. Ultrasonic transducer is one of the core components of ultrasonic assisted machining system, which determines the machining performance of ultrasonic assisted machining system. Study on the design method of ultrasonic transducer is necessary for the establishment of ultrasonic assisted machining system. Four-terminal network method based on mechanic-electric analogous is an effective design method, which regards the mechanical vibration system as an electrical four-terminal network, the wave velocity of the mechanical wave in the vibration system can be equivalent to the current in the equivalent circuit, the force impedance at both ends of the vibration system can be equivalent to the electrical impedance at both ends of the equivalent circuit. The size of ultrasonic transducer can be calculated according to the electromechanical similarity theory and vibration boundary conditions. However, the conventional four-terminal network design method of piezoelectric ultrasonic transducer (PUT) neglects the electromechanical coupling process inside the stacked piezoelectric ceramics (SPCs). The PUT designed by this method has 收稿日期: 2020-XX-XX 基金项目: 深圳市科技计划基础研究项目（学科布局）(JCYJ20180508152128308)；深圳市科技计划基础研究项目（面上项目）(JCYJ20190813173607172). 录用稿件，非最终出版稿

big size error and low output amplitude.Aimed to obtain a higher ultrasonic amplitude of PUT,the equivalent six-terminal network of SPCs considering electromechanical coupling is introduced into the traditional design method and two PUTs of different sizes are designed by the four-terminal network and the six-terminal network,named transducer A and tansducer B. respectively.The natural frequency and output amplitudes of the two PUTs are analyzed and compared by finite element method (FEM),and the experiments further verified the validity of the theory and the simulation analysis.When the excitation voltage is same,the results show that the output amplitude of transducer B(designed by six-terminal network)is 1.5 times higher than the amplitude of transducer A,and appling six-terminal network to the PUT designing can improve the vibration performance of PUT effectively. KEY WORDS piezoelectric ultrasonic transducer;six-terminal network method;four-terminal network method;finite element analysis;ultrasonic vibration amplitude 近年来，先进陶瓷材料、聚合物材料及其复合材料在航空航天、国防军工医疗器械、轨道交通等领域发挥着越来越重要的作用，尤其是具有优异的机械、电气和光学性能的硬脆材料，如晶体硅四、结构陶瓷、工程陶瓷、光学玻璃同等。