电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 第十五章动态电路的复频域求解 一本章要求 1.握拉普拉斯变换，拉普拉斯反变换（部分分式展开法）。 2.握电路定律及各电路元件的复频域形式。 3.握运算阻抗、运算导纳等概念。 4.电路的复频域分析法。 二内容提要 1.时间函数f)的拉普拉斯变换 F(s)==[f(e-"di (15-1) F(s)为f0)得像函数，f0为F(s)的原函数，s=c+jo为复频率。 2.拉普拉斯变换的性质 a)线性性质L[a)+b时，(】=aE(s)+b5,(s) (15-2) b)延迟性质ft-to)e(t-t】=eF(s) (15-3) 。微分性质0]=F)-f0.) (15-4) d d)积分性质fu)d=F(s)/s (15-5) 3.普拉斯反变换，部分分式展开法 当F付=因.么，产+么++5+么为假分式时，则利用长除法先转化 D(s)ans"+as"+.+as+ao 为整式加真分式，再求f)。 当F(S)为真分式时，n>m。 1)D(S)0有P,P2P个实单根时，则 F=2年4=s-n)s=n或A=D 后s-Pk D(s) D(P) 则f)=∑Aeu (15-6) =l 2)D(s)-0有一对共轭根P1=a+j0,P2=a-j0,则 18
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 118 第十五章 动态电路的复频域求解 一 本章要求 1． 握拉普拉斯变换，拉普拉斯反变换（部分分式展开法）。 2． 握电路定律及各电路元件的复频域形式。 3． 握运算阻抗、运算导纳等概念。 4． 电路的复频域分析法。 二 内容提要 1． 时间函数 f(t)的拉普拉斯变换 F s L f t f t e dt st − − = = 0 ( ) [ ( )] ( ) （15-1） F(s)为 f(t)得像函数，f(t)为 F(s)的原函数， s = + j 为复频率。 2．拉普拉斯变换的性质 a) 线性性质 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 1 2 L af t + bf t = aF s + bF s （15-2） b) 延迟性质 [ ( ) ( )] ( ) 0 0 0 L f t t t t e F s −st − − = （15-3） c) 微分性质 ] ( ) (0 ) ( ) [ = − − sF s f dt df t L （15-4） d) 积分性质 L f t dt F s s t [ ( ) ( )/ 0 = − （15-5） 3． 普拉斯反变换，部分分式展开法 当 1 0 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) a s a s a s a b s b s b s b D s N s F s n n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − 为假分式时，则利用长除法先转化 为整式加真分式，再求 f(t)。 当 F(s)为真分式时，n>m。 1〉 D(s)=0 有 p1 p2 pk , 个实单根时，则 k k k n k k k s p D s N s A s p s p A F s = − = − = = ]| ( ) ( ) ( ) , [( ) 1 或 ( ) ( ) k k k D p N p A = 则 = = n k p t k k f t A e 1 ( ) （15-6） 2〉 D(s)=0 有一对共轭根 p1 = + j, p2 = − j ，则
电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 A=s-p)F(s川s=p,AIe (15-7) f)=2|4le“cos(om+0) 》若时有=A圆FO-为石A 其中：A1=[s-P)产Fss=P,42= 孟s-aNFo:=n 所以：f(u)=Aem+A,lePm (15-8) 4.利用拉普拉斯变换解电路 a)元件的s域表示 R元件：U(s=RI(S) 1(Gs)R U(s) L元#份=@-山0：c元指o)=之：o+0 sLL1(0-) sC u(0 U(s) U(s) 1 sC 1(0-) Cu(0-) ①D I(s)+U(s) I(s)+U(s) 2)将时域电路转化成s域电路（运算电路） 3)求解待求解量的像函数 4)求解待求解量的原函数，即时域解。 三例题 例15-1求f()=()的像函数。 解，F=e0eh-eh-e"R-号 19
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 119 ( ) 2 | | cos( ) [( ) ( )]| | | 1 1 1 1 1 1 1 = + = − = = f t A e t A s p F s s p A e t j （15-7） 3〉 若 D(s)=0 有二重根： p1 s = 则 2 1 11 1 12 ( ) ( ) s p A s p A F s − + − = 其中： 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 [( ) ( )]| , [(s p ) F(s)]| s p ds d A = s − p F s s = p A = − = 所以： p t p t f t A e A te 1 1 12 11 ( ) = + （15-8） 4． 利用拉普拉斯变换解电路 a) 元件的 s 域表示 R 元件：U(s)=RI(s) L 元件: ( ) ( ) (0 ) L = L − LiL − U s sLI s ， C 元件： s u I s sC U s C c C (0 ) ( ) 1 ( ) − = + 2〉将时域电路转化成 s 域电路（运算电路） 3〉求解待求解量的像函数 4〉 求解待求解量的原函数，即时域解。 三 例题 例 15-1 求 f (t) = (t) 的像函数。 解： s e s F s t e dt e dt st st st 1 | 1 ( ) ( ) 0 0 0 = = − = − − − − − −
