工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 马永浩张爽何修宇刘志杰 A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems MA Yong-hao,ZHANG Shuang.HE Xiu-yu.LIU Zhi-jie 引用本文： 马永浩，张爽，何修宇，刘志杰.基于连续反演算法的时滞补偿控制综述[J].工程科学学报，优先发表.do: 10.13374j.issn2095-9389.2021.01.10.002 MA Yong-hao,ZHANG Shuang,HE Xiu-yu,LIU Zhi-jie.A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems[J].Chinese Journal of Engineering,In press.doi:10.13374/j.issn2095- 9389.2021.01.10.002 在线阅读View online:https::/doi.org10.13374.issn2095-9389.2021.01.10.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 An improved artificial fish swarm algorithm and its application on system identification with a time-delay system 工程科学学报.2017,39(4：619htps:/ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2017.04.018 基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构控制一体化设计 Plant/controller co-design of motor driving systems based on finite-time filtering control 工程科学学报.2019,41(9y:1194 https:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2019.09.011 离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 Cooperative optimal preview tracking control of discrete-time multi-agent systems 工程科学学报.2018.40(2：241 https::/doi.org10.13374j.issn2095-9389.2018.02.015 考虑磁滞的铁稼磁致伸缩位移传感器输出电压模型及结构设计 Output voltage model of Fe-Ga magnetostrictive displacement sensor considering hysteresis and structural design 工程科学学报.2017,398：1232 https:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.08.013 基于安全传输策略的网络化预测控制系统设计 Design of networked predictive control system based on secure transmission strategy 工程科学学报.2017,399外：1403htps:ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2017.09.014 巡线机器人延迟容忍传感器网络数据传输策略 Date delivery scheme of delay-tolerant mobile sensor networks for high-voltage power transmission line inspection robot 工程科学学报.2018,4011)：1412htps:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2018.11.015
基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 马永浩 张爽 何修宇 刘志杰 A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems MA Yong-hao, ZHANG Shuang, HE Xiu-yu, LIU Zhi-jie 引用本文: 马永浩, 张爽, 何修宇, 刘志杰. 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述[J]. 工程科学学报, 优先发表. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2021.01.10.002 MA Yong-hao, ZHANG Shuang, HE Xiu-yu, LIU Zhi-jie. A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems[J]. Chinese Journal of Engineering, In press. doi: 10.13374/j.issn2095- 9389.2021.01.10.002 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.01.10.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的应用 An improved artificial fish swarm algorithm and its application on system identification with a time-delay system 工程科学学报. 2017, 39(4): 619 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.04.018 基于有限时间滤波控制的电机驱动系统结构/控制一体化设计 Plant/controller co-design of motor driving systems based on finite-time filtering control 工程科学学报. 2019, 41(9): 1194 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.09.011 离散时间多智能体系统的协调最优预见跟踪 Cooperative optimal preview tracking control of discrete-time multi-agent systems 工程科学学报. 2018, 40(2): 241 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.02.015 考虑磁滞的铁稼磁致伸缩位移传感器输出电压模型及结构设计 Output voltage model of Fe-Ga magnetostrictive displacement sensor considering hysteresis and structural design 工程科学学报. 2017, 39(8): 1232 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.08.013 基于安全传输策略的网络化预测控制系统设计 Design of networked predictive control system based on secure transmission strategy 工程科学学报. 2017, 39(9): 1403 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.09.014 巡线机器人延迟容忍传感器网络数据传输策略 Date delivery scheme of delay-tolerant mobile sensor networks for high-voltage power transmission line inspection robot 工程科学学报. 2018, 40(11): 1412 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.11.015
工程科学学报.第44卷，第X期：1-9.2022年X月 Chinese Journal of Engineering,Vol.44,No.X:1-9.X 2022 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.01.10.002;http://cje.ustb.edu.cn 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 马永浩2)，张爽，2)，何修宇2，)区，刘志杰2，) 1)北京科技大学人工智能研究院，北京1000832)北京科技大学自动化学院，北京1000833)北京科技大学顺德研究生院，佛山528399 ☒通信作者，E-mail:xiuyuhe@ieee.org 摘要在实际系统的工作过程中，时滞现象普遍存在，如控制信号的采集与传输、控制器的构建与实施、事件的决策与处 理等.考虑并有效处理时滞特性的影响有助于提升系统的性能.基于连续反演算法的时滞补偿控制策略是一种有效的控制 方法且取得很多研究成果.该时滞补偿控制的主要思路是将具有时滞特性的常微分方程或偏微分方程变换为不具有时滞特 性的常微分方程-偏微分方程/常微分方程-偏微分方程(ODE-PDE/PDE-PDE)级联系统.进一步地，基于变换的级联系统，结 合连续反演算法提出相应的控制策略。该方法具有系统的稳定性证明简单，鲁棒性强，易于求取闭环系统精确解等优点.详 细论述了连续反演算法的基本原理，并针对基于连续反演算法的时滞补偿控制算法在处理输人、输出、状态等类型时滞特性 的最新研究进展做简单的阐述和总结.最后，开放式地论述了时滞系统的未来研究方向 关键词时滞系统：输入时滞：输出时滞：连续反演算法；分布参数系统 分类号TP273.3 A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems MA Yong-hao 2.ZHANG Shuang2).HE Xiu-yu LIU Zhi-jie2 1)Institute of Artificial Intelligence,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Automation and Electrical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)Shunde Graduate School,University of Science and Technology Beijing,Foshan 528399,China Corresponding author,E-mail:xiuyuhe@ieee.org ABSTRACT In practical control systems,time delays inevitably occur when sensors need to measure and require the system's data for decision making as well as when microcontrollers (or other devices)compute and implement control signal processes.The time-delay phenomenon is common in network systems because information(e.g.,plant output and control input)is exchanged via a network among control system components and communication delays inevitably arise.Time delays usually affect the dynamic performance of a system, such as the response time and operation accuracy of the system,and may even lead to system instability.Therefore,considering the effects of time delays and effectively compensating for them will improve the performance of a system.Recently,considerable attention has been paid to the study of time-delay problems based on a continuum backstepping control algorithm for its superiority on stability analysis.The design process mainly comprises three steps.First,the original system is transformed into an ordinary differential equation (ODE)-partial differential equation(PDE)or PDE-PDE cascaded system wherein a first-order hyperbolic transport-PDE is introduced to describe the time-delay phenomenon.Thereafter,the cascaded system is turned into a stable system using a Volterra transformation. Finally,a corresponding time-delay compensated control law is developed based on the proposed Volterra transformation.The algorithm 收稿日期：2021-01-10 基金项目：国家自然科学基金资助项目(U2013201,62003029.62073031):北京科技大学顺德研究生院博士后研究基金资助项目(2020BH006): 北京高校高精尖学科北京科技大学“人工智能科学与工程
