电路学习指导 第十七章电路方程的矩阵形式 第十七章电路方程的矩阵形式 一本章要求 1. 掌握图、连通图、有向图，树、割集，复合之路概念。 2.列写关联矩阵、回路矩阵与割集矩阵。 3.列写节点电压方程的矩阵形式，回路电流方程的矩阵形式。 4.列写简单电路的状态方程。 二内容提要 1.电路的图G:是节点和支路的组合，支路是抽象的线段。 1）连通图：两节点简至少有一条路经。 2)有向图：图中各支路标出了方向的图。 3》子图G1:它的支路及节点都属于图G。 2.树T1)是G的子图，2)包含G的所有节点3)不含回路4)连通 树支b,是树中所含的支路，连支b,是图G的但不是树T的支路。 3.割集Q:是一个支路集合，1)将割集中所有的支路移走，G被分成两部分2》割集中 的支路少拿走一条，图G仍连通。 4.关键的几个矩阵 1)关联矩阵：是描述支路和节点的关系的矩阵。 2》割集矩阵：是描述支路和割集的关系的矩阵， 3)回路矩阵：是描述支路和回路的关系的矩阵 基本割集矩阵：是单树支的割集构成的矩阵。 基本回路矩阵：是单连支的回路构成的矩阵 5.典型支路如图所示。 R G Z=joL.Y= joL 1 iw① 6.回路电流方程矩阵形式：Z,i,=B0,-BZi, (17-1) 其中：Z,=BZB「为回路阻抗阵，Z为支路阻抗阵。B为独立回路阵。 7.节点电压方程矩阵形式：YUn=Ai,-A心， (17-1) 132
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 132 第十七章 电路方程的矩阵形式 一 本章要求 1． 掌握图、连通图、有向图，树、割集，复合之路概念。 2． 列写关联矩阵、回路矩阵与割集矩阵。 3．列写节点电压方程的矩阵形式，回路电流方程的矩阵形式。 4．列写简单电路的状态方程。 二 内容提要 1． 电路的图 G：是节点和支路的组合，支路是抽象的线段。 1〉 连通图：两节点简至少有一条路经。 2〉 有向图：图中各支路标出了方向的图。 3〉 子图 G1：它的支路及节点都属于图 G。 2． 树 T: 1〉是 G 的子图，2〉 包含 G 的所有节点 3〉 不含回路 4〉 连通 树支 t b 是树中所含的支路，连支 l b 是图 G 的但不是树 T 的支路。 3． 割集 Q：是一个支路集合，1〉将割集中所有的支路移走，G 被分成两部分 2〉割集中 的支路少拿走一条，图 G 仍连通。 4． 关键的几个矩阵 1〉 关联矩阵：是描述支路和节点的关系的矩阵。 2〉 割集矩阵：是描述支路和割集的关系的矩阵。 3〉 回路矩阵：是描述支路和回路的关系的矩阵 基本割集矩阵：是单树支的割集构成的矩阵。 基本回路矩阵：是单连支的回路构成的矩阵 5． 典型支路如图所示。 = = k k k k k k k k j C j L G Y j C j L R Z 1 , 1 6． 回路电流方程矩阵形式： l l s s Z I BU BZI = − （17-1） 其中： T Zl = BZB 为回路阻抗阵，Z 为支路阻抗阵。B 为独立回路阵。 7． 节点电压方程矩阵形式： n n s AYUs Y U AI = − （17-1）
电路学习指导 第十七章电路方程的矩阵形式 其中：Yn=AYA'为回路导纳阵，Y为支路导纳阵。A为关联阵。 8.状态方程：对状态变量列出的一解微分方程阻。 三例题 例17-1己知图17-1(a)所示的图，问17-2(b)(c)、(d)、(e)是不是G的树 ta) 图17-1例17-1图 解：(b)是，其余都不是，(c)不连通，(d)少一个节点，(e)有回路 「10001-17 例17-2已知：A=-110-100,画出有向图。 00-10-10 解：在A的最后一行添一行：0-11101，则：其对应的图如图17-2 例17-3已知电路如图17-3(a),列写矩阵形式的节点电压方程。 解：1)电路的图G如图17-3(b)选择(3)节点为参考点。 「-11 「10001 0 0 0100 0 Lv.-op =005 0 20005 3)AY= gg4日a-[ -11 0 0 4)节点电压方程为： 「2-Tl L-1 2101 3 20 (3) (4) (a) (b) 图17-2例17-2图 图17-3例17-3图 133
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 133 其中： T Yn = AYA 为回路导纳阵，Y 为支路导纳阵。A 为关联阵。 8．状态方程：对状态变量列出的一解微分方程阻。 三 例题 例 17-1 已知图 17-1（a）所示的图，问 17-2（b）、（c）、(d)、（e）是不是 G 的树。 图 17-1 例 17-1 图 解：(b)是，其余都不是，(c)不连通，（d）少一个节点，（e）有回路。 例 17-2 已知： − − − − − = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 A ，画出有向图。 解：在 A 的最后一行添一行：0 –1 1 1 0 1， 则：其对应的图如图 17-2。 例 17-3 已知电路如图 17-3（a），列写矩阵形式的节点电压方程。 解：1〉电路的图 G 如图 17-3 （b）选择（3）节点为参考点。 2〉 = = − = − − − = 2 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 2 0 0 0 , 0 0 0 1 , 0 1 1 1 1 1 0 0 A Is Us G 3〉 − = = − + + + − = − − − = 1 0 , 0 1 , 2 1 2 1 1 1 1 1 1 , 2 1 2 0 1 1 1 1 0 0 AY Gn AIs AGUs 4〉 节点电压方程为： = − − 1 1 1 2 2 1 2 1 n n U U 。 图 17-2 例 17-2 图 图 17-3 例 17-3 图