电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 例15-2已知：f0)如图15-1所示，求Fs)。 木f) 解： f)=2s(0-1-2)-1-4) .F)=2= 02 图15-1例152图 例15-3已知：Fs)=5+1s+2 s+4 ，求原函数f): 解： A3 8+4 S+4 4=e。5w+Ws+2hws+i+2-2 A2=(s+1)F(s)川=-1=-3 A=(s+2)F(s)l-2=1 F6)=23 55+its+2f0=2-3e+e 5+2 例154已知：Fs)=子+25+2'求原函数0： 解 s2+2s+2=0→p1=-1+jL,P2=-1-j1 L-45 A=(s+1-F(儿-n='2 ∴fu0=V2ecos1-45) 例15-5已知F(s)= 7s+8 (6+(5+2少，求原函数0。 解： A31 A1=sF(s)lo=2,A2=(s+1)F(s)l-1=-1 4=2s+2yFsL=-l4=g+2FeL=-3 ∴f0=2-e'-e2-3e-2 120
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 120 例 15-2 已知：f(t)如图 15-1 所示，求 F(s)。 解： (2 ) 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( 2) ( 4) 2 4 2 4 s s s s e e s s e s e s F s f t t t t − − − − = − − = − − = − − − − 图 15-1 例 15-2 图 例 15-3 已知： ( 1)( 2) 4 ( ) + + + = s s s s F s ，求原函数 f(t)。 解： t t s s s s s f t e e s s s F s A s F s A s F s s s s s s s s A sF s s s A s A s A F s 2 3 2 2 1 1 0 0 0 1 2 3 , ( ) 2 3 2 1 1 2 3 ( ) ( 2) ( ) | 1 ( 1) ( ) | 3 | 2 ( 1)( 2) 4 | ( 1)( 2) 4 ( ) | 1 2 ( ) − − =− =− = = = = − + + + + = − = + = = + = − = + + + = + + + = = + + + = + 例 15-4 已知： 2 2 2 ( ) 2 + + + = s s s F s ，求原函数 f(t)。 解 ( 0 2 cos( 45 ) 45 2 2 ( 1 ) ( ) | 2 2 0 1 1, 1 1 1 1 1 1 2 2 t o o s j f t e t A s j F s s s p j p j = − = + − = − + + = = − + = − − − =− + 例 15-5 已知 2 ( 1)( 2) 7 8 ( ) + + + = s s s s F s ，求原函数 f(t)。 解： t t t s s s s f t e e t e s F s A s F s ds d A A sF s A s F s s A s A s A s A F s 2 2 2 2 2 31 2 32 1 0 2 1 2 1 2 32 31 ( ) 2 3 [( 2) ( )]| 1, ( 2) ( ) | 3 ( ) | 2, ( 1) ( ) | 1 1 2 ( 2) ( ) − − − =− =− = =− = − − − = + = − = + = − = = = + = − + + + + + = +
电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 例15-6电路如图15-2（a)所示，电路己达到稳态，0时，s打开，已知： B=10AR=R=402,L=4H,C=0.01F,求：s打开后的c。 解：1)0等效电路如图15-2(b)所示，则 R 40.)=R+R,=5A4.0.)=R,0.)=40x50=20r 2)t≥0.后，运算电路如图15-2(c) 其中：U,()=W,R1=0×40=40 由： -U@+R1,+.0-.0.)+24()+“e0）=0 U.)+4,0.)-e0)400+4x5-200 1(s) 5s+50 R++记 40+4s+001s 1 52+105+25 KVLUc(s)= 58+50+200 =0.0l×g2+105+25+5 =400-500200 ss+5)72s+5 4c(0=400-500re-200e5y,1≥0 R2 t0)R2 ++ 4 5S) D (a) (b) ( 图15-2例15-6图 例15-7如图15-3(a)所示的电路原来已处于稳态，0时，s闭合，用运算法求s和上后 的(t)。 解：1)0_等效电路如图15-3(b)所示，则 i,(0)=0,4c(0.)=U.=1W b)运算电路如图15-3（©），列回路方程 121