基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 马永浩1,2)，张 爽1,2)，何修宇1,2,3) 苣，刘志杰1,2,3) 1) 北京科技大学人工智能研究院，北京 100083 2) 北京科技大学自动化学院，北京 100083 3) 北京科技大学顺德研究生院，佛山 528399 苣通信作者， E-mail: xiuyuhe@ieee.org 摘 要 在实际系统的工作过程中，时滞现象普遍存在，如控制信号的采集与传输、控制器的构建与实施、事件的决策与处 理等. 考虑并有效处理时滞特性的影响有助于提升系统的性能. 基于连续反演算法的时滞补偿控制策略是一种有效的控制 方法且取得很多研究成果. 该时滞补偿控制的主要思路是将具有时滞特性的常微分方程或偏微分方程变换为不具有时滞特 性的常微分方程−偏微分方程/常微分方程−偏微分方程 (ODE−PDE/PDE−PDE) 级联系统. 进一步地，基于变换的级联系统，结 合连续反演算法提出相应的控制策略. 该方法具有系统的稳定性证明简单，鲁棒性强，易于求取闭环系统精确解等优点. 详 细论述了连续反演算法的基本原理，并针对基于连续反演算法的时滞补偿控制算法在处理输入、输出、状态等类型时滞特性 的最新研究进展做简单的阐述和总结. 最后，开放式地论述了时滞系统的未来研究方向. 关键词 时滞系统；输入时滞；输出时滞；连续反演算法；分布参数系统 分类号 TP273.3 A survey of delay compensation and control based on continuum backstepping control algorithms for time-delay systems MA Yong-hao1,2) ，ZHANG Shuang1,2) ，HE Xiu-yu1,2,3) 苣 ，LIU Zhi-jie1,2,3) 1) Institute of Artificial Intelligence, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) School of Automation and Electrical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 3) Shunde Graduate School, University of Science and Technology Beijing, Foshan 528399, China 苣 Corresponding author, E-mail: xiuyuhe@ieee.org ABSTRACT In practical control systems, time delays inevitably occur when sensors need to measure and require the system’s data for decision making as well as when microcontrollers (or other devices) compute and implement control signal processes. The time-delay phenomenon is common in network systems because information (e.g., plant output and control input) is exchanged via a network among control system components and communication delays inevitably arise. Time delays usually affect the dynamic performance of a system, such as the response time and operation accuracy of the system, and may even lead to system instability. Therefore, considering the effects of time delays and effectively compensating for them will improve the performance of a system. Recently, considerable attention has been paid to the study of time-delay problems based on a continuum backstepping control algorithm for its superiority on stability analysis. The design process mainly comprises three steps. First, the original system is transformed into an ordinary differential equation (ODE)–partial differential equation (PDE) or PDE–PDE cascaded system wherein a first-order hyperbolic transport-PDE is introduced to describe the time-delay phenomenon. Thereafter, the cascaded system is turned into a stable system using a Volterra transformation. Finally, a corresponding time-delay compensated control law is developed based on the proposed Volterra transformation. The algorithm 收稿日期: 2021−01−10 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（U2013201，62003029，62073031）；北京科技大学顺德研究生院博士后研究基金资助项目（2020BH006）； 北京高校高精尖学科北京科技大学“人工智能科学与工程” 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期：1−9，2022 年 X 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 44, No. X: 1−9, X 2022 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2021.01.10.002; http://cje.ustb.edu.cn
工程科学学报，第44卷，第X期 based on the continuum backstepping control algorithm is robust,has an inverse optimal control,and exhibits great potential for explicit exact control laws.Moreover,the stability analysis and exact solutions of closed-loop systems are obtained easily.This survey summarizes the basic principle and design procedure of the time-delay compensation method and control law based on the continuum backstepping control algorithm.Further,the recent works of the time-delay compensation control based on this algorithm are introduced for time-delay systems covering the aspects of input,output,and state.Finally,the future works of the time-delay compensation control based on the continuum backstepping control algorithm are discussed. KEY WORDS time-delay systems;input time delay;output time delay;continuum backstepping control;distributed parameter systems 时滞系统，通常称之为具有后效应或停滞时 的不稳定.另外，Smith预估器对时滞参数非常敏 间的系统山相别于一般系统，时滞系统的一个本 感.那么，Smith预估器只适用于非滞后部分稳定 质特征是它的未来发展取决于系统的当前状态和 的输入时滞系统，对非滞后部分不稳定的情形却 过去状态.时滞特性不可避免地存在于许多实际 无能为力.有限频谱配置法首先预估出一个超前 工程中以，例如：电力系统)、网络传输系统、航 的状态（超前量恰好等于输人滞后的时长），然后 天飞行器)、化学反应过程6刀时滞特性产生的主 将得到的超前状态用于反馈，以便补偿输入滞后 要原因是在系统信息获取、传输以及控制决策、 的影响，从而保证闭环系统是有限维的，这个维数 执行等过程所需耗费必要的时间.以常见的反馈 恰好就是原系统的维数，并在此前提下实现全部 控制系统为例，部件的物理结构限制或采集信号 特征值的任意配置.该方法存在一个显著的不足： 和控制信号的长距离传输等因素会导致传感器到 在闭环系统的稳定性分析中，合适的Lyapunov-- 控制终端和控制终端到执行器等通道上存在时滞 Krasovskii函数的选取存在很大的难度，因为整个 现象.而在网络控制系统中，在系统输出、控制输 闭环系统包括有限维的系统状态和无限维的执行 入等信息在系统组件（传感器节点，控制器节点， 器状态.为了克服这一不足，Krstic和Smyshlyaev 执行器节点等)间的交换过程中，通信网络媒介的 研究了具有单输入时滞特性的有限维系统，创新 引入会不可避免地产生滞后现象，导致系统具有 性地引入分布式状态向量u(x,)来描述执行器的状 时滞特性.时滞现象的存在通常会影响系统的动 态，采用一阶双曲型PDEs表示系统中的时滞特 态性能，如系统的响应时间和操作精度，甚至会导 性，将具有时滞特性的原系统映射为不具输入时 致系统的不稳定.Datko等指出任意小的时滞都能 滞特性的ODE-PDE级联系统，并引进连续反演算 导致一维双曲型偏微分方程(Partial differential equations,PDEs)不稳定s-因此，时滞系统的研究 法降低Lyapunov--Krasovskii函数构造的难度2四 本文尝试对基于连续反演算法的时滞补偿控 具有重要的理论意义和实际应用价值，是数学、控 制思路进行简洁的阐述，并针对其近年来的研究 制等领域的热点研究问题之一，针对时滞系统的 成果展开详细的介绍及分析，探讨时滞补偿控制 研究由来已久，并取得了丰硕的研究成果0-14，其 的未来发展方向. 中，在无穷维系统中也具有广泛且深入的研究，如 符号说明：R表示为实数集；R+表示为非负实 波方程和薛定谔方程 数集；R表示为欧几里得空间，其中，为正常数； 目前，常见的时滞补偿控制方法主要有：Smith 预估控制l7-l和有限谱配置法(Finite spectrum Raxb为a×b维实矩阵空间，其中，a和b为正整数； assignment,,FSA)l9-2)等.Smith预估控制通过引 C20,o)表示为函数空间无：R+→R”,其范数定义 入Smith预估器，将时滞部分有效地转移到了闭环 为llL2=6(Pd02;H'(a,b)为绝对连续函数 控制之外，即消除了闭环传递函数的特征方程中 所构成的索伯列夫空间，函数无：[a,b)→R"且 存在的时滞特性，处理后的系统可按常规的控制 f∈C2(a,b):HP(a,b)为绝对连续函数f所构成的索 器设计方法来设计，该方法的优点在于将含有时 伯列夫空间，函数f:[a,b]→R"且f,f∈C2(a,b): 滞特性的设计问题转化为不含时滞特性的设计问 (●)x=a●)/ax,(●)h=d●)/at 题，使问题得到简化.然而，该种方法严重依赖准 1 时滞系统分类 确的数学模型，一旦模型和对象不匹配，Smith预 估器就无法得到理想的性能，甚至可能导致系统 目前，根据时滞特性在系统中出现的不同位