电路学习指导 第十七章电路方程的矩阵形式 例17-4己知电路如图17-4()，用网络图论法列写节点电压方程（矩阵形式）。 解：电路的图G如图17-4(b),选d节点为参考点 -110100,=.00000 则：A=0-110106 00-1-1010,=b0000-0 「R 0 00007 0 joLz joM 000 0 j@M joL 000 Z= 0 0 0 R40 0 0 0 0 0 Rs 0 0 0 0 0 0 R [1/R 0 0 0 0 07 0 L/D -M/D 0 0 0 -MID L,/D 则：Y= 0 0 0 0 0 0 1/R 0 0 0 0 0 0 1/R 0 0 0 0 0 1/R 「joL3 -joM] -M joL .-joM joL 其中：joM jolL3」 joL,joM -M joM joL D D=j@(L2L-M2) -1 L -M 0 D R 所以：AY= 0 M D D 0 0 0 M D 0 134
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 134 例 17-4 已知电路如图 17-4（a），用网络图论法列写节点电压方程（矩阵形式）。 解：电路的图 G 如图 17-4 （b），选 d 节点为参考点 则： = − = − − − − = T s s T s s U U I I A 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 = 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R R R j M j L j L j M R Z 则： − − = 6 5 4 2 3 1 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 1/ 0 0 0 / / 0 0 0 0 / / 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 R R R M D L D L D M D R Y 其中： ( ) 2 2 3 2 3 3 2 2 3 1 3 2 D j L L M D L D M D M D L j M j L j L j M j M j L j L j M j M j L j L j M = − − − = − − = − 所以： − − − + + − − = 4 6 2 5 3 2 4 3 1 1 0 1 0 0 1 0 ( ) 0 0 0 1 1 D R R L D M D R M D L D M D L D R M D L R AY
电路学习指导 第十七章电路方程的矩阵形式 1 M 1 D D D R. Y,=AYAT + 1 -( ++2M D D R + M 1 从而 D R 0 「-i -Ia AYU, Ai,=0J= 0 R 所以：y0。=jn jw` (a) 图17-4例17-4图 例17-5已知电路如图17-5(a),用网络图论法列写回路方程（矩阵形式）。 解：电路的图G如图17-5(b) 选择1、2、5为树支，则：3、4为连支 dael ot,jat.c 0,=b-02000,i,=000 .B,Z=-R 0 jols 0 l jaxCs 0R20joL4-1/joCs」 则：回路 .=BZB'-k +Jol,+l jeC, -1/joCs -1/joCs R2+j@L,+1/j@Cs Bzi,=FRi oF.BU,=[o -0.Y.0.=[Ri -0 3的
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 135 从而： − = − = − = − − + + + − + + + + − + + + − + − = = 6 6 1 1 6 6 4 2 6 2 4 2 5 3 2 3 4 3 4 3 1 , 0 0 0 , 0 0 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 1 1 R U I J I AI R U AYU D R L D R M D L D R M D M D L D R M D L D L D M D L D R M D M D L D R L R Y AYA s s n s s s s T n 所以： n n n Y U J = 图 17-4 例 17-4 图 例 17-5 已知电路如图 17-5（a），用网络图论法列写回路方程（矩阵形式）。 解：电路的图 G 如图 17-5（b） 选择 1、2、5 为树支，则：3、4 为连支。 T s l s s T s s T s s T l f T s s T s s f BZI R I BU U U R I U j C R j L j C R j L j C j C Z BZB R j L j C R j L j C B Z U U I I B Z diag R R j L j L j C 1 1 2 1 1 2 5 2 4 5 1 3 5 5 2 4 5 1 3 5 2 1 1 2 3 4 4 0 , 0 , 1/ 1/ 1/ 1/ 0 0 1/ 0 0 1/ 0 0 0 0 , 0 0 0 0 , 1/ 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 = − = − = − − + + + + − = = − − = = − = = − − = 则：回路