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 121 例 15-6 电路如图 15-2（a）所示，电路已达到稳态，t=0 时，s 打开，已知： Is =10A,R1 = R2 = 40,L = 4H,C = 0.01F ，求：s 打开后的 C u 。 解：1〉 − 0 等效电路如图 15-2 (b)所示，则 I A u R i V R R R i L (0 ) s 5 , C (0 ) 2 L (0 ) 40 50 200 1 2 1 = = = = + − = − − 2〉 0+ t 后，运算电路如图 15-2(c) 其中： s Us s L I sR L 400 ( ) [ ] [10 40] = 1 = = 由： KVL ( ) 400 500 200 , 0 5 200 ( 5) 400 500 200 10 25 5 50 0.01 (0 ) 1 ( ) 1 ( ) 10 25 5 50 0.01 1 40 4 200 4 5 400 1 (0 ) ( ) (0 ) ( ) 0 (0 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (0 ) 5 5 2 2 2 1 1 = − − + − + = − + + + + = + = + + + = + + + − = + + + − = − + + − + + = − − − − − − − u t t e e V t s s s s s s s s s u I s sC U s s s s s s s s sC R sL s u U s Li I s s u I s sC U s R I s sLI s Li t t C C C L C s L L C s L L L L 图 15-2 例 15-6 图 例 15-7 如图 15-3 (a) 所示的电路原来已处于稳态，t=0 时，s 闭合，用运算法求 s 和上后 的 ( ) 1 i t 。 解：1〉 − 0 等效电路如图 15-3 (b)所示，则 i 1 (0− ) = 0,uC (0− ) = Us =1V b) 运算电路如图 15-3 (c),列回路方程
电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 R+L+2-a=}40 sC 2o*定+民国=40 I1(s)=1n(s) 1 1 35 2∠-135 解得： 1(s)= =2+4 (52+2s+2)3s+1-j 3+1+j 2 +2ecos1+135911≥0 I(s)R1 L )Us=1V 1F R2 Us=1V SC+ Uc(o) 、2(s) 12 )0-①1n (a) (6) (c) 图15-3例15-7图 例15-8如图154a)所示的电路，1Di,()=c(1)A,2)i,(0=6)A,求电路的响应()。 阶：运算电路如图15-4(b) L()-0为单为跃南位。 R.、1 U(s)=Z(s)1,(s)= sC 1 1 R R R*C 1 RC u0=Rl-e元)so)p 2)1(s)=1 R 1 U(s)=Z(s)I,(s)= R+ s+ sC RC 122
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 122 ( ) ( ) (0 ) ) ( ) 1 ( ) ( 1 1 (0 ) ( ) 1 ) ( ) 1 ( 1 1 1 2 2 1 1 2 I s I s s u R I s sC I s sC s u s I s sC I s sC R sL l C l l C l l = − + + = + + − = − − − 解得： cos( 135 ) , 0 2 2 2 1 ( ) 1 135 4 2 1 135 4 2 2 1 ( 2 2) 1 ( ) 1 1 2 = + + + + − + + − = + + + = − i t e t A t s s s s s j s j I s t o o o 图 15-3 例 15-7 图 例 15-8 如图 15-4(a)所示的电路，1〉 i s (t) = (t)A，2〉 i s (t) = (t)A ，求电路的响应 u(t) 。 阶：运算电路如图 15-4(b) 1> , ( ) 1 ( ) u t s I s s = 为单为阶跃响应。 u t R e t V RC s R s R RC sC s s sC R sC R U s Z s I s RC t s ( ) (1 ) ( ) 1 ) 1 ( 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) − = − + = − + = + = = 2〉 I s (s) = 1 e t V C u t RC s C sC R sC R U s Z s I s RC t s ( ) 1 , ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) − = + = + = =