但硬脆林俱自硬度、高强度、载荷作用下容易脆断等特点，在使用传统加工方法进行机械加工时容易产生袭纹，形成表面和亚表面损伤，加工过程中刀具极易发生磨损、崩刃等现象)，研究结果表，炭转超声加工技术能够有效提高硬脆材料的加工质量、降低切削力、改善刀具磨损，是干种硬跪材料有效的加工方法【旋转超声加工系统一般由以下部分组成：超声波发生器无能传输系统、超声换能器、变幅杆和刀具。对于超声换能器和变幅杆，常用的设计方法走要解析法回、传输矩阵法、四端网络法4.、有限元法【6.川等。其中四端网络法是将须煥能器和变幅杆各个直径不同的部分分别等效成一个四端网络，根据机电相似理论和振动边界条浅取待设计尺寸。对手不同形式和级数的换能器和变幅杆，只要顺序调用不同形式的四端丝得到总传输矩阵，再根据边界条件求解即可，具有有便易用的优点。一然而，采用四端网络法设换能器时，压电片通常是规则的圆柱形状，如图 1所示，传统上将其等效为等截面杆四端网络，忽略了压电片内部的机电耦合过程，影响所设计换能器的输出振幅。本文在四端网络设计法的基，将靠电超声换能器的前、后盖板及连接螺栓等效成电学四端网络，并将压电陶瓷晶堆等交成考滤了机电耦合的六端网络，利用机械振动系统和电路系统的相录用似理论对压电超声换能器优 ,并进行了有限元分析和实验验证。 Piezoelectric Back cover cramic slice Front cover 4 ③② 424×o1. 图1压电超声换能器结构 Fig.1 Structure of PUT 1压电超声换能器等效电学网络模型四端网络法的原理是力电类比，将具有输入和输出的力学振动系统看作一个电学四端网络，其中机械波在振动系统中的波速等效为电路中的电流，振动系统两端的力阻抗等效为电路两端的电阻抗圆。用这种中电类比方法得到换能器和变幅杆每一部分的等效网络，将各等效网络按顺序串联起来，再通过电路运算求出网终中的设计参数。图2为机械系统四端网络和电路四端网络类比图示

big size error and low output amplitude. Aimed to obtain a higher ultrasonic amplitude of PUT, the equivalent six-terminal network of SPCs considering electromechanical coupling is introduced into the traditional design method and two PUTs of different sizes are designed by the four-terminal network and the six-terminal network, named transducer A and tansducer B, respectively. The natural frequency and output amplitudes of the two PUTs are analyzed and compared by finite element method (FEM), and the experiments further verified the validity of the theory and the simulation analysis. When the excitation voltage is same, the results show that the output amplitude of transducer B (designed by six-terminal network) is 1.5 times higher than the amplitude of transducer A, and appling six-terminal network to the PUT designing can improve the vibration performance of PUT effectively. KEY WORDS piezoelectric ultrasonic transducer; six-terminal network method; four-terminal network method; finite element analysis; ultrasonic vibration amplitude 近年来，先进陶瓷材料、聚合物材料及其复合材料在航空航天、国防军工、电子信息、医疗器械、轨道交通等领域发挥着越来越重要的作用 [1]，尤其是具有优异的机械、电气和光学性能的硬脆材料，如晶体硅 [2]、结构陶瓷 [3-4]、工程陶瓷 [5] 、光学玻璃 [6]等。