based on the continuum backstepping control algorithm is robust, has an inverse optimal control, and exhibits great potential for explicit exact control laws. Moreover, the stability analysis and exact solutions of closed-loop systems are obtained easily. This survey summarizes the basic principle and design procedure of the time-delay compensation method and control law based on the continuum backstepping control algorithm. Further, the recent works of the time-delay compensation control based on this algorithm are introduced for time-delay systems covering the aspects of input, output, and state. Finally, the future works of the time-delay compensation control based on the continuum backstepping control algorithm are discussed. KEY WORDS time-delay systems； input time delay； output time delay； continuum backstepping control； distributed parameter systems 时滞系统，通常称之为具有后效应或停滞时 间的系统[1] . 相别于一般系统，时滞系统的一个本 质特征是它的未来发展取决于系统的当前状态和 过去状态. 时滞特性不可避免地存在于许多实际 工程中[2] ，例如：电力系统[3]、网络传输系统[4]、航 天飞行器[5]、化学反应过程[6−7] . 时滞特性产生的主 要原因是在系统信息获取、传输以及控制决策、 执行等过程所需耗费必要的时间. 以常见的反馈 控制系统为例，部件的物理结构限制或采集信号 和控制信号的长距离传输等因素会导致传感器到 控制终端和控制终端到执行器等通道上存在时滞 现象. 而在网络控制系统中，在系统输出、控制输 入等信息在系统组件 (传感器节点，控制器节点， 执行器节点等) 间的交换过程中，通信网络媒介的 引入会不可避免地产生滞后现象，导致系统具有 时滞特性. 时滞现象的存在通常会影响系统的动 态性能，如系统的响应时间和操作精度，甚至会导 致系统的不稳定. Datko 等指出任意小的时滞都能 导致一维双曲型偏微分方 程 (Partial differential equations, PDEs) 不稳定[8−9] . 因此，时滞系统的研究 具有重要的理论意义和实际应用价值，是数学、控 制等领域的热点研究问题之一. 针对时滞系统的 研究由来已久，并取得了丰硕的研究成果[10−14] ，其 中，在无穷维系统中也具有广泛且深入的研究，如 波方程[15] 和薛定谔方程[16] . 目前，常见的时滞补偿控制方法主要有：Smith 预估控制 [17−18] 和有限谱配置 法 (Finite spectrum assignment, FSA) [19−21] 等. Smith 预估控制通过引 入 Smith 预估器，将时滞部分有效地转移到了闭环 控制之外，即消除了闭环传递函数的特征方程中 存在的时滞特性，处理后的系统可按常规的控制 器设计方法来设计，该方法的优点在于将含有时 滞特性的设计问题转化为不含时滞特性的设计问 题，使问题得到简化. 然而，该种方法严重依赖准 确的数学模型，一旦模型和对象不匹配，Smith 预 估器就无法得到理想的性能，甚至可能导致系统 u(x,t) 的不稳定. 另外，Smith 预估器对时滞参数非常敏 感. 那么，Smith 预估器只适用于非滞后部分稳定 的输入时滞系统，对非滞后部分不稳定的情形却 无能为力. 有限频谱配置法首先预估出一个超前 的状态（超前量恰好等于输入滞后的时长），然后 将得到的超前状态用于反馈，以便补偿输入滞后 的影响，从而保证闭环系统是有限维的，这个维数 恰好就是原系统的维数，并在此前提下实现全部 特征值的任意配置. 该方法存在一个显著的不足： 在闭环系统的稳定性分析中，合适的 Lyapunov− Krasovskii 函数的选取存在很大的难度，因为整个 闭环系统包括有限维的系统状态和无限维的执行 器状态. 为了克服这一不足，Krstic 和 Smyshlyaev 研究了具有单输入时滞特性的有限维系统，创新 性地引入分布式状态向量 来描述执行器的状 态，采用一阶双曲型 PDEs 表示系统中的时滞特 性，将具有时滞特性的原系统映射为不具输入时 滞特性的 ODE−PDE 级联系统，并引进连续反演算 法降低 Lyapunov−Krasovskii 函数构造的难度[22] . 本文尝试对基于连续反演算法的时滞补偿控 制思路进行简洁的阐述，并针对其近年来的研究 成果展开详细的介绍及分析，探讨时滞补偿控制 的未来发展方向. R R+ R n n R a×b a×b a b L2[0,∞) fe : R+ → R n ∥fe∥L2 = [ ∫ ∞ 0 | fe(θ)| 2 dθ ] 1 2 H1 (a,b) fe fe : [a,b] → R n f ′ e ∈ L2(a,b) H2 (a,b) fe fe : [a,b] → R n f ′ e , f ′′ e ∈ L2(a,b) (•)x = ∂(•)/∂x,(•)t = ∂(•)/∂t 符号说明： 表示为实数集； 表示为非负实 数集； 表示为欧几里得空间，其中，为 正常数； 为 维实矩阵空间，其中， 和 为正整数； 表示为函数空间 ，其范数定义 为 ； 为绝对连续函数 所构成的索伯列夫空间 ，函数 且 ； 为绝对连续函数 所构成的索 伯列夫空间 ，函数 且 ； . 1 时滞系统分类 目前，根据时滞特性在系统中出现的不同位 · 2 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期
马永浩等：基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 3 置，时滞系统主要可分为输人时滞系统、输出时滞 dx(t) dr =AX(t)+F(t) 系统、状态时滞系统等.下面将简要介绍这三类 (5) u(x,t)=ux(x,t) 时滞系统 u(D,1)=U(t) 输人时滞系统 其中，u(x,t0=u(x,t)/ax,u,(x,t)=(,t)/t,F)为 具有输入时滞特性的有限维系统通常如式(1) 所示2] 不同输人时滞所求得的对应函数向量 输出时滞系统 dX()=AX()+BU(t-).X(O)=Xo (1) dr 具有定常输出时滞的有限维系统一般可表示 其中，X∈R“表示系统的状态向量，1表示时间变 为式(6)P1 量，A∈Rxa为系统矩阵，BeRb为系统的控制矩 dx(t) =AX(t)+BU(t).X(0)=Xo dt (6) 阵，a和b为正常数.p表示系统时滞的大小，若 Y(t)=CX(t-D) P=D,D为大于0的常数，系统为具有定常离散输 其中，Y为输出矢量，C为输出矩阵 入时滞特性的时滞系统.若p=d(),d(t)为大于0的 相应地，具有定常输出时滞的无限维系统可 函数，系统则为具有时变离散输入时滞特性的时 以表示为 滞系统.U为控制矢量.U=h(0,0∈(-g,0),h为 dXin(t) 历史函数向量，X是有限维系统的初始状态 dt AinXin(f)+BinUin(t).Xin(0)=Xino (7) 而具有输入时滞特性的无限维系统通常如式 Yin(t)=CinXin(t-D) (2)所示 其中，Yn和Cn分别为定义在观测空间H,的函数向 dXin(t) 量和观测算子 dt AinXin(t)+BinUin(t-),Xin(0)=Xino (2) 以具有定常输出时滞特征的有限维系统为 其中，Xm表示系统的状态向量，Um为无限维系统 例，采用与第1.1节相同的方法，通过引入分布式 的控制矢量，An为定义在状态空间H上的系统算 状态向量u(x,t)描述系统的输出时滞特性，得到不 子，Bm为定义在控制空间H上的控制算子，系统状 具有输出时滞特性的ODE-PDE级联系统如式 态空间H和控制空间Hu均为希尔伯特空间.Xno (8)所示： 是无限维系统的初始状态.无限维系统的表示方 dx(t) 式可以直接从有限维系统类比得到，故下文不再 =AX(t) dt 特别地阐述无限维系统的表示方式 u(x,t)=ux(x,t) (8) 当系统为多个输入系统时，相应的多输入定 u(①，t)=CX(t) 常时滞系统如式(3)所示24： u(0,t)=Y(t) XO=AX()+BUA(-D).X(O)=Xo (3) 状态时滞系统 dt 具有定常状态时滞特性的有限维系统一般可 用式(9)表示P 其中，B:E Raxb为每个输入通道中系统的控制矩阵， dx(t) 每个输入通道U:都具有相应的定常时滞大小 dr =AX(t)+A2X(t-D)+BU(t).X(0)=Xo (9) D,>0,i=1,…,m,m为正整数.特别地，针对带分 其中，A1和A2为不同的系统矩阵 布式输入定常时滞的时滞系统可表示式(4)2 相应地，具有定常状态时滞特性的无限维系 dK0=AX0+Bais(SUas(t--6d6,K0)=X（4） 统一般可以用式(10)表示 drt 其中，6是分布式时滞变量，它的取值范围是[0，D吵 dX-Ai1Xi()+Aim2Xin(-D)+BnUn().Xin(O)=Xin0 dt Bs:[0,D]→Raxh为分段连续函数矩阵；Us为分布 (10) 式控制矢量 其中，Anl和Ain2定义在状态空间Hs的系统算子 以具有定常输入时滞特征的有限维系统为 通常情况下，状态时滞系统仅部分状态量存 例，为处理系统中的输入时滞特性，通过引入分布 在时滞现象.特别地，针对具有部分状态时滞特性 式状态向量(x,t)描述系统的输入时滞特性，得到 的系统，可直接在原系统上应用连续反演算法，而 不具有输入时滞特性的ODE-PDE级联系统，其一 不需要采用双曲型PDE描述系统中的状态时滞 般形式如式(5)所示： 特性
