第七章 二阶电路 2018年12月
第七章 二阶电路 2018年12月 1
§7-1LC电路中的正孩振荡 包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电 感的动态电路称为二阶电路。这类电路可以用一个 二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程来描述。 必 二阶电路中可包含任意数目的电阻、独立源和受控 源，这类电路仍然可以运用分解方法进行分析。 2
§7-1 LC电路中的正弦振荡 ❖ 包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电 感的动态电路称为二阶电路。这类电路可以用一个 二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程来描述。 ❖ 二阶电路中可包含任意数目的电阻、独立源和受控 源，这类电路仍然可以运用分解方法进行分析。 2
LC电路 由电容和电感组成的电路成为LC电路，设电容的 初始电压为U,电感的初始电流为零，它的零输入 响应是什么呢？ 在初始时刻，能量全部贮于电容中，电感中没有贮 能。这时电路的电流为零，但电流的变化率却不为 零，这是因为电感电压必须等于电容电压，电容电 压不为零，电感电压也就不为零，而电感电压的存 在，意味着dildt:≠0。因此电流将开始增长，存贮于 电容中的能量将发生转移。 di dt (a) (b) (c)
LC电路 ❖ 由电容和电感组成的电路成为LC电路，设电容的 初始电压为U0，电感的初始电流为零，它的零输入 响应是什么呢？ ❖ 在初始时刻，能量全部贮于电容中，电感中没有贮 能。这时电路的电流为零，但电流的变化率却不为 零，这是因为电感电压必须等于电容电压，电容电 压不为零，电感电压也就不为零，而电感电压的存 在，意味着di/dt0。因此电流将开始增长，存贮于 电容中的能量将发生转移。 3 dt di u = L
LC电路能量转移 ÷随着电容放电，电流增长，能量逐渐转移到电感的磁 场中。当电容电压下降到零的瞬间，电感电压为零， 因而di1dt=0,电流达到了最大值l,如图(b)所示，此 时贮能全部转入到电感。 i=C du dt 虽然电容电压为零，但它的电压变化率却不为零。这 是因为电容中电流必须等于电感中的电流。由于电感 电流不能跃变，电路中的电流将从逐渐减小，电容 在这个电流的作用下又被充电，只是电压的极性与以 前不同。 冬 当电感中电流下降到零的瞬间，能量又再度全部贮于 电容之中，电容电压又达到了U。,但极性相反，如图 (c)所示。 4
LC电路能量转移 ❖ 随着电容放电，电流增长，能量逐渐转移到电感的磁 场中。当电容电压下降到零的瞬间，电感电压为零， 因而di/dt=0，电流达到了最大值I，如图(b)所示，此 时贮能全部转入到电感。 ❖ 虽然电容电压为零，但它的电压变化率却不为零。这 是因为电容中电流必须等于电感中的电流。由于电感 电流不能跃变，电路中的电流将从I逐渐减小，电容 在这个电流的作用下又被充电，只是电压的极性与以 前不同。 ❖ 当电感中电流下降到零的瞬间，能量又再度全部贮于 电容之中，电容电压又达到了U0，但极性相反，如图 (c)所示。 4 dt du i = C
LC电路能量转移 冬以后，电容又开始放电，但电流方向和上一次电容放 电的方向相反，当电容电压再次下降到零的瞬间，能 量又全部贮于电感之中，电流又达到了最大值，如 图(d)所示。 ÷接着，电容又在电流的作用下充电，当电流为零的瞬 间，能量全部返回到电容，电容电压的大小和极性又 和初始时刻一样，如图(e)所示。 (d) (e)
LC电路能量转移 ❖ 以后，电容又开始放电，但电流方向和上一次电容放 电的方向相反，当电容电压再次下降到零的瞬间，能 量又全部贮于电感之中，电流又达到了最大值I，如 图(d)所示。 ❖ 接着，电容又在电流的作用下充电，当电流为零的瞬 间，能量全部返回到电容，电容电压的大小和极性又 和初始时刻一样，如图(e)所示。 5
等幅振荡和阻尼振荡 在由电容和电感两种不同的贮能元件构成的电路中， 随着贮能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的 电流和电压将不断地改变大小和极性，形成的振荡。 1. 如果电路中不存在电阻，这种由初始贮能维持的振 荡是一种等幅振荡。 2. 如果电路中存在电阻，那么，贮能终将被电阻消耗， 振荡就不可能是等幅的，幅度将逐渐衰减而趋于零。 这种振荡称为阻尼振荡或衰减振荡。 3. 如果电阻较大，贮能在初次转移时它的大部分就可 能被电阻所消耗，因而不可能发生贮能在电场与磁 场间的往返转移现象。 6