但硬脆材料具有高硬度、高强度、载荷作用下容易脆断等特点，在使用传统加工方法进行机械加工时容易产生裂纹，形成表面和亚表面损伤，加工过程中刀具极易发生磨损、崩刃等现象 [7、8] ，研究结果表明，旋转超声加工技术能够有效提高硬脆材料的加工质量、降低切削力、改善刀具磨损，是一种硬脆材料有效的加工方法 [9-11] 。旋转超声加工系统一般由以下部分组成：超声波发生器、无线电能传输系统、超声换能器、变幅杆和刀具。对于超声换能器和变幅杆，常用的设计方法主要有解析法 [12] 、传输矩阵法 [13] 、四端网络法 [14、15] 、有限元法 [16、17] 等。其中四端网络法是将超声换能器和变幅杆各个直径不同的部分分别等效成一个四端网络，根据机电相似理论和振动边界条件求取待设计尺寸。对于不同形式和级数的换能器和变幅杆，只要顺序调用不同形式的四端网络，得到总传输矩阵，再根据边界条件求解即可，具有方便易用的优点。然而，采用四端网络法设计换能器时，压电片通常是规则的圆柱形状，如图 1 所示，传统上将其等效为等截面杆四端网络，忽略了压电片内部的机电耦合过程，影响所设计换能器的输出振幅。本文在四端网络设计法的基础上，将压电超声换能器的前、后盖板及连接螺栓等效成电学四端网络，并且将压电陶瓷晶堆等效成考虑了机电耦合的六端网络，利用机械振动系统和电路系统的相似理论对压电超声换能器优化设计，并进行了有限元分析和实验验证。图 1 压电超声换能器结构 Fig.1 Structure of PUT 1 压电超声换能器等效电学网络模型四端网络法的原理是力电类比，将具有输入和输出的力学振动系统看作一个电学四端网络，其中机械波在振动系统中的波速等效为电路中的电流，振动系统两端的力阻抗等效为电路两端的电阻抗 [18] 。用这种力电类比方法得到换能器和变幅杆每一部分的等效网络，将各等效网络按顺序串联起来，再通过电路运算求出网络中的设计参数。图 2 为机械系统四端网络和电路四端网络类比图示。录用稿件，非最终出版稿

若令 2 2 2 2 -1/2 1 y S K k S x v S  ∂  = - ⋅  ∂   = (4) 将式(3)、(4)代入式(2)中得： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 11 2 0 2 1 2 2 22 1 2 tan tan 2 tan tan x x l c S cS K cK S S Fj vj vj v k x k Kl k Kl c S cS K cK S S Fj vj vj v k x k Kl k Kl ρ ρ ρ ρ ρ ρ = =    ∂  = +−      ∂     ∂ = −+      ∂  (52) 其中： 2 2 2 2 -1/2 1 y S K k S x v S  ∂  = - ⋅  ∂   = (3) 式(5)描述了变截面杆两端所受的力和振动速度之间的关系，若将变截面杆 x = 0 的一端当作输入端，x l = 的一端当作输出端，则输出端受力 F2 和振速 2 v 可以用输入端的受力 F1 和振速 1v 表示成方程 (4): 2 11 12 1 2 21 22 1 F aa F v aa v      =           (46) 其中， ( ) ( ) 2 11 1 2 sin cos x l S Kl KS Kl x a K SS =   ∂ − +     ∂ = ( ) ( ) 1 2 2 12 22 sin 2 tan x l cK S S c S cS K aj j j a k Kl k x k Kl ρ ρ ρ =     ∂ =+ −       ∂   ( ) 21 1 2 k Kl sin a j ρcK S S = ( ) ( ) 1 0 22 1 2 sin cos x S Kl KS Kl x a K SS =   ∂   +   ∂ = 即机械四端网络的等效电路图可以表示为图 42(b)的形式。图 4 变截面杆的等效四端网络 Fig.4 Schematic illustration of the single rod with variable cross-section 在压电换能器中，压电陶瓷晶堆是由中间开孔的压电陶瓷片和电极片相互间隔粘结而成的，设计压电超声换能器时可将压电陶瓷晶堆等效成等截面杆，将其材料参数直接代入式(4)中得到压电陶瓷晶堆的等效四端网络 [19] ，这种方法简化了设计和计算过程，但忽略了压电陶瓷晶堆中的机电耦合，增加了换能器的设计误差。压电陶瓷薄圆片只有轴向（z 向）施加了电场，只有轴向存在应力，g 型压电方程为 [20、21] ： T D T S T s g E D g β       =       − (57) 录用稿件，非最终出版稿