置，时滞系统主要可分为输入时滞系统、输出时滞 系统、状态时滞系统等. 下面将简要介绍这三类 时滞系统. 输入时滞系统 具有输入时滞特性的有限维系统通常如式（1） 所示[23] dX(t) dt = AX(t)+ BU(t−φ),X(0) = X0 （1） X ∈ R a A ∈ R a×a B ∈ R a×b a b φ φ = D D φ = d(t) d(t) U(θ) = h(θ), θ ∈ (−φ,0) h 其中， 表示系统的状态向量，t 表示时间变 量，， 为系统矩阵， 为系统的控制矩 阵 ， 和 为正常数. 表示系统时滞的大小 ，若 ， 为大于 0 的常数，系统为具有定常离散输 入时滞特性的时滞系统. 若 ， 为大于 0 的 函数，系统则为具有时变离散输入时滞特性的时 滞系统. U 为控制矢量. ， 为 历史函数向量，X0 是有限维系统的初始状态. 而具有输入时滞特性的无限维系统通常如式 (2) 所示 dXin(t) dt = AinXin(t)+ BinUin(t−φ),Xin(0) = Xin0 （2） Xin Uin Ain Hs Bin Hu Hs Hu Xin0 其中， 表示系统的状态向量， 为无限维系统 的控制矢量. 为定义在状态空间 上的系统算 子， 为定义在控制空间 上的控制算子，系统状 态空间 和控制空间 均为希尔伯特空间. 是无限维系统的初始状态. 无限维系统的表示方 式可以直接从有限维系统类比得到，故下文不再 特别地阐述无限维系统的表示方式. 当系统为多个输入系统时，相应的多输入定 常时滞系统如式（3）所示[24] ： dX(t) dt = AX(t)+ ∑m i=1 BiUi(t−Di),X(0) = X0 （3） Bi ∈ R a×b Ui Di > 0,i = 1,··· ,m 其中， 为每个输入通道中系统的控制矩阵， 每个输入通道 都具有相应的定常时滞大小 ，m 为正整数. 特别地，针对带分 布式输入定常时滞的时滞系统可表示式（4） [25] dX(t) dt = AX(t)+∫ D 0 Bdis(δ)Udis(t−δ)dδ,X(0) = X0（4） δ [0,D] Bdis : [0,D] → R a×b Udis 其中， 是分布式时滞变量，它的取值范围是 ; 为分段连续函数矩阵； 为分布 式控制矢量. u(x,t) 以具有定常输入时滞特征的有限维系统为 例，为处理系统中的输入时滞特性，通过引入分布 式状态向量 描述系统的输入时滞特性，得到 不具有输入时滞特性的 ODE−PDE 级联系统，其一 般形式如式 (5) 所示： dX(t) dt = AX(t)+ F(t) ut(x,t) = ux(x,t) u(D,t) = U(t) （5） 其中 ， ux(x,t) = ∂u(x,t)/∂x,ut(x,t) = ∂u(x,t)/∂t ; F(t) 为 不同输入时滞所求得的对应函数向量. 输出时滞系统 具有定常输出时滞的有限维系统一般可表示 为式 (6)[26] dX(t) dt = AX(t)+BU(t),X(0) = X0 Y(t) = CX(t−D) （6） 其中， Y 为输出矢量， C 为输出矩阵. 相应地，具有定常输出时滞的无限维系统可 以表示为 dXin(t) dt = AinXin(t)+ BinUin(t),Xin(0) = Xin0 Yin(t) = CinXin(t−D) （7） 其中， Yin 和 Cin 分别为定义在观测空间 Hy 的函数向 量和观测算子. u(x,t) 以具有定常输出时滞特征的有限维系统为 例，采用与第 1.1 节相同的方法，通过引入分布式 状态向量 描述系统的输出时滞特性，得到不 具有输出时滞特性 的 ODE−PDE 级联系统如 式 (8) 所示： dX(t) dt = AX(t) ut(x,t) = ux(x,t) u(D,t) = CX(t) u(0,t) = Y(t) （8） 状态时滞系统 具有定常状态时滞特性的有限维系统一般可 用式 (9) 表示[27] dX(t) dt = A1X(t)+ A2X(t− D)+ BU(t),X(0) = X0 （9） 其中， A1 和 A2 为不同的系统矩阵. 相应地，具有定常状态时滞特性的无限维系 统一般可以用式 (10) 表示 dXin(t) dt =Ain1Xin(t)+Ain2Xin(t−D)+BinUin(t),Xin(0)=Xin0 （10） 其中， Ain1 和 Ain2 定义在状态空间 Hs的系统算子. 通常情况下，状态时滞系统仅部分状态量存 在时滞现象. 特别地，针对具有部分状态时滞特性 的系统，可直接在原系统上应用连续反演算法，而 不需要采用双曲型 PDE 描述系统中的状态时滞 特性. 马永浩等： 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 · 3 ·
工程科学学报，第44卷，第X期 2基于连续反演算法的时滞补偿控制方法 变换，得到相对应的时滞补偿控制律 概述 3 面向输入时滞的基于反演法的时滞补偿 在文献[28]中，Smyshlyaev和Krstic提出了面 控制 向PDEs的反演法.该方法是针对PDE系统构造 由于系统控制决策的创建和执行通常需要一 边界控制器和观测器的特定工具29-3川，在处理ODE 定的处理时间和响应时间，时滞特性在实际系统 系统和PDE系统的时滞补偿特性时都具有它的独 的输入部分非常常见.近年来，基于连续反演算法 特优势.以有限维系统为例，基于连续反演算法的 的时滞补偿控制方法在处理时滞系统的已知和未 时滞补偿控制方法的主要步骤如下： 知输入时滞特性过程中，取得了良好的时滞补偿 步骤一 效果和控制效果2-3刘 引入分布式状态向量描述时滞特性可获得 3.1面向时滞大小已知的时滞补偿控制 ODE-PDE级联系统，如系统（⑤）和(8).针对ODE- 针对输入时滞已知的情况，Krstic与Smyshlyaev PDE级联系统，通过增加或移除特定的附加项后 首次将连续反演算法应用于具有单输入时滞特性 得到期望的稳定目标系统.具有输入时滞或输出 的ODE系统.文中结合李雅普诺夫直接法提出了 时滞特性的目标系统表达式如式(11)所示： 具有指数稳定性的目标系统，通过构造合适的反 dX()=Ax()+Bw(0.1) 演变换函数和逆变换函数证明原闭环系统的稳定 dt (11) 性四基于上文的研究，Krstic进一步分析了系统 wi(x,t)=wx(x,t) w(D,t)=0 初始值对系统稳定性的影响，并提出了具有逆 其中，和w是目标系统的状态向量和分布式状态 最优特性的预测反馈控制律.不同于已有研究 向量：A和B分别是目标系统的系统矩阵和控制矩 结果2)，上文在控制设计中构造了一个低通滤波 阵，wx(,t)=w(x,t)/ax,w(x,t)=w(x,t)/at 器，该控制律能够保证小时滞非匹配(Delay 步骤二 mismatch)情况下系统的指数稳定性，提升了系统 构造合适的反演变换（即Volterra映射），将原 的鲁棒性.特别地，针对具有时变输人时滞特性 系统映射为稳定的目标系统.反演变换函数的一 的ODE系统，即o=d(t).所引入的一阶双曲型PDE 般表达形式如式(12)所示： 方程也具有时变特性，其对应反演变换函数的核 w(x.t)=u(x.)-[k(x.y)u(x.y)dy 函数也是时变的.因此，证明闭环系统的稳定性时 (12) 也需要构造时变的李雅普诺夫函数7 其中，w(x,)为目标系统的状态向量，(x,)为原系 Tsubakino等面向具有多输入时滞特性的ODE 统的状态向量，k(x,)为将(x,t)变换为w(x,t)的待解 系统，针对每个输入U;具有不同时滞大小D,需对 核函数向量.基于原系统和目标系统，并结合构造 应引入具有不同空间域的描述时滞特性的一阶双 的反演变换函数获得关于待解核函数的偏微分方 曲型PDE方程.进一步，文中针对获得的ODE-PDE 程组.进一步地，基于待解核函数的偏微分方程 级联系统构造了面向PDEs的类反演变换函数 组，采用变量代换方法和迭代求解积分方程方式， (Backstepping--like transformation),并分析了系统的稳 求解得到待解核函数的具体表达式， 定性3]Bekiaris-Liberis和Krstic针对具有多输入分 步骤三 布式时滞的ODE系统，引入了面向PDEs的前馈- 构造反演变换的逆变换，基于目标函数的稳 反演变换(Forwarding--backstepping transformation), 定性证明原系统的稳定性.反演变换的逆变换函 将原系统变换为期望的稳定目标系统，并结合二 数的一般表达形式如式(13)所示： 次型李雅普诺夫泛函证明了目标系统的指数稳定 a0=wc)-cm,冲 性：通过求解变换过程中变换函数和逆变换函数 (13) 证明原系统的稳定性B啊在文献[40-42]中，作者 其中，l(x,)为将w(x,t)变换为u(x,)的待解核函数向 进一步针对具有时变单输入时滞线性系统、定常 量.采用与步骤二同样的求解方法可得到核函数 多输入时滞线性系统和定常单输入时滞非线性系 向量的具体表达式 统研究了系统的逆最优特性 步骤四 Krstic针对具有输入时滞特性的反应-扩散 利用级联系统与目标系统的边界条件和反演 PDEs系统，利用变量代换将具有时滞特性的原
2 基于连续反演算法的时滞补偿控制方法 概述 在文献 [28] 中，Smyshlyaev 和 Krstic 提出了面 向 PDEs 的反演法. 该方法是针对 PDE 系统构造 边界控制器和观测器的特定工具[29−31] ，在处理 ODE 系统和 PDE 系统的时滞补偿特性时都具有它的独 特优势. 以有限维系统为例，基于连续反演算法的 时滞补偿控制方法的主要步骤如下： 步骤一 引入分布式状态向量描述时滞特性可获得 ODE−PDE 级联系统，如系统 (5) 和 (8). 针对 ODE− PDE 级联系统，通过增加或移除特定的附加项后 得到期望的稳定目标系统. 具有输入时滞或输出 时滞特性的目标系统表达式如式 (11) 所示： dX˜(t) dt = A˜X˜(t)+ Bw˜ (0,t) wt(x,t) = wx(x,t) w(D,t) = 0 （11） X˜ w A˜ B˜ wx(x,t) = ∂w(x,t)/∂x,wt(x,t) = ∂w(x,t)/∂t 其中， 和 是目标系统的状态向量和分布式状态 向量； 和 分别是目标系统的系统矩阵和控制矩 阵， . 步骤二 构造合适的反演变换（即 Volterra 映射），将原 系统映射为稳定的目标系统. 反演变换函数的一 般表达形式如式 (12) 所示： w(x,t) = u(x,t)− w x 0 k(x, y)u(x, y)dy （12） w(x,t) u(x,t) k(x,t) u(x,t) w(x,t) 其中， 为目标系统的状态向量， 为原系 统的状态向量， 为将 变换为 的待解 核函数向量. 基于原系统和目标系统，并结合构造 的反演变换函数获得关于待解核函数的偏微分方 程组. 进一步地，基于待解核函数的偏微分方程 组，采用变量代换方法和迭代求解积分方程方式， 求解得到待解核函数的具体表达式. 步骤三 构造反演变换的逆变换，基于目标函数的稳 定性证明原系统的稳定性. 反演变换的逆变换函 数的一般表达形式如式 (13) 所示： u(x,t) = w(x,t)− w x 0 l(x, y)w(x, y)dy （13） 其中， l(x,t) 为将 w(x,t) 变换为 u(x,t) 的待解核函数向 量. 采用与步骤二同样的求解方法可得到核函数 向量的具体表达式. 步骤四 利用级联系统与目标系统的边界条件和反演 变换，得到相对应的时滞补偿控制律. 3 面向输入时滞的基于反演法的时滞补偿 控制 由于系统控制决策的创建和执行通常需要一 定的处理时间和响应时间，时滞特性在实际系统 的输入部分非常常见. 近年来，基于连续反演算法 的时滞补偿控制方法在处理时滞系统的已知和未 知输入时滞特性过程中，取得了良好的时滞补偿 效果和控制效果[32−34] . 3.1 面向时滞大小已知的时滞补偿控制 φ = d(t) 针对输入时滞已知的情况，Krstic 与 Smyshlyaev 首次将连续反演算法应用于具有单输入时滞特性 的 ODE 系统. 文中结合李雅普诺夫直接法提出了 具有指数稳定性的目标系统，通过构造合适的反 演变换函数和逆变换函数证明原闭环系统的稳定 性[22] . 基于上文的研究，Krstic 进一步分析了系统 初始值对系统稳定性的影响[35] ，并提出了具有逆 最优特性的预测反馈控制律[36] . 不同于已有研究 结果[23] ，上文在控制设计中构造了一个低通滤波 器 ， 该 控 制 律 能 够 保 证 小 时 滞 非 匹 配 (Delay mismatch) 情况下系统的指数稳定性，提升了系统 的鲁棒性. 特别地，针对具有时变输入时滞特性 的 ODE 系统，即 ，所引入的一阶双曲型 PDE 方程也具有时变特性，其对应反演变换函数的核 函数也是时变的. 因此，证明闭环系统的稳定性时 也需要构造时变的李雅普诺夫函数[37] . Ui Di Tsubakino 等面向具有多输入时滞特性的 ODE 系统，针对每个输入 具有不同时滞大小 ，需对 应引入具有不同空间域的描述时滞特性的一阶双 曲型 PDE 方程. 进一步，文中针对获得的 ODE−PDE 级联系统构造了面 向 PDEs 的类反演变换函 数 (Backstepping-like transformation)，并分析了系统的稳 定性[38] . Bekiaris-Liberis 和 Krstic 针对具有多输入分 布式时滞的 ODE 系统，引入了面向 PDEs 的前馈− 反演变换 (Forwarding−backstepping transformation)， 将原系统变换为期望的稳定目标系统，并结合二 次型李雅普诺夫泛函证明了目标系统的指数稳定 性；通过求解变换过程中变换函数和逆变换函数 证明原系统的稳定性[39] . 在文献 [40−42] 中, 作者 进一步针对具有时变单输入时滞线性系统、定常 多输入时滞线性系统和定常单输入时滞非线性系 统研究了系统的逆最优特性. Krstic 针对具有输入时滞特性的反应−扩散 PDEs 系统，利用变量代换将具有时滞特性的原 · 4 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期