等幅振荡和阻尼振荡 ❖ 在由电容和电感两种不同的贮能元件构成的电路中， 随着贮能在电场和磁场之间的往返转移，电路中的 电流和电压将不断地改变大小和极性，形成的振荡。 1. 如果电路中不存在电阻，这种由初始贮能维持的振 荡是一种等幅振荡。 2. 如果电路中存在电阻，那么，贮能终将被电阻消耗， 振荡就不可能是等幅的，幅度将逐渐衰减而趋于零。 这种振荡称为阻尼振荡或衰减振荡。 3. 如果电阻较大，贮能在初次转移时它的大部分就可 能被电阻所消耗，因而不可能发生贮能在电场与磁 场间的往返转移现象。 6
LC回路中振荡的简单的分析 已知L=IH、C=IF,uc(O)=IV、i(O)=0。r 根据元件的VAR可得 duc=-i, diL二uc dt dt 这是一个二阶电路，由两个联立的一阶微分方程描述， 它表明电压的存在要求有电流的变化；电流的存在要求 有电压的变化。因此电压、电流都必须处于不断的变化 状态之中。 d'uc +uc =0 dt2 结合到初始条件：uc(0)=1V,i(0)=0 7
LC回路中振荡的简单的分析 已知 L=1H、C=1F，uC(0)=1V、iL (0)=0。 7 根据元件的VAR可得 C L L C u dt di i L dt du C = − , = 这是一个二阶电路，由两个联立的一阶微分方程描述， 它表明电压的存在要求有电流的变化；电流的存在要求 有电压的变化。因此电压、电流都必须处于不断的变化 状态之中。 0 2 2 + C = C u dt d u 结合到初始条件：uC(0)=1V、iL (0)=0
LC回路中的贮能 可以得到 uc(t)=cost i,(t)=sint LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。LC 回路中的贮能为 w0-0+0a回 -6m1+cow0- 常量 w(O)-jLi(O)-iCa()-iJ 表明：贮能不断地在电场和磁场之间往返，永不消失。 8
LC回路中的贮能 可以得到 8 ( ) i (t) t u t t L C sin cos = = LC回路中的等幅振荡是按正弦方式随时间变化的。LC 回路中的贮能为 ( ) ( ) ( ) ( t t) J w t Li t Cu t 2 1 sin cos 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 = + = = + 常量 w( ) Li ( ) Cu ( ) J 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 = + = 表明：贮能不断地在电场和磁场之间往返，永不消失
§7-2RLC串联电路的零输入响应 —过阻尼情况 冬对电感和电容的二阶电路，运 用戴维南定理可得图(b)所示的 含源屯 阻网络 RLC串联电路。 ÷对每一元件，可以写出VAR为 i=C duc dt ug =Ri=RC duc dt u L =LC (b} dt dr 冬根据KL可得 +败资+=.0 LC 0
§7-2 RLC串联电路的零输入响应 —过阻尼情况 ❖ 对电感和电容的二阶电路，运 用戴维南定理可得图(b)所示的 RLC串联电路。 ❖ 对每一元件，可以写出VAR为 9 2 2 dt d u LC dt di u L dt du u Ri RC dt du i C C L C R C = = = = = ❖根据KVL可得 u u (t) dt du RC dt d u LC C oc C C + + = 2 2
初始条件 Lcwe+Rce+We=u dt dt 这是一个线性二阶常系数常微分方程，未知量为uc(t)。 为求解答此微分方程，必须知道两个初始条件，即 uc(O)以及uc'(0). uc(O)为电容的初始状态，uc(O)为： 10
初始条件 ❖ 这是一个线性二阶常系数常微分方程，未知量为uC(t)。 为求解答此微分方程，必须知道两个初始条件，即 uC(0)以及uC ’ (0)。 ❖ uC(0)为电容的初始状态，uC ’ (0)为： 10 u u (t) dt du RC dt d u LC C o c C C + + = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) C i C i t dt du t u C C 0 0 | | 0 0 ' = = =