压电方程是描述晶体的力学量（应力T ，应变 S ）及电学量（电场强度 E 和电位移 D ）之间相互联系的表达式。式(7)中 Ds 是恒电位移柔顺系数矩阵，βT 是恒应力介电常数矩阵，g 是压电电压常数矩阵。，式(7)的轴向应力T33 和轴向电场强度 E33 为： 33 33 33 33 33 33 1 D D g TS D s s = − (8) 33 33 33 33 33 T E gS D =− + β (9) 根据牛顿第二定律，压电陶瓷圆片简谐振动时的波动方程为： 2 2 2 k 0 z ξ ξ ∂ + = ∂ (10) 其中，k c = ω / 是波数，设压电陶瓷圆片两端的位移分别为 1 ξ 、 2 ξ ，则压电陶瓷圆片位移波动方程的解为： ( ) ( ) ( ) 1 2 sin sin sin kl kz kz kl ξξ ξ − − = (116) 其中， k c = ω / 是波数，设压电陶瓷圆片两端的位移分别为 1 ξ 、 2 ξ 。压电陶瓷圆片电路状态方程为将式(8)代入(9)，并用 1 3 0 V E dz = ∫ 求解压电陶瓷圆片两端的电压，得到电路状态方程： 1 2 00 0 n n 1 Vvv I jC jC jC ωω ω =++ (127) 其中， C0 33 0 T s C lβ = 为压电陶瓷圆片的一维截止电容， n 33 33 33 D D g s n ls β = 为机电转换系数，其中 2 33 33 33 33 33 1 T T T D g s β β β   = +     。结合压电陶瓷圆片电路状态方程，压电圆片轴向应力T33 将压电陶瓷圆片波动方程的解代入式 (8)，可以写成： ( ) ( ) ( ) ( ) 33 33 33 33 33 1 1cos 2cos sin D D kl kz k kz k g T D s s kl ξξ − ×− − × = − (138) 在压电陶瓷圆片两个端面处内力和外力平衡的边界条件下，压电片两端受力及电压可表示为矩阵形式压电陶瓷圆片两个端面处内力和外力平衡，因此在边界处满足： 1 33 0 0 z F ST = + = 2 33 0 z l F ST = + = (14) 将式(13)代入边界条件(14)，并用电路状态方程简化，得： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 12 0 212 0 tan sin sin tan cS cS n F v vI j kl j kl j C cS cS n F v vI j kl j kl j C ρ ρ ω ρ ρ ω  =++     =+ +   (15) 式(12)和式(15)写成矩阵形式为：录用稿件，非最终出版稿

( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 0 0 00 tan sin sin tan 1 cS cS n j kl j kl j C F v cS cS n F v j kl j kl j C V I n n jC jC jC ρ ρ ω ρ ρ ω ω ωω             =               (169) 式(169)通过一个3 3 × 的矩阵将 4 个力学量和 2 个电学量联系起来，基于式(169)，若将 p 片压电陶瓷圆片堆叠形成压电陶瓷晶堆，根据级联理论将各压电陶瓷圆片的等效电路串联，可以将压电陶瓷晶堆等效为如图 3 所示的六端网络 [22] 。从图 3 可以看出，压电陶瓷圆片可以等效为一个电学六端网络，变压器两端分别是力学部分和电学部分。得到压电陶瓷圆片的机电等效电路，如图 5 所示。图 5 压电陶瓷圆片等效电路图 Fig.5 Equivalent circuit diagram of a piezoelectric ceramic slice 从图 5 可以看出，压电陶瓷圆片可以等效为一个电学六端网络，变压器两端分别是力学部分和电学部分，其中力学部分的电容C 反映了压电陶瓷圆片内部电能和机械能的反复转换耦合过程。若将 p 片压电陶瓷圆片堆叠形成压电陶瓷晶堆，根据级联理论将各压电陶瓷圆片的等效电路串联，可以将压电陶瓷晶堆等效为如图 6 所示的六端网络 [20] ：图 63 压电陶瓷晶堆的等效六端网络 Fig.63 Equivalent six-terminal network of the SPC 其中： ( ) ( ) 1 2 tan / 2 sin / e e e Z j c S kl c S Z j pkl k c ρ ρ ω  =    =    = (1710) 式中，l 为单片压电陶瓷片的厚度， e ρc 为压电陶瓷片的声阻抗率， / e k c = ω 为圆波数, 33 1/ E e c s = ρ 为压电陶瓷晶堆中的纵向振动等效声速，图 6 中C0 为单片压电陶瓷片的静态电容量。从式(45)中可以看出，杆件受力和振速之间的连接只涉及材料参数，因此用四端网络等效压电陶瓷晶堆时，只是将其看作等截面杆，输入参量为机械量。而式(169)由压电陶瓷圆片的压电方程、电录用稿件，非最终出版稿