电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 i(t) ⊙u(tw0R I(s)h R (a) (6) 图15-4例15-8图 例15-9已知：在图15-5(a)所示的电路中，u,(0)=eV,求山，()得零状态响应。 it)10 2i(t) I(s)1 2I(s) (us(t) 山4(t)32H (u(s) /(s)32s 1(s) 2(s) (a) 6 图15-5例15-9图 1 解：运算电路如图159（D)U,()-,中2用网孔电流法 +n-a=u,0→1a=-g+2s+ 2s I2(s)=-2I1(s)=-2In(s) 4s2 U(s)=2sl2(s)=- +2X+4-16 36 +2+3 所以：u,(0)=-48)-16e2+36eV,1≥0 四习题 15-】求下列各函数的拉普拉斯反变换 1) 6s2+245+18 2) s+2 (s+2(s+4)(s+5) 52+45+5 3)8s2+) 4) 8-2 s(52+4) (s+)7 15-2对如图所示的电路，己知：c(0_)-4W,求s合上的4c()。 15-3如图所示的电路原来已稳定，求t≥0时的i(),己知 U,=200,L=0.1H,R=202,C=1000F,c(0_)=100
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 123 图 15-4 例 15-8 图 例 15-9 已知：在图 15-5（a）所示的电路中， ( ) , 2 u t e V t s − = 求 u (t) L 得零状态响应。 图 15-5 例 15-9 图 解：运算电路如图 15-59（b） 2 1 ( ) + = s U s s ，用网孔电流法 3 36 2 16 4 ( 2)( 3) 4 ( ) 2 ( ) ( 2)( 3) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 1 ) ( ) 1 (1 2 2 2 2 1 1 1 2 + + + = − − + + = = − + + = − = − = − + − = s s s s s U s sI s s s s I s I s I s I s I s U s s I s s L l l l l l l s 所以： ( ) 4 ( ) 16 36 , 0 2 3 = − − + − − u t t e e V t t t L 四 习题 15-1 求下列各函数的拉普拉斯反变换 1〉 ( 2)( 4)( 5) 6 24 18 2 + + + + + s s s s s 2〉 4 5 2 2 + + + s s s 3〉 ( 4) 8( 1) 2 2 + + s s s 4〉 2 ( 1) 2 + − s s s 15-2 对如图所示的电路，已知： uC (0− ) − 4V ，求 s 合上的 u (t) C 。 15-3 如图所示的电路原来已稳定，求 t 0 时的 i (t) L ，已知： Us = 200V, L = 0.1H,R = 20,C =1000F,uC (0− ) =100V
电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 15-4在零初始条件下，己知：1，()=eε()A,C=1F,L=1H,R=0.52,求：u(0)。 i(t) 20 141F 20 ue(t)us(t) R uc(t) u(t) is(t) (a) (6) (c) 题15-2图 题15-3图 题15-4图 15-5电路如图(a),外加激励波形如图(b),求零状态响应4()。 15-6如图所示的电路原来己稳定，=0时，s合上，求1≥0时的4，()，己知： a=2e2,41=5,L=1H,R=R2=52 is(t) is(t) 1H 310 11 (a) (b) 题15- 题15-6 15-7如图所示的电路原来已稳定，t0时，s打开，求t≥0时的(t),42(),山2()，而： U,=10W,L1=0.3H,L2=0.1H,R=22,R=32 15-8如图所示的电路原来处于零状态，0时，s合上，求1≥0时的i2,而： L=1.33H,R=502,C=100uF。 15-9如图所示的电路原米已稳定，0时，s合上，求120时的42，而： U,=150/,L=0.15H,R=102,R2=102,C=250F。 15-10如图所示的电路，=0时，s合上，用节点法求i()。 自
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 124 15-4 在零初始条件下，已知： = = = = − ( ) ( ) , 1 , 1 , 0.5 3 i t e t A C F L H R t s ，求： u(t) 。 题 15-2 图 题 15-3 图 题 15-4 图 15-5 电路如图（a），外加激励波形如图（b），求零状态响应 u (t) R 。 15-6 如图所示的电路原来已稳定，t=0 时，s 合上，求 t 0 时的 u (t) L ，已知： = = = = = − 2 , 1 5 , 1 , 1 2 5 2 u 1 e V us V L H R R t s 题 15-5 题 15-6 15-7 如图所示的电路原来已稳定，t=0 时，s 打开，求 t 0 时的 ( ), ( ), ( ) 1 2 i t u t u t L L ，而： Us =10V, L1 = 0.3H, L2 = 0.1H,R1 = 2,R2 = 3 15-8 如图所示的电路原来处于零状态，t=0 时，s 合上，求 t 0 时的 L i ，而： L = 1.33H, R = 50,C = 100F 。 15-9 如图所示的电路原来已稳定，t=0 时，s 合上，求 t 0 时的 L u ，而： Us =150V, L1 = 0.15H,R1 =10,R2 =10,C = 250F 。 15-10 如图所示的电路，t=0 时，s 合上，用节点法求 i(t)