马永浩等：基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 5 PDEs系统映射为不具有时滞特性的PDE-PDE级 w(x,t)=Dw(x,t) 联系统.文中结合反演法设计了时滞补偿反馈控 w(0,)=Ut-D) (14) w(D,t)=U(t) 制，并给出了闭环系统精确的解析解)Gu和 Wang在文献[43]的基础上进一步考虑了输出跟 线性化的最大优点在于易于获得估测值D,从 踪问题，利用连续反演算法，可以将PDE-PDE级 而便于后续自适应控制设计.具体地，该文所提出 联系统映射为目标误差系统，该目标系统是以规 自适应控制律如式(15)所示： 定的速率指数收敛，在映射过程中可以得到对应 ()KeADOX(t)+KD eBu(y,)dy (1 的状态反馈控制器.Q1等将时滞补偿控制方法 其中，K是具有相应维数的正定矩阵.该正定矩阵 进一步拓展到具有输入时滞特性域内分布式控制 器的反应-扩散PDE系统.Liu等指出，文献[22] 需保证A+BK为赫维茨(Hurwitz)矩阵.进一步地， 采用李雅普诺夫直接法证明了该闭环系统的全局 所提出的时滞补偿控制不适用于无穷维系统，因 指数稳定性.在该论文中，假定系统状态X()和执 为当系统为无穷维时，算子Bm为无界算子6即使 控制输入Um属于控制空间H如，经过算子Bm的作 行器分布式状态向量w(x,)均可测量，但是w(x,)的 用，也可能不在状态空间H里.针对该问题，Lu等 测量存在很大的困难，在D未知的情况下，无法通 提出了一种新的可逆反演变换，利用伴随理论得 过变换w(x,)=Ut+Dx-1)得到w(x,).针对未知 到所对应的时滞补偿控制律，使得具有输入时滞 时滞大小的时滞系统，Bresch-Pietri和Krstic引入 的无限维系统稳定，此外，作者将历史函数向量 了D的估计量，即w(x,t)=Ut+Dx-1)来解决该系 h的约束条件从文献[43]中的h∈H(-D,0:Hu)扩 统的稳定性问题.然而，该控制方法仅能保证闭环 系统的局部稳定性，而非全局稳定性s]Zhu等结 展到h∈2(-D,O:Hu).Krstic研究了具有输入时滞特 性和抗阻尼效应弦系统的时滞补偿控制阿.不同 合自适应反演输出反馈控制和边界控制方法来解 于反应一扩散PDE方程，弦系统的最高阶导数为 决了具有未知输入时滞，未知系统参数以及部分 2阶，描述系统时滞特性的分布式状态量m(x,t)属 状态未知的不确定单输入单输出线性ODE系统 于HP空间.针对弦PDE系统的时滞补偿控制设计 的精确轨迹跟踪问题5网在该文献中，通过引入自 则具有很大的挑战性 适应增益调节自适应更新率解决参数估计误差的 上述文章中提出的控制策略都是边界控制，与 问题，从而保证级联系统的稳定.然而，上述方法 分布式控制比较具有一定的优势，如工程上较易 难以处理不可测的ODE动力学部分以及未知的 实现.然而，针对时滞分布参数系统，由于边界控 控制系数.此外，该方法也仅能处理相对度等于其 制器的设计需要系统过去时刻的状态量，属于无 原系统维度的线性系统的全局稳定性 穷维控制器，在实际系统中实现具有一定的难度. Zhu等同样地引入w(x,t)的估计量将自适应时滞 3.2面向时滞大小未知的时滞补偿控制 控制方法拓展到了多输入系统，然而也仅能保证 上述文献中针对系统中时滞失配的问题，提 该系统的局部稳定性.该论文在理论证明过程中， 出了具有逆最优特性的时滞补偿控制方法，然而 严格地限定了每个输入通道的时滞大小：假设有m 仅考虑了系统中小时滞失配的情况.在很多实际 个输入通道，即0D-的情况下，仍能保证D,收敛于真实 确定时滞系统的未知时滞补偿控制方面取得了较 的Di 为丰硕的研究成果8-列 不同于处理离散输入时滞特性，处理分布式 Krstic和Bresch-Pietri针对具有未知输入时滞 输入时滞特性的难点在于：分布式控制矩阵B可 的不稳定ODE系统，首次提出了基于全状态反馈 能包含未知函数或未知参数.为解决输入时滞特 的自适应时滞补偿控制方法四不同于处理时滞 性和分布式控制矩阵的不确定性，文献[56]结合 大小已知的情况，该论文结合转换函数w(x,)= 基于参数减少的参数变换(Reduction-based change Ut+D(x-1)将原系统转换为ODE-PDE级联系 of variable)和前馈反演变换方法求得对应的目标 统.该转变函数有利于获得与定常时滞大小D相关 系统，控制率和更新率，以及针对该系统提出相应 的线性PDE方程，具体的表达形式如式(14)所示： 的自适应控制
Bin Uin Hu Bin Hs h h ∈ H1 (−D,0;Hu) h ∈ 2(−D,0;Hu) uin(x,t) H2 PDEs 系统映射为不具有时滞特性的 PDE−PDE 级 联系统. 文中结合反演法设计了时滞补偿反馈控 制 ，并给出了闭环系统精确的解析解[43] . Gu 和 Wang 在文献 [43] 的基础上进一步考虑了输出跟 踪问题，利用连续反演算法，可以将 PDE−PDE 级 联系统映射为目标误差系统，该目标系统是以规 定的速率指数收敛，在映射过程中可以得到对应 的状态反馈控制器[44] . Qi 等将时滞补偿控制方法 进一步拓展到具有输入时滞特性域内分布式控制 器的反应−扩散 PDE 系统[45] . Liu 等指出，文献 [22] 所提出的时滞补偿控制不适用于无穷维系统，因 为当系统为无穷维时，算子 为无界算子[46] . 即使 控制输入 属于控制空间 ，经过算子 的作 用，也可能不在状态空间 里. 针对该问题，Liu 等 提出了一种新的可逆反演变换，利用伴随理论得 到所对应的时滞补偿控制律，使得具有输入时滞 的无限维系统稳定. 此外，作者将历史函数向量 的约束条件从文献 [43] 中的 扩 展到 . Krstic 研究了具有输入时滞特 性和抗阻尼效应弦系统的时滞补偿控制[47] . 不同 于反应—扩散 PDE 方程，弦系统的最高阶导数为 2 阶，描述系统时滞特性的分布式状态量 属 于 空间. 针对弦 PDE 系统的时滞补偿控制设计 则具有很大的挑战性. 上述文章中提出的控制策略都是边界控制，与 分布式控制比较具有一定的优势，如工程上较易 实现. 然而，针对时滞分布参数系统，由于边界控 制器的设计需要系统过去时刻的状态量，属于无 穷维控制器，在实际系统中实现具有一定的难度. 3.2 面向时滞大小未知的时滞补偿控制 上述文献中针对系统中时滞失配的问题，提 出了具有逆最优特性的时滞补偿控制方法，然而 仅考虑了系统中小时滞失配的情况. 在很多实际 系统中时滞特性的精确值是难以获得的，针对未 知时滞大小系统的时滞补偿控制是亟需解决的问 题. 近年来，将连续反演法与自适应相结合，在不 确定时滞系统的未知时滞补偿控制方面取得了较 为丰硕的研究成果[48−51] . w(x,t) = U(t+ D(x−1)) D Krstic 和 Bresch-Pietri 针对具有未知输入时滞 的不稳定 ODE 系统，首次提出了基于全状态反馈 的自适应时滞补偿控制方法[52] . 不同于处理时滞 大小已知的情况 ，该论文结合转换函数 将原系统转换 为 ODE−PDE 级联系 统. 该转变函数有利于获得与定常时滞大小 相关 的线性 PDE 方程，具体的表达形式如式 (14) 所示： wt(x,t) = Dwx(x,t) w(0,t) = U(t− D) w(D,t) = U(t) （14） 线性化的最大优点在于易于获得估测值 Dˆ ，从 而便于后续自适应控制设计. 具体地，该文所提出 自适应控制律如式 (15) 所示： U(t) = Ke ADˆ(t)X(t)+ KD w 1 0 e ADˆ(t)(1−y)Bu(y,t)dy（15） K A+ BK X(t) w(x,t) w(x,t) D w(x,t) = U(t+ D(x−1)) w(x,t) D w(x,t) = U(t+ Dˆ(x−1)) 其中， 是具有相应维数的正定矩阵. 该正定矩阵 需保证 为赫维茨 (Hurwitz) 矩阵. 进一步地， 采用李雅普诺夫直接法证明了该闭环系统的全局 指数稳定性. 在该论文中，假定系统状态 和执 行器分布式状态向量 均可测量，但是 的 测量存在很大的困难，在 未知的情况下，无法通 过变换 得到 . 针对未知 时滞大小的时滞系统，Bresch-Pietri 和 Krstic 引入 了 的估计量，即 来解决该系 统的稳定性问题. 然而，该控制方法仅能保证闭环 系统的局部稳定性，而非全局稳定性[53] . Zhu 等结 合自适应反演输出反馈控制和边界控制方法来解 决了具有未知输入时滞，未知系统参数以及部分 状态未知的不确定单输入单输出线性 ODE 系统 的精确轨迹跟踪问题[54] . 在该文献中，通过引入自 适应增益调节自适应更新率解决参数估计误差的 问题，从而保证级联系统的稳定. 然而，上述方法 难以处理不可测的 ODE 动力学部分以及未知的 控制系数. 此外，该方法也仅能处理相对度等于其 原系统维度的线性系统的全局稳定性. wi(x,t) m 0 Di−1 Dˆ i Di Zhu 等同样地引入 的估计量将自适应时滞 控制方法拓展到了多输入系统，然而也仅能保证 该系统的局部稳定性. 该论文在理论证明过程中， 严格地限定了每个输入通道的时滞大小：假设有 个输入通道，即 ， 其中， 和 表示第 个输入通道时滞大小 的下 上界[55] . 此外，该论文提出了一种转换机制，使得 系统在 的情况下，仍能保证 收敛于真实 的 . Bd 不同于处理离散输入时滞特性，处理分布式 输入时滞特性的难点在于：分布式控制矩阵 可 能包含未知函数或未知参数. 为解决输入时滞特 性和分布式控制矩阵的不确定性，文献 [56] 结合 基于参数减少的参数变换 (Reduction-based change of variable) 和前馈反演变换方法求得对应的目标 系统，控制率和更新率，以及针对该系统提出相应 的自适应控制. 马永浩等： 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 · 5 ·
工程科学学报，第44卷，第X期 4面向输出时滞的基于反演法的时滞补偿 出延时中D/m秒内系统的状态量.Ahmed-AIi等结 控制 合链式观测器与类反演变换方法提出了基于PDEs 的新型观测器，有效解决了具有任意大输出时滞非 输出时滞是输入、输出、状态三类时滞特性中 线性定常系统的状态估计问题和稳定性问题的 较为容易处理的一种时滞特性.处理该时滞的总 体思路是通过构造合适的观测器获得当前时刻系 5 面向状态时滞系统的基于反演法的时滞 统状态的近似值，以证明误差系统是收敛的 补偿控制 Krstic和Smyshlyaev面向具有定常输出时滞特性 Hashimoto等首次将连续反演算法应用于具有 的ODE系统，通过参数变换求得ODE-PDE级联 部分状态时滞特性的反应-扩散方程中28不同于 系统，并提出了一种新型观测器来估计原系统的 处理输入、输出时滞特性，处理部分状态时滞特 未知状态量四，如式(16)所示： 性，不需要采用一阶双曲型PDE方程来描述状态 (()=AR()+eADL(Y(t)-i(0.1)) 时滞特性，而是直接采用Volterra映射将原系统变 ir(x.t)=ix(x.t)+CeADL(Y(t)-i(0.1)) (16) 换为期望的目标系统.进一步地，该论文采用了半群 i(D,t)=CX(t) 理论和Lyapunov--Razumikhin来分析目标系统的 其中，L为观测器的控制增益 稳定性.Kang和Fridman采用连续反演算法来处 结合实际系统和观测器所得的误差系统，进 理具有部分状态时滞特性的带Neumann-Dirichlet 一步利用反演变换方法将误差系统映射为预设的 边界条件的反应-扩散方程6的.该论文还同时考虑 稳定目标系统，从而分析构造观测器对实际系统 了输入饱和特性，并利用Halanay不等式和Lyapunov 的精确跟踪性能.与传统的仅估计系统状态的输 直接法来证明了闭环系统的指数稳定性，给出了 出时滞补偿观测器57-5相比，该文所设计的观测 原系统吸引域的精确界值，进一步给出了保证目 器是一个全状态观测器，不仅估计系统状态，还估计 标系统稳定的LMI(Linear matrix inequality,线性矩 传感器状态.Sanz等将该观测器的设计思路拓展到 阵不等式)条件，该条件是与时滞大小相关的.Kang 具有输出时变时滞特性的线性时变系统的时滞补 和Fridman面向具有状态时滞特性的线性s7和非 偿控制研究中s9.Wang等面向具有时变输出时滞 线性6]薛定谔方程，采用连续反演算法提出了相 特性的矿用电缆升降机系统，设计了一个全状态观 应的边界约束时滞补偿控制律 测器，并结合连续反演算法获取了PDE-ODE-PDE 级联系统6o]特别地，该论文采用两次反演变换所 6未来发展趋势 得到的描述目标系统特性的PDEs均为一阶双曲 总体而言，基于连续反演算法的时滞补偿控 型类型，并保证了时滞状态PDEs和ODE之间的 制方法证明简单，易于获得闭环系统精确解等.然 相互耦合关系转变为级联关系.文献[61]研究了 而，相关的研究主要集中在ODE系统，PDE系统 具有定常输出时滞ODE-PDE-ODE双曲型系统， 的相关研究还是很少，特别是时滞大小未知的研 利用末端ODE系统具有时滞的输出状态构造一 究，如表1所示.连续反演算法的时滞补偿控制方 个全状态观测器，进一步利用频域分析法和连续 法仍然存有很多问题有待进一步的研究： 反演算法设计基于观测器的输出反馈控制策略 (1)目前，针对时滞特性的研究主要集中于解 在该控制策略下，系统指数收敛.Pinto等结合连 决某种单一的输入时滞、输出时滞以及状态时滞 续反演算法与滑模控制，解决了具有时变输出时 特性.然而针对两种或三种时滞耦合的研究很少 滞特性和未知外界扰动的线性时滞系统的稳定性 因此，针对多种时滞特性同时存在的时滞补偿控 问题62 制设计也有待进一步研究.多种非线性特性同时 然而，文献22]和[59]所设计的观测器存在 存在的相关研究6能够给该方面的研究提供一点 一个明显的缺点：无法处理充分大的输出时滞特 启示 性.为了有效解决输出时滞系统中的大时滞问题， (2)基于反演法的自适应时滞补偿控制研究主 文献[63-64提出了一种新的观测器，即链式观测 要集中在ODE系统，然而针对PDE系统的自适应 器.链式观测器的总体思路为：设定大输出延时 时滞补偿控制仍处于空白阶段.基于连续反演法 为D秒，则链式观测器构造了m个子观测器，其 针对时滞大小未知的PDE时滞系统的自适应时滞 中，每个子观测器包含一个预测器来预测总大输 补偿控制研究是未来发展的重要方向之一.ODE