路状态方程和波动方程推导而来，其中机电转换系数体现了机电转换过程，因此采用六端网络等效压电陶瓷晶堆时，将机电能量转换过程耦合到等截面杆中，输入量为电学量，更加符合压电超声换能器的工作原理。本文将六端网络运用到压电超声换能器的设计中，以提高换能器的设计的准确性。在设计压电超声换能器时，若将压电陶瓷晶堆等效为六端网络，可以计算其输入端或者输出端的等效阻抗，填充在相应端口，将六端网络转化为可以与其它部分传输矩阵相乘的形式。，通常选择结构相对简单的一端计算等效阳抗。—具体而言，一设压电陶瓷晶堆某一端所连杆件的等效阻抗为Z。, 用Z,填充压电陶瓷晶堆的六端网络中相对应的两个端口可将六端网络变为四端网络的形式，且传输矩阵C=(c1,c2921c22)可以根据图3得出，其中各元素分别为： G1=Z1+Z2+Z6 G2=-(Z2+Z6) 811) c21=Z3 c2=-(Z2+Z6) 若压电陶瓷晶堆另一端的各段杆的传输矩阵为： 4= d i=1,2,… (1912) 将式(8山和(4912)相乘得到系统的总传输矩阵为： D= 最终出版稿 i=12.… (2013) 2压电超声换能器设计计算在图1所示压电超声换能器的设计中，预改缬率为20kHz, 前后盖板的材料均为6061铝合金，压电陶瓷片为PZT-8型，沿轴向极化，连安栓的材料为45钢，各材料参数如表1所示。压电超声换能器的直径可根据实际需求来选择合适的尺寸，下文将以直径50m为例进行分析，需要设计计算的关键尺寸为前盖板长度L和后盖板圆柱段长度L2。压电超声换能器各部分材料参数 Mterial parameters of each part of the PUT Materials Young's modulus/(N/m) Poisson's ratio aluminum alloy 6061 7.07×100 0.33 Ex:7.407×1010 :0.303 PZT-8 E:8.696×1010 "g:0.356 E:8.696×1010 'x:0.322 45 Steel 50 7.07×10" 0.31 压电超换能器的前盖板是圆柱截面杆，截面积是常数，即S/x=0,设计直径尺寸 D=50m/ 盖板长度L为待求解尺寸，将前盖板的材料参数和直径代入式(4)中，可得前盖板输入端和输出端之间的关系（以前盖板靠近节面的一端为输入端）： F 412 F (2414) a21 a22 其中： 41=c0s(kL1) a2=jp9Ssin(kL） jsin(k) 021= a22=cos(kL）) PGS

路状态方程和波动方程推导而来，其中机电转换系数 n 体现了机电转换过程，因此采用六端网络等效压电陶瓷晶堆时，将机电能量转换过程耦合到等截面杆中，输入量为电学量，更加符合压电超声换能器的工作原理。本文将六端网络运用到压电超声换能器的设计中，以提高换能器的设计的准确性。在设计压电超声换能器时，若将压电陶瓷晶堆等效为六端网络，可以计算其输入端或者输出端的等效阻抗，填充在相应端口，将六端网络转化为可以与其它部分传输矩阵相乘的形式。，通常选择结构相对简单的一端计算等效阻抗。具体而言，设压电陶瓷晶堆某一端所连杆件的等效阻抗为 Zb ，用 Zb 填充压电陶瓷晶堆的六端网络中相对应的两个端口可将六端网络变为四端网络的形式，且传输矩阵C = (cccc 11 12 21 22 ,;; ) 可以根据图 63 得出，其中各元素分别为： ( ) ( ) 11 1 2 12 2 21 2 22 2 b b b c ZZ Z c ZZ c Z c ZZ  =++   =− +  =   =− +  (1811) 若压电陶瓷晶堆另一端的各段杆的传输矩阵为： i i 11 12 i i 21 22 a a a a         A =i i = 1,2, (1912) 将式(1811)和(1912)相乘得到系统的总传输矩阵为： 11 22 11 12 11 12 11 12 11 12 11 22 21 22 21 22 21 22 21 22 i i i i cc aa aa aa c c aa aa aa        = × × ××               D  i = 1,2, (2013) 2 压电超声换能器设计计算在图 1 所示压电超声换能器的设计中，预设工作频率 f 为 20 kHz，前后盖板的材料均为6061铝合金，压电陶瓷片为 PZT 8 − 型，沿轴向极化，连接螺栓的材料为 45 钢，各材料参数如表 1 所示。压电超声换能器的直径可根据实际需求来选择合适的尺寸，下文将以直径 50 mm 为例进行分析，需要设计计算的关键尺寸为前盖板长度 L1 和后盖板圆柱段长度 L2 。表 1 压电超声换能器各部分材料参数 Table 1 Material parameters of each part of the PUT Materials Density/(kg/m3 ) Young's modulus/(N/m2 ) Poisson's ratio aluminum alloy 6061 2700 7.07×1010 0.33 Ex : 7.407×1010 νxy : 0.303 PZT-8 7600 Ey : 8.696×1010 νyz : 0.356 Ez: 8.696×1010 νxz: 0.322 45 Steel 7850 7.07×1011 0.31 压电超声换能器的前盖板是圆柱截面杆，截面积是常数，即 ∂ ∂≡ S x / 0 ，设计直径尺寸 1 D = 50 mm ，前盖板长度 L1 为待求解尺寸，将前盖板的材料参数和直径代入式(4)中，可得前盖板输入端和输出端之间的关系（以前盖板靠近节面的一端为输入端）： 0 11 12 1 0 21 22 1 F aa F v aa v        = ×         (2114) 其中： a kL 11 1 1 = cos( ) a j cS kL 12 1 1 1 1 1 = ρ sin ( ) ( ) 1 1 21 11 1 j kL sin a ρ c S = a kL 22 1 1 = cos( ) 录用稿件，非最终出版稿

( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 21 11 1 11 1 1 cos sin sin cos a kL a j cS kL j kL a c S a kL ρ ρ  =   =    =   =  其中， F1 和 1v 分别为图 1 中①面处的力和振速， ρ1为铝合金的密度， 1c 为铝合金中的声速， 1 S 为前盖板的横截面积， 1k 为前盖板的波数。前盖板输入端为节面位置，振速为 0，输出端为自由端，受力为 0，将该边界条件即前盖板的边界条件为（节面位置 x = 0）： 1 x v = = 0: 0 0 x lF = = : 0 代入式(2114)，需满足 11 a = 0 ，进而求出前盖板长度 1L = 58.63 mm 。可以发现，计算所得前盖板长度接近 1/4 波长，节面位于波节处，前盖板输出端面为波腹，这种分布方式一方面保证节面位置位移为 0，便于换能器的安装固定，同时有利于在输出端激发出最大的振幅，这与超声加工过程对超声振幅的需求相符。压电超声换能器的后盖板圆柱段和连接螺栓为等截面杆，设计方法与前盖板相同，其传输矩阵分别为C 和 D 。压电超声换能器的后盖板包括一段直径为 50 mm 的均匀截面杆和一段圆锥形截面杆，对于均匀截面杆部分，将后盖板与压电陶瓷晶堆相接的一端作为输出端，其传输方程可表示为： 3 11 12 2 3 21 22 2 F bb F v bb v        = ×         (22) 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 21 11 1 22 1 1 cos sin sin cos a kL a j cS kL j kL a c S a kL ρ ρ  =   =    =   =  其中 F2 和 2 v 分别为图 1 中面②处的力和振速， F3 和 3v 分别为图 1 中面③处的力和振速， ρ2 为铝合金的密度， 2 c 为铝合金中的声速， 2 S 为后盖板面②的截面积， 2 k 为后盖板的波数。对于后盖板圆锥段圆锥形截面杆，以图 1 中面③为输入端，传输方程可表示为： 3 11 12 2 3 21 22 2 F bb F v bb v        = ×         (2315) 其中： ( ) ( ) 3 4 4 11 3 3 3 3 333 3 sin cos R R R c k L k L RkL R − = + ( ) ( ) 2 2 34 3 3 4 3 3 12 3 3 3 3 3 433 4 4 33 cos sin RR R R R k L c j cS k L RkL R R kL ρ        − −   = +−                    ( ) 3 21 3 3 44 4 4 sin j R b k L ρ cS R = ( ) ( ) 3 4 3 3 3 22 3 3 4 33 4 sin cos RR R k L b k L R kL R − = − + ( ) 3 21 3 3 44 4 4 sin j R c k L ρ cS R = 录用稿件，非最终出版稿

R-Rsim(k山），R cos(分其中，F4和v4分别为图1中面④处的力和振速，P3=P4为铝合金的密度，C3=c4为铝合金中的声速， S,为面③的截面积，S4为面④的截面积，k为后盖板的波数，L设计为8mm。连接螺栓看作等截面杆，以面④为输入端，传输方程为.· F [dd4l「E] 24 其中， di=cos(kL) d2 jpacaS sin(kaLa) d1=mt女女 PaCaS d22 cos(kaLa) 版稿其中F,和书分别为图1中面⑤处的中力和振速，为45钢的密度，火的声速为后击板面④的截面积，k为连接螺栓的波数，螺栓厚度七为12mm。对于压电陶瓷晶堆，如果不考虑压电片中的机电耦合作用其等效四编网络与前盖板的等效四端网络相似，这种方法计算得2=9.95mm。如第1节所述考电片中的机电耦合作用，压电陶瓷晶堆可等效为图3所示六端网络，用后盖板和螺栓的筹效阻抗填充压电陶瓷晶堆等效六端网络的两个端口，则后盖板、螺栓和压电陶瓷晶堆整体形影端网络，后盖板和螺栓的等效阻抗可以由式(16)求出： (2516) 其中： M= 2 712 d21d22 将式(2516)代入式(1810)中得到龟陶瓷晶堆、后盖板和连接螺栓共同组成的四端网络传输方程： (261Z) 根据超声加工所输出功率光小，选择4片压电陶瓷片，每片厚度为6.5mm,直径为50mm。