电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 R 山1 R 1 R YY i(t)UL 门R 题15-7图 题15-8图 题15-9图 15-11如图所示的电路，求零状态响应()，而： -10c0Ψ.L=0.5H,R=2,R=12,C=5 15-12已知：4，()为输入，i,(t)为输出，求电路的冲击响应h(t): 102×5 Ko 10 R 100 10 100n 0.20 0.5H7 题15-10图 题15-11图 题15-12图 15-13如图所示的电路中，已知i,=0.1es0),i,(0)=0,c(0)=4,求：1≥0时的 全响应()。 15-14如图所示电路，s断开前电路己处于稳态，求s断开后的，()。 15-15如图所示的电路中，已知1，=ec(0,1,(0)=14,e(0.)=2V,求：t≥0时的全 响应()。 22 101 is i(t) + "2a0 0.5F 0.25a 题15-13图 题1514图 题15-15图 15-16求如图所示的电路(1，=6()A,4,=6)Ψ)的零状态响应u()
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 125 题 15-7 图 题 15-8 图 题 15-9 图 15-11 如图所示的电路，求零状态响应 i(t) ，而： us t V L H R , R 1 ,C 1F 5 1 10 ( ) , 0.5 , = = 1 = 2 = = 。 15-12 已知： u (t) s 为输入， ( ) 1 i t 为输出，求电路的冲击响应 h(t)。 题 15-10 图 题 15-11 图 题 15-12 图 15-13 如图所示的电路中，已知 0.1 ( ), (0 ) 0, (0 ) 4 , 5 i e t i L uC V t s = − = − = − 求： t 0 时的 全响应 i(t)。 15-14 如图所示电路，s 断开前电路已处于稳态，求 s 断开后的 u (t) k 。 15-15 如图所示的电路中，已知 ( ), (0 ) 1 , (0 ) 2 , 3 i e t i L A uC V t s = − = − = − 求： t 0 时的全 响应 u(t) 。 题 15-13 图 题 15-14 图 题 15-15 图 15-16 求如图所示的电路（ i s = (t)A,us = (t)V ）的零状态响应 u(t)
电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 15-17如图所示的电路原来己稳定，0时，s打开，求1≥0时的()，4()，而： U,=10P,L1=2H,L2=3H,R=R2=1002 15-18如图所示的电路原来已稳定，0时，s合上，求流过开关的电流()。 10 10 hs i(t) 1 i(t)2H 3(t) 题15-16图 题15-17图 题15-18图 15-19如图所示的电路中，已知i(0)=1o,2(0)=0,求：s合上后的i1· 15-20己知电路如图，4，=60)，i,(0)=2A,4c(0)=3,求i0。 15-21如图所示的电路原来已稳定，t0时，s打开，求s打开后的1，()，4c(0) s 1(t) t2(t) LR Li(t) (t) 3 0.5F Due(t) 2 .1F 1000 题15-19图 题15-20图 题15-21图 15-22如图所示的电路原来已稳定，0时，s闭合，求s闭合后的4c()。已知： I,=0.1A,R1=10002R2=5002,C=4uF,L=0.5H 15-23如图所示的电路原来已稳定，0时，s打开，求s打开后的u()。己知： U1=4,U2=2,R-22,R2=42,C-0.5F,L-1H 15-24求如图所示的电路C两端的电压4c()。己知： =2R=nC=-0.)=00.)=0 J 126
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 126 15-17 如图所示的电路原来已稳定，t=0 时，s 打开，求 t 0 时的 i(t),u(t) ，而： Us =10V, L1 = 2H, L2 = 3H,R1 = R2 =100 15-18 如图所示的电路原来已稳定，t=0 时，s 合上，求流过开关的电流 i(t) 。 题 15-16 图 题 15-17 图 题 15-18 图 15-19 如图所示的电路中，已知 (0 ) , (0 ) 0, i L1 − = I 0 i L2 − = 求：s 合上后的 L1 i 。 15-20 已知电路如图， us = (t),i L (0− ) = 2A,uC (0− ) = 3V ，求 i(t) 。 15-21 如图所示的电路原来已稳定，t=0 时，s 打开，求 s 打开后的 i (t),u (t) L C 题 15-19 图 题 15-20 图 题 15-21 图 15-22 如图所示的电路原来已稳定，t=0 时，s 闭合，求 s 闭合后的 u (t) C 。已知： I s = 0.1A,R1 =1000,R2 = 500,C = 4F, L = 0.5H 15-23 如图所示的电路原来已稳定，t=0 时，s 打开，求 s 打开后的 u (t) C 。已知： Us1 = 4V,Us2 = 2V,R1 = 2,R2 = 4,C = 0.5F, L =1H 15-24 求如图所示的电路 C 两端的电压 u (t) C 。已知： , (0 ) 0, (0 ) 0 3 1 , 2 1 , 5 2 us = 2t V, R = C = F L = H uC − = i L − =
电路学习辅导 第十五章动态电路的复频域求解 itt)m R L Us2 L山 R (t) R 题1522图 题15-23图 题15-24图
电路学习辅导 第十五章 动态电路的复频域求解 127 题 15-22 图 题 15-23 图 题 15-24 图