电路学习指导 第十七章电路方程的矩阵形式 方程为：Zi,=U,i,=[inie 0s2 Y jwL3 (a) 图17-5例175图 例17-6列写图17-6所示电路的状态方程。 图17-6例17-6图 解：用直观法列写方程，则： + 10 1F+ )ug(e) 2L c=-Ri2+4,-4c=-uc-4i2+4 状态方程为 dt 图7-6例17-6图 -=-24+ d山 四习题 17-1己知电路如图，画出它的有向图，并写出关联阵及增广关联阵 17-2已知拓扑图，写出其基本割集阵与基本回路阵，以1、2、3为树支。 C2 b 题17-1图 题17-2图 题17-3图 17-3已知拓扑图，写出其关联阵与基本回路阵，以4、5、6为树支。 39
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 136 方程为： 1 2 , l sl l l l ZI U I I I = = 图 17-5 例 17-5 图 例 17-6 列写图 17-6 所示电路的状态方程。 图 17-6 例 17-6 图 解：用直观法列写方程，则： = − + − = − − + = − + = − + C L s C C L s L C L C C u R i u u u i u i u i R u i 4 2 1 2 状态方程为: = = − − + = = − + C L s L L C L C C u i u L u dt di u i C i dt du 2 1 2 2 1 2 1 图 7-6 例 17-6 图 四 习题 17-1 已知电路如图，画出它的有向图，并写出关联阵及增广关联阵。 17-2 已知拓扑图，写出其基本割集阵与基本回路阵，以 1、2、3 为树支。 题 17-1 图 题 17-2 图 题 17-3 图 17-3 已知拓扑图，写出其关联阵与基本回路阵，以 4、5、6 为树支
电路学习指导 第十七章电路方程的矩阵形式 「100011 0 0 00100-1 17-4已知： A -1 0 画出它的有向图。 000-1-101 -1 0-100000 1 175填空：1)对网络的图任选一个树，支电压知道后，就可以确定全部支路电压： 支电流知道后，就可以确定全部支路电流：2》题图17-5中，选4、5为树支，则其基本 回路阵为()，3》以题图17-5的a节点为参考点，关联阵为。 176用节点分析法写出如图所示电路的节点电压方程。 2b84 题17-5图 愿17-6图 17-7已知电路，写出AG,U,1,阵。 20 17-8己知电路如图，列写节点电压方程的矩 8 阵形式。 17-9对如图所示的电路，选4、5、6支路为 树支，列写回路电流方程的矩阵形式，已知： 10 50 U2=14W,U4=21W,i3=2A,Us=2V 2A R=32,R2=22,R3=32,R=62, R=22,R6=12 图7- 17-10对如图所示的虚线切割的支路是否构成割集。 (b) 题17-8图 题17-9图 题17-10图
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 137 17-4 已知： − − − − − − = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 A 画出它的有向图。 17-5 填空：1〉对网络的图任选一个树， 支电压知道后，就可以确定全部支路电压； 支电流知道后，就可以确定全部支路电流；2〉 题图 17-5 中，选 4、5 为树支，则其基本 回路阵为（），3〉以题图 17-5 的 a 节点为参考点，关联阵为。 17-6 用节点分析法写出如图所示电路的节点电压方程。 题 17-5 图 题 17-6 图 17-7 已知电路，写出 s s A,G,U ,I 阵。 17-8 已知电路如图，列写节点电压方程的矩 阵形式。 17-9 对如图所示的电路，选 4、5、6 支路为 树支，列写回路电流方程的矩阵形式，已知： = = = = = = = = = = 2 , 1 3 , 2 , 3 , 6 , 14 , 21 , 2 , 2 , 5 6 1 2 3 4 2 1 3 5 R R R R R R Us V Us V i s A Us V 图 7-7 17-10 对如图所示的虚线切割的支路是否构成割集。 题 17-8 图 题 17-9 图 题 17-10 图
电路学习指导 第十七章电路方程的矩阵形式 17-11已知：支路电导为1S,14=1A12=2A,U2=2V 1712对图示电路（零状态），用运算形式写出其节点电压方程的矩阵形式。 题17-11图 题17-12图 17-13电路如图所示，图(b)示其有向图，各个支路电阻均为1欧姆，若选1、2、6、7为 树支，写出回路方程矩阵形式。 17-14己知电路如图，写出其状态方程 a (b) 题17-13图 题17-14图 17.15写出如图所示电路的状态方程 17-16写出如图所示电路的状态方程。 题17-15图 题17-16图 138
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 138 17-11 已知：支路电导为 1S， I s1 =1A,I s2 = 2A,Us2 = 2V 17-12 对图示电路（零状态），用运算形式写出其节点电压方程的矩阵形式。 题 17-11 图 题 17-12 图 17-13 电路如图所示，图(b)示其有向图，各个支路电阻均为 1 欧姆，若选 1、2、6、7 为 树支，写出回路方程矩阵形式。 17-14 已知电路如图，写出其状态方程。 题 17-13 图 题 17-14 图 17-15 写出如图所示电路的状态方程。 17-16 写出如图所示电路的状态方程。 题 17-15 图 题 17-16 图