4 面向输出时滞的基于反演法的时滞补偿 控制 输出时滞是输入、输出、状态三类时滞特性中 较为容易处理的一种时滞特性. 处理该时滞的总 体思路是通过构造合适的观测器获得当前时刻系 统状态的近似值 ，以证明误差系统是收敛的 . Krstic 和 Smyshlyaev 面向具有定常输出时滞特性 的 ODE 系统，通过参数变换求得 ODE−PDE 级联 系统，并提出了一种新型观测器来估计原系统的 未知状态量[22] ，如式 (16) 所示： Xˆ(t) = AXˆ(t)+e ADL(Y(t)−uˆ(0,t)) uˆt(x,t) = uˆ x(x,t)+Ce ADL(Y(t)−uˆ(0,t)) uˆ(D,t) = CX(t) （16） 其中， L 为观测器的控制增益. 结合实际系统和观测器所得的误差系统，进 一步利用反演变换方法将误差系统映射为预设的 稳定目标系统，从而分析构造观测器对实际系统 的精确跟踪性能. 与传统的仅估计系统状态的输 出时滞补偿观测器[57−58] 相比，该文所设计的观测 器是一个全状态观测器，不仅估计系统状态，还估计 传感器状态. Sanz 等将该观测器的设计思路拓展到 具有输出时变时滞特性的线性时变系统的时滞补 偿控制研究中[59] . Wang 等面向具有时变输出时滞 特性的矿用电缆升降机系统，设计了一个全状态观 测器，并结合连续反演算法获取了 PDE−ODE−PDE 级联系统[60] . 特别地，该论文采用两次反演变换所 得到的描述目标系统特性的 PDEs 均为一阶双曲 型类型，并保证了时滞状态 PDEs 和 ODE 之间的 相互耦合关系转变为级联关系. 文献 [61] 研究了 具有定常输出时滞 ODE−PDE−ODE 双曲型系统， 利用末端 ODE 系统具有时滞的输出状态构造一 个全状态观测器，进一步利用频域分析法和连续 反演算法设计基于观测器的输出反馈控制策略. 在该控制策略下，系统指数收敛. Pinto 等结合连 续反演算法与滑模控制，解决了具有时变输出时 滞特性和未知外界扰动的线性时滞系统的稳定性 问题[62] . 然而，文献 [22] 和 [59] 所设计的观测器存在 一个明显的缺点：无法处理充分大的输出时滞特 性. 为了有效解决输出时滞系统中的大时滞问题， 文献 [63−64] 提出了一种新的观测器，即链式观测 器. 链式观测器的总体思路为：设定大输出延时 为 D 秒，则链式观测器构造了 m 个子观测器，其 中，每个子观测器包含一个预测器来预测总大输 出延时中 D/m 秒内系统的状态量. Ahmed-Ali 等结 合链式观测器与类反演变换方法提出了基于 PDEs 的新型观测器，有效解决了具有任意大输出时滞非 线性定常系统的状态估计问题和稳定性问题[65] . 5 面向状态时滞系统的基于反演法的时滞 补偿控制 Hashimoto 等首次将连续反演算法应用于具有 部分状态时滞特性的反应−扩散方程中[28] . 不同于 处理输入、输出时滞特性，处理部分状态时滞特 性，不需要采用一阶双曲型 PDE 方程来描述状态 时滞特性，而是直接采用 Volterra 映射将原系统变 换为期望的目标系统. 进一步地，该论文采用了半群 理论和 Lyapunov−Razumikhin 来分析目标系统的 稳定性. Kang 和 Fridman 采用连续反演算法来处 理具有部分状态时滞特性的带 Neumann−Dirichlet 边界条件的反应−扩散方程[66] . 该论文还同时考虑 了输入饱和特性，并利用 Halanay 不等式和 Lyapunov 直接法来证明了闭环系统的指数稳定性，给出了 原系统吸引域的精确界值，进一步给出了保证目 标系统稳定的 LMI（Linear matrix inequality, 线性矩 阵不等式）条件，该条件是与时滞大小相关的. Kang 和 Fridman 面向具有状态时滞特性的线性[67] 和非 线性[68] 薛定谔方程，采用连续反演算法提出了相 应的边界约束时滞补偿控制律. 6 未来发展趋势 总体而言，基于连续反演算法的时滞补偿控 制方法证明简单，易于获得闭环系统精确解等. 然 而，相关的研究主要集中在 ODE 系统，PDE 系统 的相关研究还是很少，特别是时滞大小未知的研 究，如表 1 所示. 连续反演算法的时滞补偿控制方 法仍然存有很多问题有待进一步的研究： (1) 目前，针对时滞特性的研究主要集中于解 决某种单一的输入时滞、输出时滞以及状态时滞 特性. 然而针对两种或三种时滞耦合的研究很少. 因此，针对多种时滞特性同时存在的时滞补偿控 制设计也有待进一步研究. 多种非线性特性同时 存在的相关研究[69] 能够给该方面的研究提供一点 启示. (2) 基于反演法的自适应时滞补偿控制研究主 要集中在 ODE 系统，然而针对 PDE 系统的自适应 时滞补偿控制仍处于空白阶段. 基于连续反演法 针对时滞大小未知的 PDE 时滞系统的自适应时滞 补偿控制研究是未来发展的重要方向之一. ODE · 6 · 工程科学学报，第 44 卷，第 X 期
马永浩等：基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 7 表1目前PDE时滞补偿控制研究内容 Table 1 Current research content of PDE time-delay compensation control Frist-order PED Second-order PDE Delay type Constant Time varying Constant Time varying Known Unknown Known Unknown Known Unknown Known Unknown Input delay y Output delay State delay 系统自适应时滞补偿控制和传统的PDE系统 应用.工程科学学报，2017,39(4)：619) 的自适应控制o均可为PDE时滞系统的自适应 [3]Li M,Chen Y.A wide-area dynamic damping controller based on 时滞补偿控制研究提供策略借鉴 robust Hoo control for wide-area power systems with random delay (3)基于反演法的时滞补偿控制的研究对象局 and packet dropout.IEEE Trans Power Sysi,018,33(4):4026 [4] Yue D,Tian E G,Han Q L.A delay system method for designing 限于抛物线型的反应-扩散方程，然而针对其他类 event-triggered controllers of networked control systems.IEEE 型分布参数系统的相关研究几乎没有.主要是因 Trans Autom Control,2013,58(2):475 为，以抛物线型的反应-扩散方程为代表的抛物线 [5] Imaida T,Yokokohji Y,Doi T,et al.Ground-space bilateral 型方程的时间偏导数为一阶，该类型方程的大部 teleoperation of ETS-VII robot arm by direct bilateral coupling 分特征根都位于实轴，而波方程等双曲线型方程 under 7-s time delay condition.IEEE Trans Roborics Autom,2004, 的时间偏导数则是二阶，它们的大部分特征根都 20(3):499 位于虚轴，导致可逆变换的设计难度增加.将基于 [6]Mounier H.Rudolph J.Flatness-based control of nonlinear delay systems:A chemical reactor example.IntJControl,1998,71(5): 反演法的时滞补偿控制拓展于双曲线型分布参数 871 系统的时滞补偿控制研究也是未来发展的重要方 [] Liu L.Yin S,Zhang L X,et al.Improved results on asymptotic 向之一，通过变量代换，可以将二阶的方程变换为 stabilization for stochastic nonlinear time-delay systems with 两个级联的一阶方程四，这为双曲线型方程的研 application to a chemical reactor system.IEEE Trans Syst Man 究提供了一个思路 Cybern Syst,.2017,47(1:195 [8] Datko R.Not all feedback stabilized hyperbolic systems are robust 7结束语 with respect to small time delays in their feedbacks.SMJ 本文基于连续反演算法的时滞补偿控制方法 Control0pim,1988,26(3):697 [9]Datko R.Two examples of ill-posedness with respect to small time 的基本原理进行概述，并从输入、输出和状态三类 delays in stabilized elastic systems.IEEE Trans Autom Control, 时滞特性的时滞补偿控制的最新进展进行了简单 1993.38(1):163 的阐述和评价.虽然基于连续反演算法的时滞补 [10]Lee T H,Park J H,Xu S Y.Relaxed conditions for stability of 偿控制研究取得了一系列丰硕的成果，但是存在 time-varying delay systems.Automarica,2017,75:11 时滞类型单一，研究对象局限于基本的数学方程 [11]Zheng G.Polyakov A,Levant A.Delay estimation via sliding 等问题，缺乏对仿生扑翼飞行器2-刈、多旋翼机 mode for nonlinear time-delay systems.Automatica,2018,89:266 和加油机软管等实际系统的时滞补偿控制研 [12]Wang T,Qiu J B,Gao H J.Adaptive neural control of stochastic nonlinear time-delay systems with multiple constraints./EEE 究，如何设计有效的基于连续反演算法的时滞补 Trans Syst Man Cybern Syst,2017,47(8):1875 偿控制方法，降低实际分布参数系统的时滞特性 [13]Zhou B,Egorov A V.Razumikhin and Krasovskii stability 的影响是未来的研究方向 theorems for time-varying time-delay systems.Automatica,2016, 71:281 参考文献 [14]Hamdy M,Abd-Elhaleem S,Fkirin M A.Time-varying delay [1]Fridman E.Introduction to Time-delay Systems:Analysis and compensation for a class of nonlinear control systems over Control.New York:Springer,2014 network via H adaptive fuzzy controller.IEEE Trans Syst Man [2]Cao F R,Feng M L.An improved artificial fish swarm algorithm Cybern Sysi,2017,47(8):2114 and its application on system identification with a time-delay [15]Nicaise S,Pignotti C.Stability and instability results of the wave system.Chin J Eng,2017,39(4):619 equation with a delay term in the boundary or internal feedbacks. (曹法如，冯茂林.改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的 SIAMJ Control Optim,2006,45(5):1561