式(261☑) 的传输矩阵中含个未知参数b2,边界条件为：？=0、E=0,即要求如=0，求得 L2=15.78经对以上设计和计算，设计出的压电超声换能器的各部分关键尺寸如下表2所示：表2压电超声换能器设计尺寸 Tab.2 Designed dimensions of each part of the PUTs Length/mm Diameter/mm Front cover 58.63 0 piezoelectric ceramic slice 6.5 50 Cylindrical section of back cover 9.95 (four-terminal network method) 哆 Cylindrical section of back cover (six-terminal network method) 15.78 Conic section of back cover The bottom surface:50 The top surface:36 Bolt 12 36 3压电超声换能器有限元分析压电超声换能器的王作原理本质上是一种电场与机械振动的耦合作用，存限元伤真方法通过求解微分方程可以模拟真实物理过程，同时能检验换能器的尺寸设计是否合理，对换能器的设计代化

( ) ( ) 3 4 3 3 3 22 3 3 4 33 4 sin cos RR R k L c k L R kL R − = − + 其中，F4 和 4 v 分别为图 1 中面④处的力和振速，ρ ρ 3 4 = 为铝合金的密度， 3 4 c c = 为铝合金中的声速， 3 S 为面③的截面积， 4 S 为面④的截面积， 3 k 为后盖板的波数， L3设计为8 mm 。连接螺栓看作等截面杆，以面④为输入端，传输方程为： 5 11 12 4 5 21 22 4 F dd F v dd v        = ×         (24) 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) 11 4 4 12 4 4 4 4 4 4 4 21 44 4 22 4 4 cos sin sin cos d kL d j cS kL j kL d c S d kL ρ ρ  =   =    =   =  其中 F5 和 5v 分别为图 1 中面⑤处的力和振速， ρ4 为 45 钢的密度， 4 c 为 45 钢中的声速， 4 S 为后盖板面④的截面积， 4 k 为连接螺栓的波数，螺栓厚度 L4 为12 mm 。对于压电陶瓷晶堆，如果不考虑压电片中的机电耦合作用，其等效四端网络与前盖板的等效四端网络相似，这种方法计算得 2 L = 9.95 mm 。如第 1 节所述，考虑压电片中的机电耦合作用，压电陶瓷晶堆可等效为图 63 所示六端网络，用后盖板和螺栓的等效阻抗填充压电陶瓷晶堆等效六端网络的两个端口，则后盖板、螺栓和压电陶瓷晶堆整体形成一个四端网络，后盖板和螺栓的等效阻抗可以由式(16)求出： 2 12 2 22 b F m Z v m = = (2516) 其中： 11 12 11 12 11 12 11 12 21 22 21 22 21 22 21 22 mm bb cc d d mm bb cc d d       = =××             M 将式(2516)代入式(1810)中得到压电陶瓷晶堆、后盖板和连接螺栓共同组成的四端网络传输方程： 1 11 12 5 1 21 22 5 F tt F v tt v       = ×       (2617) 根据超声加工所需输出功率大小，选择 4 片压电陶瓷片，每片厚度为6.5 mm，直径为50 mm 。式(2617) 的传输矩阵中只含有一个未知参数 L2 ，边界条件为： 1v = 0 、 5 F = 0 ,即要求 22 t = 0 ，求得 2 L = 15.78 mm 。经过以上设计和计算，设计出的压电超声换能器的各部分关键尺寸如下表 2 所示：表 2 压电超声换能器设计尺寸 Tab.2 Designed dimensions of each part of the PUTs Parts Length/mm Diameter/mm Front cover 58.63 50 piezoelectric ceramic slice 6.5 50 Cylindrical section of back cover （four-terminal network method） 9.95 50 Cylindrical section of back cover （six-terminal network method） 15.78 50 Conic section of back cover 8 The bottom surface:50 The top surface:36 Bolt 12 36 3 压电超声换能器有限元分析压电超声换能器的工作原理本质上是一种电场与机械振动的耦合作用，有限元仿真方法通过求解微分方程可以模拟真实物理过程，同时能检验换能器的尺寸设计是否合理，对换能器的设计优化录用稿件，非最终出版稿