系统自适应时滞补偿控制[52] 和传统的 PDE 系统 的自适应控制[70] 均可为 PDE 时滞系统的自适应 时滞补偿控制研究提供策略借鉴. (3) 基于反演法的时滞补偿控制的研究对象局 限于抛物线型的反应−扩散方程，然而针对其他类 型分布参数系统的相关研究几乎没有. 主要是因 为，以抛物线型的反应−扩散方程为代表的抛物线 型方程的时间偏导数为一阶，该类型方程的大部 分特征根都位于实轴，而波方程等双曲线型方程 的时间偏导数则是二阶，它们的大部分特征根都 位于虚轴，导致可逆变换的设计难度增加. 将基于 反演法的时滞补偿控制拓展于双曲线型分布参数 系统的时滞补偿控制研究也是未来发展的重要方 向之一. 通过变量代换，可以将二阶的方程变换为 两个级联的一阶方程[71] ，这为双曲线型方程的研 究提供了一个思路. 7 结束语 本文基于连续反演算法的时滞补偿控制方法 的基本原理进行概述，并从输入、输出和状态三类 时滞特性的时滞补偿控制的最新进展进行了简单 的阐述和评价. 虽然基于连续反演算法的时滞补 偿控制研究取得了一系列丰硕的成果，但是存在 时滞类型单一，研究对象局限于基本的数学方程 等问题，缺乏对仿生扑翼飞行器[72−74]、多旋翼机[75] 和加油机软管[76] 等实际系统的时滞补偿控制研 究，如何设计有效的基于连续反演算法的时滞补 偿控制方法，降低实际分布参数系统的时滞特性 的影响是未来的研究方向. 参 考 文 献 Fridman E. Introduction to Time-delay Systems: Analysis and Control. New York: Springer, 2014 [1] Cao F R, Feng M L. An improved artificial fish swarm algorithm and its application on system identification with a time-delay system. Chin J Eng, 2017, 39（4）: 619 （曹法如, 冯茂林. 改进人工鱼群算法及其在时滞系统辨识中的 [2] 应用. 工程科学学报, 2017, 39（4）：619） Li M, Chen Y. A wide-area dynamic damping controller based on robust H∞ control for wide-area power systems with random delay and packet dropout. IEEE Trans Power Syst, 2018, 33（4）: 4026 [3] Yue D, Tian E G, Han Q L. A delay system method for designing event-triggered controllers of networked control systems. IEEE Trans Autom Control, 2013, 58（2）: 475 [4] Imaida T, Yokokohji Y, Doi T, et al. Ground-space bilateral teleoperation of ETS-VII robot arm by direct bilateral coupling under 7-s time delay condition. IEEE Trans Robotics Autom, 2004, 20（3）: 499 [5] Mounier H, Rudolph J. Flatness-based control of nonlinear delay systems: A chemical reactor example. Int J Control, 1998, 71（5）: 871 [6] Liu L, Yin S, Zhang L X, et al. Improved results on asymptotic stabilization for stochastic nonlinear time-delay systems with application to a chemical reactor system. IEEE Trans Syst Man Cybern Syst, 2017, 47（1）: 195 [7] Datko R. Not all feedback stabilized hyperbolic systems are robust with respect to small time delays in their feedbacks. SIAM J Control Optim, 1988, 26（3）: 697 [8] Datko R. Two examples of ill-posedness with respect to small time delays in stabilized elastic systems. IEEE Trans Autom Control, 1993, 38（1）: 163 [9] Lee T H, Park J H, Xu S Y. Relaxed conditions for stability of time-varying delay systems. Automatica, 2017, 75: 11 [10] Zheng G, Polyakov A, Levant A. Delay estimation via sliding mode for nonlinear time-delay systems. Automatica, 2018, 89: 266 [11] Wang T, Qiu J B, Gao H J. Adaptive neural control of stochastic nonlinear time-delay systems with multiple constraints. IEEE Trans Syst Man Cybern Syst, 2017, 47（8）: 1875 [12] Zhou B, Egorov A V. Razumikhin and Krasovskii stability theorems for time-varying time-delay systems. Automatica, 2016, 71: 281 [13] Hamdy M, Abd-Elhaleem S, Fkirin M A. Time-varying delay compensation for a class of nonlinear control systems over network via H∞ adaptive fuzzy controller. IEEE Trans Syst Man Cybern Syst, 2017, 47（8）: 2114 [14] Nicaise S, Pignotti C. Stability and instability results of the wave equation with a delay term in the boundary or internal feedbacks. SIAM J Control Optim, 2006, 45（5）: 1561 [15] 表 1 目前 PDE 时滞补偿控制研究内容 Table 1 Current research content of PDE time-delay compensation control Delay type Frist-order PED Second-order PDE Constant Time varying Constant Time varying Known Unknown Known Unknown Known Unknown Known Unknown Input delay √ √ √ √ Output delay √ √ √ State delay √ √ 马永浩等： 基于连续反演算法的时滞补偿控制综述 · 7 ·
…8 工程科学学报，第44卷，第X期 [16]Nicaise S,Rebiai S E.Stabilization of the Schrodinger equation Trans Autom Control,1396.PP(99):1 with a delay term in boundary feedback or internal feedback.Port [33]Zhu Y,Fridman E.Predictor methods for decentralized control of Mah.2011:19 large-scale systems with input delays.Automatica,2020,116: [17]Yeganefar N,Pepe P,Dambrine M.Input-to-state stability of time- 108903 delay systems:A link with exponential stability.IEEE Trans [34]Koga S,Bresch-Pietri D,Krstic M.Delay compensated control of Autom Control,2008,53(6):1526 the Stefan problem and robustness to delay mismatch.Int/Robust [18]Krstic M.Input delay compensation for forward complete and Nonlinear Control,2020,30(6):2304 strict-feedforward nonlinear systems.IEEE Trans Autom Control, [35]Krstic M.On compensating long actuator delays in nonlinear 2010,55(2:287 control.IEEE Trans Autom Control,2008,53(7):1684 [19]Manitius A,Olbrot A.Finite spectrum assignment problem for [36]Krstic M.Lyapunov tools for predictor feedbacks for delay systems with delays.IEEE Trans Autom Control,1979,24(4):541 systems:Inverse optimality and robustness to delay mismatch. [20]Furtat I,Fridman E,Fradkov A.Disturbance compensation with 4 utomatica,2008,44(11):2930 finite spectrum assignment for plants with input delay./EEE Trans [37]Krstic M.Lyapunov stability of linear predictor feedback for time- Autom Control,2018,63(1):298 varying input delay.IEEE Trans Autom Control,2010,55(2):554 [21]Lhachemi H,Prieur C.Feedback stabilization of a class of [38]Tsubakino D,Krstic M,Oliveira T R.Exact predictor feedbacks diagonal infinite-dimensional systems with delay boundary for multi-input LTI systems with distinct input delays.Automatica, control.IEEE Trans Autom Control,2021,66(1):105 2016,71:143 [22]Krstic M,Smyshlyaev A.Backstepping boundary control for first- [39]Bekiaris-Liberis N,Krstic M.Lyapunov stability of linear order hyperbolic PDEs and application to systems with actuator predictor feedback for distributed input delays.IEEE Trans Autom and sensor delays.Syst Control Lett,2008,57(9):750 Control,2011,56(3:655 [23]Zhou B,Lin Z L,Duan G R.Truncated predictor feedback for [40]Cai X S,Bekiaris-Liberis N,Krstic M.Input-to-state stability and linear systems with long time-varying input delays.Automatica, inverse optimality of linear time-varying-delay predictor 2012,48(10):2387 feedbacks.IEEE Trans Autom Control,2018,63(1):233 [24]Bekiaris-Liberis N.Krstic