起到指导作用。在第2节中分别采用四端网络法和六端网络法设计了两个不同尺寸的压电超声换能器，分别记作换能器A(四端网络法)和换能器B(六端网络法)，利用有限元分析方法得到换能器最接近设计频率(20kHz)的纵振固有频率如表3所示。表3压电超声换能器纵振固有频率仿真分析 Tab.3 Natural frequency of longitudinal vibration of the PUTs by FEM Natural frequency Design error Modal solution Transducer A 20074 0.37% Transducer B 19270 3.65% 可见两种换能器均能在20kz附近产生纵振模态的谐振，且误差较小，在节面幅值最小，可以用于换能器主体与机床的连接固定，前盖板前端输出振幅最大，可与变幅杆格槎，供足够大的幅倖振幅。瞬态分析模型设置如图4所示中，在图4()所示平面2和4施加心址激电压表达式为 V(t)=50cos(2π×f×t)(W),其中频率(f)取表1中换能器的纵振固有频案， 3和5接地，在每一个激励周期内计算10个点，计算足够长的时间，分析换能器前盖核前瑞面点1处的输出振幅，如图4b6所示。图5激电件州方式 Fig.5The applieation of the exeitation veltage 录用稿图6前盖板输出点十示意图 Fig.6 Schematic illustration of point I 图4瞬态分析模型设置()激励施加方式(b)前盖板振动输出点上 Fig.4 Model setup of transient analysis.(a)The application of the excitation voltage (b)Schematic illustration of point I 图95为两种压电超声换能器在简谐激励下达到稳定振动状态时前盖板点1处的输出振动。由图 95可知，采用六端网络法设计的换能器B可以输出更大的振幅，振幅平均值约为7m,换能器A 输出振幅平均值4.5m。换能器A设计过程中将压电陶瓷晶堆当作无源器件，忽略了机电耦合过程对压电陶瓷晶堆中机械波传播的影响，导致机械波到达后盖板自由端面与空气交界面时并不处于波腹位置，机械波经过后盖板反射之后在换能器内形成驻波，反射波与原生波振动幅值不同导致两者重合度低，不利于换能器整体的谐振，输出振幅较小

起到指导作用。在第 2 节中分别采用四端网络法和六端网络法设计了两个不同尺寸的压电超声换能器，分别记作换能器 A（四端网络法）和换能器 B（六端网络法），利用有限元分析方法得到换能器最接近设计频率（20 kHz）的纵振固有频率如表 3 所示。表 3 压电超声换能器纵振固有频率仿真分析 Tab.3 Natural frequency of longitudinal vibration of the PUTs by FEM Natural frequency Design error Modal solution Transducer A 20074 0.37% Transducer B 19270 3.65% 可见两种换能器均能在 20 kHz 附近产生纵振模态的谐振，且误差较小，在节面位置幅值最小，可以用于换能器主体与机床的连接固定，前盖板前端输出振幅最大，可与变幅杆相连，提供足够大的幅值振幅。瞬态分析模型设置如图 4 所示中，在图 74(a)所示平面 2 和 4 施加电压激励，电压表达式为 V t( ) ( )( ) = ×× 50cos 2π f t V ，其中频率( ) f 取表 1 中换能器的纵振固有频率，平面 1、3 和 5 接地，在每一个激励周期内计算 10 个点，计算足够长的时间，分析换能器前盖板前端面点 1 处的输出振幅，如图 4(b)6 所示。图 5 激励电压施加方式 Fig.5 The application of the excitation voltage 图 6 前盖板输出点 1 示意图 Fig.6 Schematic illustration of point 1 图 4 瞬态分析模型设置 (a)激励施加方式 (b)前盖板振动输出点 1 Fig.4 Model setup of transient analysis. (a) The application of the excitation voltage (b) Schematic illustration of point 1 图 95 为两种压电超声换能器在简谐激励下达到稳定振动状态时前盖板点 1 处的输出振动。由图 95 可知，采用六端网络法设计的换能器 B 可以输出更大的振幅，振幅平均值约为7 μm ，换能器 A 输出振幅平均值 4.5 μm 。换能器 A 设计过程中将压电陶瓷晶堆当作无源器件，忽略了机电耦合过程对压电陶瓷晶堆中机械波传播的影响，导致机械波到达后盖板自由端面与空气交界面时并不处于波腹位置，机械波经过后盖板反射之后在换能器内形成驻波，反射波与原生波振动幅值不同导致两者重合度低，不利于换能器整体的谐振，输出振幅较小 [23]。录用稿件，非最终出版稿