M.Predictor-feedback stabilization of [41]Cai X S,Bekiaris-Liberis N,Krstic M.Input-to-state stability and multi-input nonlinear systems.IEEE Trans Auom Conrol,2017, inverse optimality of predictor feedback for multi-input linear 62(2):516 systems.Automatica,2019,103:549 [25]Zhou B,Gao H J,Lin Z L,et al.Stabilization of linear systems [42]Cai X S,Wu J,Zhan X S,et al.Inverse optimal control for with distributed input delay and input saturation.Auomatica, linearizable nonlinear systems with input delays.Kybernetika 2012,48(5):712 2019:727 [26]Guo BZ,Mei Z D.Output feedback stabilization for a class of [43]Krstic M.Control of an unstable reaction-diffusion PDE with long first-order equation setting of collocated well-posed linear systems input delay.Syst Control Let,2009,58(10-11):773 with time delay in observation.IEEE Trans Autom Control,2020, [44]Gu JJ,Wang JM.Backstepping state feedback regulator design 65(6):2612 for an unstable reaction-diffusion PDE with long time delay.Dyn [27]Hashimoto T,Krstic M.Stabilization of reaction diffusion Control Syst,2018,24(4):563 equations with state delay using boundary control input.IEEE [45]Qi J,Krstic M,Wang SS.Stabilization of reaction-diffusions PDE Trans Autom Control,2016,61(12):4041 with delayed distributed actuation.Syst Contro/Lett,2019,133: [28]Smyshlyaev A,Krstic M.Closed-form boundary State feedbacks 104558 for a class of 1-D partial integro-differential equations.IEEE Trans [46]Liu D Y,Han R M,Xu G Q.Controller design for distributed Autom Control,2004,49(12):2185 parameter systems with time delays in the boundary feedbacks via [29]Meurer T.Control of Higher-Dimensional PDEs:Flatness and the backstepping method.Int/Control,2020,93(5):1220 Backstepping Designs.Berlin:Springer Science Business [47]Krstic M.Dead-time compensation for wave/string PDEs.J Dyn Media,2012 Syst Meas Control,2011,133(3):031004 [30]Cerpa E,Coron J M.Rapid stabilization for a korteweg-de vries [48]Bresch-Pietri D,Krstic M.Adaptive trajectory tracking despite equation from the left dirichlet boundary condition.IEEE Trans unknown input delay and plant parameters.Automatica,2009, 4 tom Control,,2013,58(7):1688 45(9):2074 [31]Nakagiri S I.Deformation formulas and boundary control [49]Bresch-Pietri D,Chauvin J,Petit N.Adaptive control scheme for problems of first-order Volterra integro-differential equations with uncertain time-delay systems.Automarica,2012,48(8):1536 nonlocal boundary conditions.IMA J Math Control Inf,2013, [50]Zhu Y,Krstic M,Su H Y.Adaptive output feedback control for 30(3):345 uncertain linear time-delay systems.IEEE Trans Autom Control, [32]Zhu Y,Fridman E.Observer-based decentralized predictor control 2017,62(2):545 for large-scale interconnected systems with large delays.IEEE [51]Zhu Y,Krstic M.Delay-Adaptive Linear Control.Princeton:
Nicaise S, Rebiai S E. Stabilization of the Schrödinger equation with a delay term in boundary feedback or internal feedback. Port Math, 2011: 19 [16] Yeganefar N, Pepe P, Dambrine M. Input-to-state stability of timedelay systems: A link with exponential stability. IEEE Trans Autom Control, 2008, 53（6）: 1526 [17] Krstic M. Input delay compensation for forward complete and strict-feedforward nonlinear systems. IEEE Trans Autom Control, 2010, 55（2）: 287 [18] Manitius A, Olbrot A. Finite spectrum assignment problem for systems with delays. IEEE Trans Autom Control, 1979, 24（4）: 541 [19] Furtat I, Fridman E, Fradkov A. Disturbance compensation with finite spectrum assignment for plants with input delay. IEEE Trans Autom Control, 2018, 63（1）: 298 [20] Lhachemi H, Prieur C. Feedback stabilization of a class of diagonal infinite-dimensional systems with delay boundary control. IEEE Trans Autom Control, 2021, 66（1）: 105 [21] Krstic M, Smyshlyaev A. Backstepping boundary control for firstorder hyperbolic PDEs and application to systems with actuator and sensor delays. Syst Control Lett, 2008, 57（9）: 750 [22] Zhou B, Lin Z L, Duan G R. Truncated predictor feedback for linear systems with long time-varying input delays. Automatica, 2012, 48（10）: 2387 [23] Bekiaris-Liberis N, Krstic M. Predictor-feedback stabilization of multi-input nonlinear systems. IEEE Trans Autom Control, 2017, 62（2）: 516 [24] Zhou B, Gao H J, Lin Z L, et al. Stabilization of linear systems with distributed input delay and input saturation. Automatica, 2012, 48（5）: 712 [25] Guo B Z, Mei Z D. Output feedback stabilization for a class of first-order equation setting of collocated well-posed linear systems with time delay in observation. IEEE Trans Autom Control, 2020, 65（6）: 2612 [26] Hashimoto T, Krstic M. Stabilization of reaction diffusion equations with state delay using boundary control input. 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Automatica, 2020, 116: 108903 [33] Koga S, Bresch-Pietri D, Krstic M. Delay compensated control of the Stefan problem and robustness to delay mismatch. Int J Robust Nonlinear Control, 2020, 30（6）: 2304 [34] Krstic M. On compensating long actuator delays in nonlinear control. IEEE Trans Autom Control, 2008, 53（7）: 1684 [35] Krstic M. Lyapunov tools for predictor feedbacks for delay systems: Inverse optimality and robustness to delay mismatch. Automatica, 2008, 44（11）: 2930 [36] Krstic M. Lyapunov stability of linear predictor feedback for timevarying input delay. IEEE Trans Autom Control, 2010, 55（2）: 554 [37] Tsubakino D, Krstic M, Oliveira T R. Exact predictor feedbacks for multi-input LTI systems with distinct input delays. Automatica, 2016, 71: 143 [38] Bekiaris-Liberis N, Krstic M. Lyapunov stability of linear predictor feedback for distributed input delays. IEEE Trans Autom Control, 2011, 56（3）: 655 [39] Cai X S, Bekiaris-Liberis N, Krstic M. 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